10 CD10 phuong trinh bat phuong trinh he phuong trinh

Chủ đề 10 PHƯƠNG TRÌNH - BẤT PHƯƠNG TRÌNHHỆ PHƯƠNG TRÌNH TRỌNG TÂM KIẾN THỨC 1 Một số phép biến đổi tương đương phương trình thường sử dụng a Chuyển vế một biểu thức từ vế này sang vế ki

Chủ đề 10 PHƯƠNG TRÌNH - BẤT PHƯƠNG TRÌNH

HỆ PHƯƠNG TRÌNH TRỌNG TÂM KIẾN THỨC

1) Một số phép biến đổi tương đương phương trình thường sử dụng

a) Chuyển vế một biểu thức từ vế này sang vế kia (nhớ đổi dấu của biểu thức).

b) Nhân hoặc chia hai vế của phương trình với một hằng số (khác 0) hoặc với một biểu thức

(khác không)

c) Thay thế một biểu thức bởi một biểu thức khác bằng với biểu thức đó.

Lưu ý:

+ Chia hai vế của phương trình cho biểu thức chứa ẩn đề phòng mất nghiệm

+ Bình phương hai vế của phương trình đề phòng dư nghiệm

2) Các bước giải một phương trình

Bước 1: Tìm điều kiện (nếu có) của ẩn số để hai vế của pt có nghĩa

Bước 2: Sử dụng các phép biến đổi tương đương để biến đổi pt đến một pt đã biết cách giải

Bước 3: Giải pt và chọn nghiệm phù hợp ( nếu có)

Bước 4: Kết luận

3 Các phương pháp giải phương trình đại số thường sử dụng

a) Phương pháp 1: Biến đổi phương trình đã cho về phương trình đã biết cách giải

b) Phương pháp 2: Biến đổi phương trình đã cho về dạng tích số : A.B = 0; A.B.C = 0.

soáaån :x

2 Giải và biện luận:

* Nếu b ≠0 thì phương trình (1) vô nghiệm

* Nếu b = 0 thì phương trình (1) nghiệm đúng với mọi x

• a = 0 và b ≠0 : phương trình (1) vô nghiệm

• a = 0 và b = 0 : phương trình (1) nghiệm đúng với mọi x

3 Điều kiện về nghiệm số của phương trình:

• (1) nghiệm đúng với mọi x ⇔

II Giải và biện luận phương trình bậc hai:

sốẩn :x

2 Giải và biện luận phương trình :

Xét hai trường hợp

Trường hợp 1: Nếu a 0= thì (1) là phương trình bậc nhất : bx + c = 0

• b ≠0 : phương trình (1) cĩ nghiệm duy nhất

b

c

x=−

• b = 0 và c ≠0 : phương trình (1) vơ nghiệm

• b = 0 và c = 0 : phương trình (1) nghiệm đúng với mọi x

Trường hợp 2: Nếu a≠0 thì (1) là phương trình bậc hai cĩ

Biệt số ∆ =b2−4ac ( hoặc ' '2 với b'

c b

c b

a

Đặc biệt

Nếu pt(1) cĩ hệ số a,c thoả a.c < 0 thì pt(1) luơn cĩ hai nghiệm phân biệt

4 Định lý VIÉT đối với phương trình bậc hai:

 Định lý thuận: Nếu phương trình bậc hai : ax2+bx c+ =0 ( a≠0) cĩ hai nghiệm x1, x2 thì

a

c x x P

a

b x x S

2 1

2 1

 Định lý đảo : Nếu có hai số ,x y mà x y S+ = và x y=P (S2 ≥4P) thì ,x y là nghiệm của

phương trình

X2- S.X + =P 0

 Ý nghĩa của định lý VIÉT:

Cho phép tính giá trị các biểu thức đối xứng của các nghiệm ( tức là biểu thức chứa x1, x2 và không thay đổi giá trị khi ta thay đổi vai trò x1,x2 cho nhau Ví dụ: 2

2

2 1 2 1

2 2

2

x x x x

x x

A= + + + ) mà không cần giải pt tìm x1, x2 , tìm hai số khi biết tổng và tích của chúng,

5 Dấu nghiệm số của phương trình bậc hai:

Dựa vào định lý Viét ta có thể suy ra định lý sau:

 Pt (1) có hai nghiệm trái dấu ⇔ P < 0

II Phương trình trùng phương:

1.Dạng : ax4+bx2+ =c 0 ( a 0 )≠ (1)

2.Cách giải:

 Đặt ẩn phụ : x2= t (t ≥0) Ta được phương trình: at2 +bt+c =0 (2) Giải pt (2) tìm t Thay t tìm được vào x2= t để tìm x

Tùy theo số nghiệm của phương trình (2) mà ta suy ra được số nghiệm của phương trình (1)

Định lý:

Phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt ⇔ Phương trình (2) có 2 nghiệm dương phân biệt

III Phương trình bậc ba:

1 Dạng: ax3+bx2+ + =cx d 0 (1) (a≠0)

2 Cách giải: Áp dụng khi biết được một nghiệm của phương trình (1)

Bước 1: Nhẩm một nghiệm của phương trình (1) Giả sử nghiệm là x = x0

Bước 2: Sử dụng phép CHIA ĐA THỨC hoặc sơ đồ HOÓCNE để phân tích vế trái thành nhân

Các phép biến đổi tương đương bất phương trình thường sử dụng:

1) Chuyển vế một biểu thức của bpt từ vế này sang vế kia (nhớ đổi dấu biểu thức)

2) Nhân hoặc chia hai vế của bpt với một hằng số hoặc một biểu thức khác 0

• Nếu a=0 thì (2) trở thành : 0.x>−b

* b≤0 thì bpt vô nghiệm

* b>0 thì bpt nghiệm đúng với mọi x

II Dấu của nhị thức bậc nhất:

ax+b Trái dấu với a 0 Cùng dấu với a

III Dấu của tam thức bậc hai:

1 Dạng: f(x)=ax2 +bx+c (a ≠0)

2 Bảng xét dấu của tam thức bậc hai:

3 Điều kiện không đổi dấu của tam thức: hoctoancapba.com

Định lý: Cho tam thức bậc hai: f(x)=ax2 +bx+c (a≠0)

0 Rx 0)

0 Rx 0)

0 Rx 0)

0 Rx 0)

2 Cách giải: Xét dấu tam thức bậc hai ở vế trái rồi chọn nghiệm thích hợp.

C PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH

CHỨA GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI

TRỌNG TÂM KIẾN THỨC

I Định nghĩa và các tính chất cơ bản:

1 Định nghĩa: A neáu A 0

neáu A < 0

III Các phương trình và bất phương trình chứa giá trị tuyệt đối cơ bản & cách giải:

Phương pháp chung để giải loại này là KHỬ DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI bằng định nghĩa hoặc nâng lũy thừa.

B B

B B

B A

A B

A

0

0

B A

A B

A

00

00

B A B

B B

I Các điều kiện và tính chất cơ bản:

0A neáu

A A

III Các phương trình và bất phương trình căn thức cơ bản & cách giải :

Phương pháp chung để giải loại này là KHỬ CĂN THỨC bằng pháp nâng lũy thừa.

1 1

b a b a b a

b a

D= = − (gọi là định thức của hệ)

2 2

1 1

b c b c b c

b c

D x = = − (gọi là định thức của x)

2 2

1 1

c a c a c a

c a

D y = = − (gọi là định thức của y)

Bước 2: Biện luận

• Nếu D≠0 thì hệ có nghiệm duy nhất

D x

y x

• Nếu D = 0 và D x ≠0 hoặc D y ≠0 thì hệ vô nghiệm.

• Nếu D = Dx = Dy = 0 thì hệ có vô số nghiệm.

Cách giải: Sử dụng phép cộng để khử một ẩn đưa về hệ bậc nhất hai ẩn, sử dụng MTBT.

II Hệ phương trình bậc hai hai ẩn:

1 Hệ gồm một phương trình bậc nhất và một phương trình bậc hai hai ẩn:

Cách giải: Giải bằng pháp thế

2 Hệ phương trình đối xứng :

1 Hệ phương trình đối xứng loại I:

a.Định nghĩa: Đó là hệ chứa hai ẩn x,y mà khi ta thay đổi vai trò x,y cho nhau

thì hệ phương trình không thay đổi.

b.Cách giải:

Bước 1: Đặt x+y=S và xy=P với S2≥4Pta đưa hệ về hệ mới chứa hai ẩn S,P

Bước 2: Giải hệ mới tìm S,P Chọn S,P thoả mãn S2≥4P

Bước 3: Với S,P tìm được thì x,y là nghiệm của phương trình :

X −SX P+ = ( định lý Viét đảo )

Chú ý: Do tính đối xứng, cho nên nếu (x0;y0) là nghiệm của hệ thì (y0;x0) cũng là nghiệm của hệ

2 Hệ phương trình đối xứng loại II:

a Định nghĩa: Đó là hệ chứa hai ẩn x,y mà khi ta thay đổi vai trò x,y cho nhau

thì phương trình nầy trở thành phương trình kia của hệ

b Cách giải:

• Trừ vế với vế hai phương trình và biến đổi về dạng phương trình tích số

• Kết hợp một phương trình tích số với một phương trình của hệ để suy ra nghiệm của hệ

Khi đó ta có thể tiến hành cách giải như sau:

Bước 1: Kiểm tra xem (x,0) có phải là nghiệm của hệ hay không ?

Bước 2: Với y≠0 ta đặt x t x ty

y= Û = Thay vào hệ ta được hệ mới chứa 2 ẩn t,y Từ 2 phương trình ta khử y để được 1 phương trình chứa t

Bước 3: Giải phương trình tìm t rồi suy ra x,y.

PHƯƠNG TRÌNH & HỆ PHƯƠNG TRÌNH

A PHƯƠNG TRÌNH

Đặt f x( )=(2m a x+ ) 2+ + +bx c m2 Ta tìm m sao cho ( ) f x trở thành bình phương của một nhị thức

Điều nầy được thỏa khi: 0

2m a 0

ì D =ïï

ê+ =- +

5 1 4 52

ê + = ê

ê

ê + + =ê

êê=- ±ê

· Tập nghiệm của phương trình (1) là S= +{1 2;1- 2;3} r

2 Một số bài toán tự luyện

(*) thường là hệ đối xứng loại 2 đối với x và y

Chú ý: Có thể sử dụng phương pháp nâng lũy thừa để đưa về phương trình bậc bốn.

íï + = +ïïî

· Trừ theo từng vế của (2) và (3) ta được:

(4y+4x+4 4)( y- 4x)=2(x y- ) Û (x y- )éë1 8+ (x+ + =y 1)ùû 0

+ Khi x= , thay vào (3) ta được:y

( )2 2

12

4 2 2 15 16 14 11 0

118

ê êê

So với điều kiện của x và y ta chọn 1

íï - = +ïïî

· Trừ theo từng vế của (2) và (3) ta được:

7) 9x2- 6x- =5 3x+ 8) 5 4x2+4x- =3 2x+ 9) 5 2x2- - =x 3 2- x

NHẨM NGHIỆM VÀ PHÂN TÍCH THÀNH NHÂN TỬPhương pháp chung

Bước 1: Đặt điều kiện cho hai vế của phương trình có nghĩa và dựa vào điều kiện để nhẩm nghiệm

Giả sử phương trình có một nghiệm là x= x0

Bước 2: Sử dụng các phép biến đổi tương đương để biến đổi phương trình về dạng

- = Û ê =ë

Chú ý: Đối với phương trình vô tỷ ta thường sử dụng biến đổi

+ Nhân lượng liên hợp

+ Tách thành các biểu thức liên hợp

Bước 3: Giải phương trình f x( )=0

Chú ý: Nếu phương trình có hai nghiệm x= và x1 x= thì ta định hướng biến đổi về dạngx2

♥ Vậy phương trình (1) có nghiệm là x=1;x= r 2

Thực hành giải toán

Bài 1: Giải các phương trình sau

1) x+ x= x2- x+ + 2) 1 1 x2+2x+ +3 x+ =2 x2+ + 1 13) x2+5x+ +5 x2= x+ -2 3x- 2 4) 3x+ +1 2x= x- 4 5-

• Cho hàm số y f (x)= có đạo hàm trên khoảng ( )a b ;

a) Nếu f ' x( ) >0 với mọi x∈( )a; b thì hàm số f (x) đồng biến trên ( )a b ;

b) Nếu f ' x( ) <0 với mọi x∈( )a; b thì hàm số f (x) nghịch biến trên ( )a b ;

• Nếu hàm số liên tục trên đoạn [ ]a; b và có đạo hàm f '(x) 0> trên khoảng ( )a; b thì hàm số f đồng biến

trên đoạn [ ]a; b

• Nếu hàm số liên tục trên đoạn đọan [ ]a; b và có đạo hàm f '(x) 0< trên khoảng ( )a; b thì hàm số f

nghịch biến trên đoạn [ ]a; b

Dựa vào tính chất trên ta suy ra:

Nếu có x0∈( )a; b sao cho f x( )0 =g x( )0 thì phương trình f x( ) =g x( ) có nghiệm duy nhất x 0

Do VT(2) luôn dương với mọi x nên với 1

♥ Vậy nghiệm của phương trình là x=3 r

Ví dụ 4: Giải phương trình 16x4+ =5 6 43 x3+ (1)x

Bài giải

♥ Do 16x4+ > nên 5 0 6 43 x3+ > , suy ra: x 0 x>0

♥ Áp dụng BĐT Cauchy cho ba số dương 4x2+1, 4 , 2x ta có

BẰNG PHƯƠNG PHÁP TAM THỨC BẬC HAI

3 2

é = ê

-ê = +ë ♥ Vậy: f x y( ; ) (= - +x 5 2y x)( - -3 2y)r

Thực hành kỹ năng giải toán

Bài 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử

Có thể: Cộng vế với vế, trừ vế với vế hoặc nhân cho một hằng số thích hợp rồi cộng hoặc trừ vế với vế

mục đích để tạo ra một phương trình mới có thể hỗ trợ cho việc giải hệ đã cho như: pt một ẩn, pt bậc nhất hai ẩn, phương trình tích số,

Kỹ thuật 1: Tạo ra pt một ẩn

Kỹ thuật 2: Tạo ra pt bậc nhất hai ẩn

Kỹ thuật 3: Nhân hệ số thích hợp và cộng hoặc trừ vế với vế để tạo ra pt bậc nhất hai ẩn

Kỹ thuật: Biến đổi mỗi hệ sao cho có hai biểu thức giống nhau

Chú ý: Các phép biến đổi tương đương một phương trình: chuyển vế, nhân chia hai vế, thay thế biểu

thức,

4 Phương pháp biến đổi về pt TÍCH SỐ

Chú ý: Các phép biến đổi: tạo các biểu thức có nhân tử giống nhau, phân tích tam thức bậc hai

thành thừa số, bình phương,

Kỹ thuật 1: Biến đổi một pt của hệ thành tích số

Kỹ thuật 2: Cộng hoặc trừ vế với vế để biến đổi về pt tích số

5 Phương pháp HÀM SỐ

Kỹ thuật 1: Sử dụng tính đơn điệu kết hợp nhẩm nghiệm

Kỹ thuật 2: Tìm hàm đặc trưng và sử dụng tính chất f(u) = f(v)

6 KẾT HỢP các phương pháp

I PHƯƠNG PHÁP TÍCH SỐ (PHÂN TÍCH THÀNH NHÂN TỬ)

PHƯƠNG PHÁP GIẢI

Bước 1: Tìm điều kiện cho các biến x, y của hệ phương trình (nếu có)

Bước 2: Biến đổi một phương trình của hệ về dạng phương trình tích số để được các hệ thức đơn giản chứa x,y

Các kỹ thuật thường sử dụng:

+ Nhóm nhân tử chung

+ Phân tích tam thức bậc hai thành nhân tử

+ Nhẩm nghiệm + nhân liên hợp

Bước 3: Thay hệ thức đơn giản tìm được vào phương trình còn lại của hệ để được phương trình 1 ẩn

Bước 4: Giải phương trình 1 ẩn (cần ôn tập tốt các phương pháp giải phương trình 1 ẩn).

ï - + + = + + +ïî

(các hệ thức đơn giản chứa x, y)

♥ Thế y= + , thay vào (2) ta được phương trình một ẩn:x 1

Û x2- x= 0 é =êx x 10

Û

ê =

ë ♠ Với x= Þ0 y= [thỏa (*)] 1

♠ Với x= Þ1 y= [thỏa (*)]2

♥ Thế y=2x+ , thay vào (2) ta được phương trình một ẩn:1

3 3- x= 4x+ +1 9x+ (4) 4

♣ Do phương trình (4) có hai nghiệm x=0 nên ta định hướng phân tích (4) thành dạng x f x ( )=0

(biến đổi về phương trình tích số bằng kỹ thuật nhân liên hợp)

♥ Vậy hệ phương trình có hai nghiệm (x y là ( ); ) 0;1 và ( )1; 2 r

(Xem lại phần kỹ thuật nhân liên hợp)

ï - + - =ïî

ïï ³íï

ï ³ +ïïî

(*)

♥ Biến đổi phương trình (1) về dạng tích số Do y= luôn thỏa (1) nên định hướng phân tích theo nhân tử11

y

é =êÛ

ê = ë

-♥ Thế y= , thay vào (2) ta được phương trình một ẩn: 1 9 3- x= Û0 x=3 [thỏa (*)]

♥ Thế y= - , thay vào (2) ta được phương trình một ẩn: x 1 2x2- - =x 3 2- x (3)

Û íï

- - =

31

Û í

ïï - - + + =

31

Û í

ïï - - - =ïïî

31

2

1 5272

x x

ìïï £ - Ú ³ïï

1 5272

x x

ê =êê

Û ê

ê ê

So với điều kiện (*) ta chỉ nhận 1 5

ê = ê

-♥ Thế y=- 3x- 2, thay vào (2) ta được phương trình một ẩn:

x x

é ê

=-ê - ±

ê =ê

íï + + =

12

x x

é ê

ê ë ♠ Với x=- Þ1 y=1

-ïïî

(Thi thử của THPT Chuyên Lê Hồng Phong TP HCM)

♥ Với 2 x− = −2y ≤ 0 mà y ≥ 0 ⇒ y = 0 và x = 2 Thử lại ta có x = 2, y = 0 là nghiệm.

♥ Vậy hệ phương trình có hai nghiệm(x y là ; ) ( ); , 30 2 17;

♦ Với x=5 Þ y= 3 (thỏa điều kiện (*))

♥ Vậy hệ phương trình có nghiệm(x y là ; ) ( )5 3 r;

íï - + + - - =ïî

3)

2 2

íï + + - =ïïî

ï - - + - = ïïî

-II PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ

PHƯƠNG PHÁP GIẢI

Bước 1: Tìm điều kiện cho các biến x, y của hệ phương trình (nếu có)

Bước 2: Tìm một hệ thức liên hệ đơn giản của x và y bằng phương pháp hàm số

+ Biến đổi một phương trình của hệ về dạng f(u) = f(v) (u, v là các biểu thức chứa x,y)

+ Xét hàm đặc trưng f(t), chứng minh f(t) đơn điệu, suy ra: u = v (đây là hệ thức đơn giản chứa x, y)

Bước 3: Thay hệ thức đơn giản tìm được vào phương trình còn lại của hệ để được phương trình 1 ẩn

Bước 4: Giải phương trình 1 ẩn (cần ôn tập tốt các phương pháp giải phương trình 1 ẩn).

• Vậy nghiệm của hệ phương trình là

(Thi thử của THPT Nghi Sơn – Thanh Hóa)

Bài giải

♥ Điều kiện:

2

13

x

ìïï ³ ïïí

-ïï - - ³ïïî

♦ Với x= Þ 5 y= (thỏa điều kiện (*))1

♥ Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x y; ) ( )= 5;1 r

♥ Thế (4) vào (2) để được phương trình một ẩn

(x+3) x+ + +4 (x 9) x+ =11 x2+9x+ (5)10

♦ Phương trình (5) có một nghiệm là x= nên có thể biến đổi về phương trình tích số bằng kỹ thuật nhân5

liên hợp.

( )5 Û (x+3) ( x+ -4 3)+ +(x 9) ( x+ -11 4)=x2+2x- 35 [Tại sao ?] ( 3 ) 5 ( 9 ) 5 ( 5)( 7)

♥ Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x y; ) (= 5;6)r

íï + - + = - +ïïî

íï + - + - + =ïïî

(Phạm Trọng Thư GV THPT Chuyên Nguyễn Quang Diêu, Đồng Tháp – THTT số 2)

Bài giải

♥ Điều kiện: x³ 2 (*)

♥ Khai thác phương trình (1) để tìm hệ thức liên hệ đơn giản của x và y

♥ Thế (4) vào (2) để được phương trình một ẩn

Û + + - = Û ê + + - =ë

♦ Giải phương trình (5) bằng phương pháp hàm số

Xét hàm số g y( )=y7+2y4+ -y 4 trên nữa khoảng [0;+¥ )

Do g liên tục trên [0;+¥ và ) g'( )y =7y6+8y3+ > " Î1 0, y [0;+¥ Þ ) g y đồng biến trên ( ) [0;+¥ )

3

3 0

00

x y

x x

y y

♦ Giải phương trình (5) bằng phương pháp hàm số

≥ −

 + ≥

ì £ïïïí

ï - £ £ïïî (*)

♥ Khai thác phương trình (1) để tìm hệ thức liên hệ đơn giản của x và y

· Phương trình (5) viết lại thành: ( )2

2x- 3 =2 4x+ +5 11 Điều kiện

íï - = +ïïî

· Trừ theo từng vế của (6) và (7) ta được:

4 x t+ - 3 x t- = -4t 4x Û (x t x t- )( + - 2)= 0

+ Khi x= , thay vào (7) ta được:t

4x2- 12x+ =9 4x+ Û5 x2- 4x+ = Û1 0 x= ±2 3

So với điều kiện của x và t ta chọn x= +2 3 [không thỏa (*)]

+ Khi x t+ - 2= Û = -0 t 2 x, thay vào (7) ta được:

( )2 2

1 2- x =4x+ Û5 x - 2x- = Û1 0 x= ±1 2 (loại)

So với điều kiện của x và t ta chọn x= -1 2

♦ Với x= -1 2Þ y= ±4 2 [thỏa (*)]

♥ Vậy hệ phương trình có hai nghiệm (x y là ; ) (1- 2;- 4 2) và (1- 2; 24 )r

III PHƯƠNG PHÁP ĐÁNH GIÁ

PHƯƠNG PHÁP GIẢI

Bước 1: Tìm điều kiện cho các biến x, y của hệ phương trình (nếu có)

Bước 2: Tìm một hệ thức liên hệ đơn giản của x và y bằng phương pháp đánh giá

Thường là sử dụng các bất đẳng thức cơ bản: Cô-si, bất đẳng thức về giá trị tuyệt đối,

Bước 3: Thay hệ thức đơn giản tìm được vào phương trình còn lại của hệ để được phương trình 1 ẩn

Bước 4: Giải phương trình 1 ẩn (cần ôn tập tốt các phương pháp giải phương trình 1 ẩn).