Ôn luyện Toán cho kì Thi THQG Bài 4 TL DA

Vậy nếu ba điểm cực trị này tạo thành ba đỉnh của một tam giác vuông cân, điều này tương đương với ABC vuông tại A.

BÀI 04 TRUNG HỌC PHỔ THÔNG QUỐC GIA

Môn: TOÁN

Bài 04: Cực trị bậc 4 Bài tập tự luyện

Bài toán 1: Tìm tham số m để đồ thị thàm số 4 2 2

y x  m x  có ba điểm cực trị, đồng thời ba điểm cực trị này tạo thành ba đỉnh của một tam giác vuông cân

Bài giải:

Tập xác định: D ; 3 2 2 2 

0

*

x

y x m x y

x m

 





Để đồ thị hàm số có ba điểm cực trị thì phương trình  * có 2 nghiệm phân biệt khác 0

Khi đó, đồ thị hàm số luôn có 3 điểm cực trị là: A 0;1 ;B m ;1 m4 ;C m;1 m4

Nhận xét: Do A 0;1 Oy, B m ;1 m4 và Cm;1 m4 luôn đối xứng với nhau qua Oy nên

ABC

 là tam giác cân tại A

Vậy nếu ba điểm cực trị này tạo thành ba đỉnh của một tam giác vuông cân, điều này tương đương với ABC vuông tại A

Gọi M0;1 m4 là trung điểm của BC Tam giác ABC vuông tại ABC  2AM

Ta có:  2  4 2 4

AM    m  m ;    2    2

BC  m m  m  m  m

4

BC  AM  m  m m   ( Do: m  0) m   1 ( Thỏa mãn )

Kết luận: Vậy m  1 để đồ thị thàm số có ba điểm cực trị, đồng thời ba điểm cực trị này tạo thành ba đỉnh của một tam giác vuông cân

Bài toán 2: Tìm tham số m để đồ thị hàm số 4 2

y x  m x  có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác cân sao cho độ dài cạnh đáy bằng 2

3 lần độ dài cạnh bên

Bài giải:

Tập xác định: D ; 3    

2

0

* 2

x

x

 



 



Để đồ thị hàm số có ba điểm cực trị thì phương trình  * có 2 nghiệm phân biệt khác 0

0

m

m



Khi đó, đồ thị hàm số luôn có 3 điểm cực trị là:

BÀI GI

ẢNG 2017 - 1999 ÔN THI

Nhận xét: Do A0; 3   Oy, 3 1 3 1

m m

và 3 1 3 1

m m

luôn đối xứng với nhau qua Oy nên ABClà tam giác cân tại A

Mà yêu cầu bài toán: độ dài cạnh đáy bằng 2

3 lần độ dài cạnh bên nên:

2 3

BC  AB

m

2

3

2

 

 

5 3 1 3

  



 

  



Kết luận: Vậy 5

3

m  

để đồ thị hàm số có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác cân sao cho

độ dài cạnh đáy bằng 2

3 lần độ dài cạnh bên

Bài toán 3: Tìm tham số m để đồ thị hàm số y x 4  2(m 2)x2 m2  5m 5 có cực đại, cực tiểu tạo thành một tam giác đều

Bài giải:

Tập xác định: D ; 3    

2

0

x

 

 



Để đồ thị hàm số có cực đại, cực tiểu thì phương trình  * có 2 nghiệm phân biệt khác 0

Khi đó, đồ thị hàm số luôn có 3 điểm cực trị là:

A  m B m m C  m m

Nhận xét: Do A0;m 2  5m 5Oy, B 2 m;1 m và C 2 m;1 m luôn đối xứng với nhau qua Oy nên ABClà tam giác cân tại A

Yêu cầu bài toán: ABC là tam giác đều AB BC( Do: ABCcân tại A)

Ta có: AB m4 8m3 24m2 33m 18 ;BC  2 2 m

4 8 3 24 2 33 18 2 2

AB BC  m  m  m  m  m m4  8m3  24m2  29m 10  0

 

2

m

 



   



( Thỏa mãn )

Kết luận: Vậy m  2 33 để đồ thị hàm số có cực đại, cực tiểu tạo thành một tam giác đều

https://www.facebook.com/groups/2000daudaihoc/

BÀI GI

ẢNG 2017 - 1999 ÔN THI

Bài toán 4: Tìm tham số m để đồ thị hàm số y x  2mx m m có ba điểm cực trị và ba điểm cực trị đó tạo thành tam giác có 1 góc bằng 120 o

Bài giải:

Tập xác định: D ; 3 2  

0

*

x

y x mx y

x m

 

 



Để đồ thị hàm số có ba điểm cực trị thì phương trình  * có 2 nghiệm phân biệt khác 0

     Khi đó, đồ thị hàm số luôn có 3 điểm cực trị là: A0;m 2 m B;  m m C;  ;  m m; 

Nhận xét: Do A0;m 2 mOy, B m m;  và C m m;  luôn đối xứng với nhau qua Oy nên

ABC

 là tam giác cân tại A

Yêu cầu bài toán: Tam giác có 1 góc bằng 120 BAC  120 ( Do ABC cân tại A)

1

2

c BAC c

2

AB AC

AB AC

Ta có: AB  m m;  2;AC    m m;  2

Vậy nên: 4 3  

3

  ( Thỏa mãn điều kiện )

Kết luận: Vậy: m 33 để đồ thị hàm số có ba điểm cực trị và ba điểm cực trị đó tạo thành tam giác có 1 góc bằng 120 o

Bài toán 5: Tìm tham số m để đồ thị hàm số y x 4  2mx2  2m m 4 có cực đại, cực tiểu mà các cực đại, cực tiểu tạo thành một tam giác có diện tích bằng 1

Bài giải:

Tập xác định: D ; 3 2  

0

*

x

y x mx y

x m

 





Để đồ thị hàm số có cực đại, cực tiểu thì phương trình  * có 2 nghiệm phân biệt khác 0

0

m

Khi đó, đồ thị hàm số luôn có 3 điểm cực trị là:

A  m B m m  m C  m m  m

Nhận xét: Do A0;m 4  2mOy, B m;m 4 m2  2m và C m;m 4 m2  2m luôn đối xứng với nhau qua Oy nên ABClà tam giác cân tại A

Gọi M0;m 4 m2  2m là trung điểm của cạnh BC

Do ABC cân tại A nên 1 1

2

ABC

S  AM BC  Mà: AM m BC2;  2 m 1 2 5

      ( Thỏa mãn )

BÀI GI

ẢNG 2017 - 1999 ÔN THI

Bài toán 6: Tìm tham số m để đồ thị hàm số y 2x4 m x2 2 m2  1 có ba điểm cực trị A, B, C sao cho bốn điểm O, A, B, C là bốn đỉnh của một hình thoi

Bài giải:

Tập xác định: D ;

 

2

0

* 4

x

x

 





Để đồ thị hàm số có ba điểm cực trị thì phương trình  * có 2 nghiệm phân biệt khác 0

2

4

m

m

Khi đó, đồ thị hàm số luôn có 3 điểm cực trị là:

          

Nhận xét: Do A0;m 2   1 Oy,

4 2

m m

4 2

m m

  luôn đối xứng với nhau qua Oy nên ABClà tam giác cân tại A

Gọi

4 2

8

m

    

  là trung điểm của cạnh BC , , ,

O A B C là bốn đỉnh của 1 hình thoi M là trung điểm của đoạn thẳng OA

2

M

M

x x

y y y







 



Kết luận: Vậy m  2 để đồ thị hàm số có ba điểm cực trị A, B, C sao cho bốn điểm O, A, B, C

là bốn đỉnh của một hình thoi

Bài toán 7: Tìm tham số m để đồ thị hàm số 1 4 2

4

y x  m x  m có điểm cực đại là A, hai điểm cực tiểu là B và C sao cho tứ giác ABIC là hình thoi với   

5 0; 2

I

Đáp án: m 12

Bài toán 8: Tìm tham số m để đồ thị hàm số 4 2 2 4

y x  m x m  có ba điểm cực trị A, B, C sao cho bốn điểm A, B, C, O cùng nằm trên một đường tròn

Đáp án: m  1

https://www.facebook.com/groups/2000daudaihoc/

BÀI GI

ẢNG 2017 - 1999 ÔN THI

Bài toán 9: Tìm tham số m để đồ thị hàm số y x  2mx m có ba điểm cực trị A, B, C, sao cho đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC có bán kính bằng 1

Đáp án: 1; 5 1

2

m  m  

Bài toán 10: Tìm tham số m để đồ thị hàm số y x 4  2(m 1)x2 m có ba điểm cực trị A, B, C

sao cho độ dài OABC với A là cực trị thuộc trục tung

Đáp án: m  2 2 2 BÀI GI

ẢNG 2017 - 1999 ÔN THI