Ôn luyện Toán cho kì Thi THQG BÀI 2 TL DA

Xác định mđể đồ thị hàm số có các điểm cực đại và cực tiểu nằm về hai phía đối với trục hoành... Kết luận: Vậy m 3 để đồ thị hàm số có các điểm cực đại và cực tiểu nằm về hai phía đối v

BÀI 02+03

ÔN LUYỆN TRƯỚC KỲ THI TRUNG HỌC PHỔ THÔNG QUỐC GIA

Môn: TOÁN

Bài 02+03: Cực trị của hàm số bậc 3 ( Tự luận)

Bài tập tự luyện Đáp án chi tiết

Bài toán 1: Cho hàm số:y x3 3m1x2 9x m

Tìm m để hàm số đã cho đạt cực trị tại x x1; 2 sao cho: x1x2  2

Bài giải:

Tập xác định: D  ; y'  3x2 6m1x 9

Hàm số đạt cực đại, cực tiểu tại x x1; 2 phương trình y'  0 có 2 nghiệm phân biệt là x x1; 2

   



'

1 3

1 3

y

m

m

Khi đó, hàm số đã cho có 2 điểm cực trị: A x y 1 ; 1 và B x y 2 ; 2 (x x1; 2 là 2 nghiệm của phương trình y'  0)

Theo định lý Vi-et, ta có:      



1 2

3

x x

Khi đó: x1x2   2 x1x22 4 x x1 2   4 4m 12 12   4 m 12     4 3 m  1 2 

Kết luận: Từ  1 và  2 suy ra giá trị cần tìm là:        

 3; 1 3  1 3;1

m

Bài toán 2: Cho hàm số:  2 3    2  2   

3

y x m x m m x , với mlà tham số thực

Gọi các điểm cực trị là x x1; 2 Tìm Max của biểu thức: A x x1. 2 2x1x2

Bài giải:

Tập xác định: D  ; y' 2x2 2m 1x m2 4m 3

Hàm số đạt cực đại, cực tiểu tại x x1; 2 phương trình y'  0 có 2 nghiệm phân biệt là x x1; 2

'

'y 0

                Khi đó, hàm số đã cho có 2 điểm cực trị: A x y 1 ; 1 và B x y 2 ; 2 (x x1; 2 là 2 nghiệm của phương trình y'  0)

https://www.facebook.com/groups/hotroonthi01/

https://www.facebook.com/groups/2000daudaihoc/

BÀI GI

ẢNG 2017 - 1999 ÔN THI

Theo định lý Vi-et, ta có: 1 2  

2

1 2

1

4 3

2

x x

    









Ta có:

2

A x x  x x     m  m  m  m m   m m

           )

          

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi: m  4

Kết luận: Vậy 9

2 m 

Bài toán 3: Tìm m để hàm số: y m2x3 3x2 mx 5 , với m là tham số thực

Tìm các giá trị của m để các điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số đã cho có hoành độ là các

số dương

Bài giải:

Các điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số đã cho có hoành độ là các số dương

Phương trình  2

y  m  x m có 2 nghiệm dương phân biệt

 

2

2 0

0

3 0 2

P

S

m

   



    





 

Kết luận: Vậy m   3; 2 để các điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số đã cho có hoành độ

là các số dương

Bài toán 4: Cho hàm số: y x3 3x2 mx 2, với m là tham số thực

Xác định mđể đồ thị hàm số có các điểm cực đại và cực tiểu cách đều đường thẳng y x 1

Bài giải:

Tập xác định: D  ; y' 3x2 6x m

https://www.facebook.com/groups/hotroonthi01/

BÀI GI

ẢNG 2017 - 1999 ÔN THI

'y 0

     9 3m   0 m   3 *

Khi đó, hàm số đã cho có 2 điểm cực trị: A x y 1 ; 1 và B x y 2 ; 2 (x x1; 2 là 2 nghiệm của phương trình y'  0)

Thiện hiện phép chia y cho y' ta được:

 

                       

 Phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị là: 2 2

       

Các điểm cực trị cách đều đường thẳng y  x 1 xảy ra 1 trong 2 trường hợp sau:

Trường hợp 1: Đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị song song hoặc trùng vơi đường thẳng

1

      

Trường hợp 2: Trung điểm I của AB nằm trên đường thẳng: y  x 1

2

                

m

      

Kết luận: Vậy các giá trị cần tìm của m là: 3

0;

2

  

 

Bài toán 5: Cho hàm số: y x3 3x2 mx 2 , với m là tham số thực

Tìm m để đồ thị hàm số đã cho có các điểm cực đại, cực tiểu và đường thẳng đi qua các điểm cực trị song song với đường thẳng d y:   4x 3

Bài giải:

Tập xác định: D  ;y' 3x2 6x m

Hàm số đạt cực đại, cực tiểu tại x x1; 2 phương trình y'  0 có 2 nghiệm phân biệt là x x1; 2

'

'y 0

     9 3m   0 m   3

Khi đó, hàm số đã cho có 2 điểm cực trị: A x y 1 ; 1 và B x y 2 ; 2 (x x1; 2 là 2 nghiệm của phương trình y'  0)

Thiện hiện phép chia y cho y' ta được:

 

                       

 Phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị là: : 2 2 2 2

       

Đường thẳng đi qua các điểm cực trị song song với d y:   4x 3

https://www.facebook.com/groups/hotroonthi01/

https://www.facebook.com/groups/2000daudaihoc/

BÀI GI

ẢNG 2017 - 1999 ÔN THI

2 4

3

m

m m

  

   

  

  

      

 



( Thỏa mãn)

Kết luận: Vậy m 3 để đồ thị hàm số đã cho có các điểm cực đại, cực tiểu và đường thẳng đi qua các điểm cực trị song song với đường thẳng d y:   4x 3

Bài toán 6: Cho hàm số:y x33x2 mx 2, với mlà tham số thực

Tìmmđể đồ thị hàm số có các điểm cực đại, cực tiểu và đường thẳng đi qua các điểm cực trị tạo với đường thẳng d x:  4y  5 0 một góc 45 

Bài giải:

Tập xác định: D  ;y' 3x2 6x m

Hàm số đạt cực đại, cực tiểu tại x x1; 2 phương trình y'  0 có 2 nghiệm phân biệt là x x1; 2

'

'y 0

     9 3m  0 m  3 * 

Khi đó, hàm số đã cho có 2 điểm cực trị: A x y 1 ; 1 và B x y 2 ; 2 (x x1; 2 là 2 nghiệm của phương trình y'  0)

Thiện hiện phép chia y cho y' ta được:

 

                       

 Phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị là: 2 2

       

3

m

   

  Đường thẳng d x:  4y  5 0 có hệ số góc bằng 1

4



Ta có:

1

tan 45

1

4

k

          

Kết hợp điều kiện  * , suy ra giá trị cần tìm của m là: 1

2

m  

Kết luận: Vậy 1

2

m  để đồ thị hàm số có các điểm cực đại, cực tiểu và đường thẳng đi qua các điểm cực trị tạo với đường thẳng d x:  4y  5 0 một góc 45 

Chú ý: Nếu k k1; 2 theo thứ tự là hệ số góc của d d1; 2 Gọi là góc giữa hai đường thẳng d d1; 2 Khi đó ta có công thức sau: 1 2

1 2

tan

1

k k

k k

  

 ( Điều kiện: d1 KHÔNG vuông góc với d2)

https://www.facebook.com/groups/hotroonthi01/

BÀI GI

ẢNG 2017 - 1999 ÔN THI

Bài toán 7: Tìm m để hàm số: 1 3 2  2 

1 1 3

y x mx  m m x đạt cực tiểu tại x  1

Bài giải:

Tập xác định: D  ;y' x2 2mx m2 m1; ''y 2x2m

Hàm số đạt cực tiểu tại x  1 khi:  

 

2

1

2 2 0 '' 1 0

m m

y

      



( Vô nghiệm )

Kết luận: Vậy không tồn tại giá trị nào của m để hàm số đạt cực tiểu tại x  1

Bài toán 8: Tìm m để hàm số: ym 2x3  3x2 mx 5có cực đại và cực tiểu

Bài giải:

Hàm số có cực đại và cực tiểu y x'  đổi dấu 2 lần

 Phương trình y x'  0 có hai nghiệm phân biệt

  2

3 m 2 x 6x m 0

     có hai nghiệm phân biệt

m

             

Kết luận: Vậy m   3; 1 \   2 để hàm số tồn tại 2 điểm cực trị

Bài toán 9: Cho hàm số:y x3  3x2 mx m  2 C m , với mlà tham số thực

Xác định mđể đồ thị hàm số có các điểm cực đại và cực tiểu nằm về hai phía đối với trục hoành

Bài giải:

Xét phương trình hoành độ giao điểm của  C m và trục hoành:

2

1

2 2 0 2

x

  

      

   



 C m có 2 điểm cực trị nằm về 2 phía đối với trục hoành

 Phương trình  1 có 3 nghiệm phân biệt  2 có 2 nghiệm phân biệt khác  1

m

m

   



       

https://www.facebook.com/groups/hotroonthi01/

https://www.facebook.com/groups/2000daudaihoc/

BÀI GI

ẢNG 2017 - 1999 ÔN THI

Kết luận: Vậy m 3 để đồ thị hàm số có các điểm cực đại và cực tiểu nằm về hai phía đối với trục hoành

Bài toán 10: Cho hàm số: yx3  3x2 m *

Xác định m để đồ thị hàm số  * có hai điểm cực trị A B; sao cho AOB  120 

Bài giải:

Tập xác định: D  ;y' 3x2 6x ' 0 2 4

0

y

     

   

  



Vậy hàm số có hai điểm cực trị: A 0; m và B 2;m 4  

 0; ;  2; 4

OA m OB   m Để AOB  120  thì 1

c os

2

AOB  

2 2

2 2

2

3 24 44 0 2



12 2 3

3

m

m m

  

 









(Thỏa mãn)

Kết luận: Vậy 12 2 3

3

m  

để đồ thị hàm số  * có hai điểm cực trị A B; sao cho AOB  120 

Bài toán 11: Cho hàm số:  3  2   2    3   

y x mx m m m m , với mlà tham số thực

Tìmmđể hàm số  * có cực trị đồng thời khoảng cách từ điểm cực đại của đồ thị hàm số đến gốc tọa độ O bằng 2 lần khoảng cách từ điểm cực tiểu của đồ thị hàm số đến gốc tọa độ O

Bài giải:

Tập xác định: D  ;y' 3x2 6mx 3m2 1

Hàm số  * có cực trị thì phương trình 'y  0có 2 nghiệm phân biệt

     có 2 nghiệm phân biệt     1 0, m

Khi đ: Điểm cực đại: A m  1;2 2  m và điểm cực tiểu B m    1; 2 2m

Ta có: OA 2OBm2  6m   1 0 m   3 2 2 ( Thỏa mãn )

https://www.facebook.com/groups/hotroonthi01/

BÀI GI

ẢNG 2017 - 1999 ÔN THI

Kết luận: Vậy m    3 2 2 để hàm số  * có cực trị đồng thời khoảng cách từ điểm cực đại của

đồ thị hàm số đến gốc tọa độ O bằng 2 lần khoảng cách từ điểm cực tiểu của đồ thị hàm số đến gốc tọa độ O

Bài toán 12: Cho hàm số: y x3  3x2  3 1 m x   1 3m C m

Tìm mđể hàm số có cực đại, cực tiểu, đồng thời các điểm cực đại và cực tiểu cùng với gốc tọa

độ O tạo thành một tam giác có diện tích bằng 4

Bài giải:

Tập xác định: D  ;y' 3x2 2x  1 m

Hàm số  * có cực trị thì phương trình 'y  0có 2 nghiệm phân biệt     0 m  0 * 

Khi đó, hàm số đã cho có 2 điểm cực trị: A x y 1 ; 1 và B x y 2 ; 2 (x x1; 2 là 2 nghiệm của phương trình y'  0)

Thiện hiện phép chia y cho y' ta được phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị là:

:y 2mx 2m 2

     y1  2mx1 2m 2;y2   2mx2 2m 2

AB  x x m x x AB  x x  m x x  x x m  Gọi H là hình chiếu vuông góc của O lên  AB , h là khoảng cách từ O đến AB thì:

2

1

m

m  m m   m m  m  m ( Thỏa mãn )

Kết luận: Vậy m  1 để hàm số có cực đại, cực tiểu, đồng thời các điểm cực đại và cực tiểu cùng với gốc tọa độ O tạo thành một tam giác có diện tích bằng 4

https://www.facebook.com/groups/hotroonthi01/

https://www.facebook.com/groups/2000daudaihoc/

BÀI GI

ẢNG 2017 - 1999 ÔN THI