a Tìm các nghiệm của phương trình trên.. Chứng minh các tập hợp con của các không gian véc tơ quen thuộc sau là các không gian véc tơ con của chúng:... f Tập các hàm khả vi trong không
Trang 1ĐHBKHN Viện Toán ứng dụng và Tin học
Bài tập đại số áp dụng từ k62
Dành cho nhóm 2 (hóa, thực phẩm, môi trường, sinh học, dệt may&da giày thời trang)
(Kiểm tra giữa kỳ chung toàn khóa: Tự luận, 60 phút, sau khi học tám tuần, hệ số 0,3, nội dung : Các chương 1 và 2)
Chương I Ánh xạ - Số phức
Bài 1 Giả sử f (x), g(x)là các hàm số xác định trên Kí hiệu Ax f (x)0, Bx g(x)0 Xác định tập nghiệm phương trình:
f (x) g(x) 0
Bài 2 Cho A, B, C là các tập hợp Chứng minh rằng:
a) (A(AB)C(AC)(BC), b) (AB)C(AC)(BC)
Bài 3 Cho hai ánh xạ
x x
R R
f
1
0 / :
,
2
1 2 :
x
x x
R R g
a) Ánh xạ nào là đơn ánh, toàn ánh Tìm g (R)
b) Xác định ánh xạ hg f
Bài 4 Chứng minh các tính chất của ảnh và nghịch ảnh của ánh xạ f: X Y
a) f (AB)f (A)f (B); A, BX
b) f (AB)f (A)f (B); A, BX.Nêu ví dụ chứng tỏ điều ngược lại không đúng
c) f (A1 B)f (A)1 f (B); A, B1 Y
d) f (A1 B)f (A)1 f (B); A, B1 Y
f (A \ B) f (A) \ f (B); A, B Y f) Chứng minh f là đơn ánh khi và chỉ khi f (AB)f (A)f (B);A, BX
Bài 5 Cho ánh xạ f :RR xác định bởi 2
4 5,
f x x x x , và Ax 3 x 3 Xác định các tập hợp f(A), f-1(A)
Bài 6 Cho ánh xạ f :R2R2xác định bởi f(x,y)(x2y,x3) Xét xem f có phải song ánh không Nếu phải tìm ánh xạ ngược của f
Trang 2ĐHBKHN Viện Toán ứng dụng và Tin học
:R R
f xác định bởi f(x,y)(2x,3y)và tập hợp A(x,y)R2 x2 y2 1
Xác định tập hợp f(A) và f -1 (A)
Bài 8 Viết các số phức sau dưới dạng chính
(1 i 3) b) 8
1 i 3 c)
21
13
(1 i) (1 i)
d)
(2 i 12) ( 3 i)
Bài 9 Tìm nghiệm phức của phương trình sau:
a) z2 z 1 0 b) z22iz 5 0 c) z43iz2 4 0
d) 6 3
z 7z 8 0 e)
4
4
(z i)
1 (z i)
f)
8
z ( 3 i) 1 i g) z2 (7 i)z 14 5i 0
z
thì zn 1n 2cosn , n
z
Bài 11
a) Tính tổng các căn bậc n của 1
b) Tính tổng các căn bậc n của số phức z bất kỳ
c) Cho k cos2k i sin2k ; k 0,1, , (n 1)
k
k 0
Bài 12 Cho phương trình
9
(x 1) 1
0 x
a) Tìm các nghiệm của phương trình trên
b) Tính môđun của các nghiệm
c) Tính tích của các nghiệm từ đó tính
8
k 1
k sin 9
Bài 13 Tìm nghiệm phức của phương trình sau:
a) z7 10243
z
b) z4 z z
Bài 14 Cho x, y, z là các số phức có môđun bằng 1 So sánh môđun của các số phức x + y + z và xy + yz + zx
Chương II
Trang 3ĐHBKHN Viện Toán ứng dụng và Tin học
Ma trận - Định thức - Hệ phương trình
Bài 1 Cho các ma trận
A 2 1 1 , B 2 3 0 , C 3 4 1
Tính các ma trận : A+BC, AtB-C, A(BC), (A+3B)(B-C)
Bài 2 Tìm ma trận X thoả mãn:
a) 1 2 3 0 2X 1 2
b)
1
2
Bài 3 Cho ma trận
1 2 3
3 5 3
và hàm số f (x)3x22x 5 Tính f(A)
sina cosa
Tính
n
A b) Cho
a 1 0
A 0 a 1
0 0 a
Tính n
A
Bài 5 Tìm tất cả các ma trận vuông cấp 2 thoả mãn:
a) X2 0 0
0 0
b)
2 1 0 X
0 1
c d
thoả mãn phương trình sau:
2
x (a d)x ad bc 0
b) Chứng minh với A là ma trận vuông cấp 2 thoả mãn thì Ak 0, (k 2) 2
A 0
Bài 7 Không khai triển định thức mà dùng các tính chất của định thức để chứng minh:
Trang 4ĐHBKHN Viện Toán ứng dụng và Tin học
a)
a b x a b x c 2x a b c
b)
2
2
2
1 a bc 1 a a
c)
1 b b (a b c) 1 b b
Bài 8 Tính các định thức sau:
a)
A
b)
2 2
2 2
2 2
c)
C
d)
2
2
D
e)
E
Bài 9 Chứng minh nếu A là ma trận phản xứng cấp n lẻ thì det(A)=0
Bài 10 Tìm hạng của các ma trận sau:
a)
A
b)
Bài 11 Biện luận theo a hạng của ma trận sau:
a)
A
1 10 17 4
b)
B
Bài 12 Tìm ma trận nghịch đảo của các ma trận sau:
Trang 5ĐHBKHN Viện Toán ứng dụng và Tin học
a) A 3 4
5 7
b)
3 4 5
3 5 1
c)
C
Bài 13 Chứng minh rằng ma trận A vuông cấp n thoả mãn a Ak k ak 1Ak 1 a A1 a E0 0, (a0 0) thì A là
ma trận khả nghịch
Bài 14 Cho
2 12 10
A 2 3 4 ; B 3 4 ; C
6 16 7
Tìm ma trận X thỏa mãn AX B C T
Bài 15 Giải hệ phương trình sau:
a)
x 2x x 4
2x x x 0
b)
3x 5x 7x 1
x 2x 3x 2 2x x 5x 2
c)
3x 5x 2x 4x 2
7x 4x x 3x 5
5x 7x 4x 6x 3
d)
e)
Bài 16 Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp Gauss
a)
b)
c)
Bài 17 Giải và biện luận các hệ phương trình :
a)
2
b)
(2 a)x x x 0
x (2 a)x x 0
x x (2 a)x 0
c)
2
2
3
ax -a x ax 1
Trang 6
ĐHBKHN Viện Toán ứng dụng và Tin học
Bài 18 Tìm đa thức bậc 3 : p(x)ax3bx2cx d thoả mãn p(1) = 0; p(-1) = 4 ; p(2) = 5; p(-2) = -15
Bài 19 Cho phương trình ma trận:
2 7 2a 1 X 2
a) Giải phương trình khi a = 0 b) Tìm a để phương trình có vô số nghiệm
Bài 20 Cho hệ phương trình
a) Giải hệ phương trình khi m = 2, k = 5
b) Tìm điều kiện để hệ có nghiệm duy nhất
b) Tìm điều kiện để hệ phương trình có vô số nghiệm
Chương III Không gian véc tơ
Một vài ký hiệu thường gặp:
n
(x , x , , x ) x , i 1, n
P x a a x a x a , i 0, n
m n
M = tập các ma trận kích thước mxn Đặc biệt M là tập các ma trận vuông cấp n n
Bài 1 Tập V với các phép toán có phải là không gian véc tơ không?
a) V(x, y, z) x, y, z với các phép toán xác định như sau
(x, y, z) (x ', y ', z ') (x x ', y y ', z z ') k(x, y, z) ( k x, k y, k z)
V x(x , x ) x 0, x 0 với các phép toán xác định như sau:
1 2 1 2 1 1 2 2
(x , x ) (y , y ) (x y , x y ) và k k
k(x , x )(x , x ) trong đó k là số thực bất kỳ
Bài 2 Chứng minh các tập hợp con của các không gian véc tơ quen thuộc sau là các không gian véc tơ con của
chúng:
Trang 7ĐHBKHN Viện Toán ứng dụng và Tin học
E x , x , x 2x 5x 3x 0
b) Tập các đa thức có hệ số bậc nhất bằng 0 (hệ số của x )của KGVT Pn[x]
c) Tập các ma trận tam giác trên của tập các ma trận vuông cấp n
d) Tập các ma trận đối xứng của tập các ma trận vuông cấp n
e) Tập các ma trận phản xứng của tập các ma trận vuông cấp n (aij aji)
f) Tập các hàm khả vi trong không gian các hàm số xác định trên [a,b]
Bài 3 Cho V , V là hai không gian véc tơ con của KGVT V Chứng minh: 1 2
a) V1 là KGVT con của V V2
b) Cho V1V :2 u1u u2 1V , u1 2V2 Chứng minh V1V2 là KGVT con của V
Bài 4 Cho V , V là hai không gian véc tơ con của KGVT V Ta nói 1 2 V , V là bù nhau nếu 1 2
V V V, V V Chứng minh rằng V , V bù nhau khi và chỉ khi mọi véc tơ u của V có biểu diễn 1 2 duy nhất dưới dạng u u1 u , (u2 1V , u1 2V )2
Bài 5 Cho V là KGVT các hàm số xác định trên [a,b] Đặt
1
V f (x)V f (x) f ( x), x a, b ; V2 f (x)V f (x) f ( x), x a, b
Chứng minh V , V là bù nhau 1 2
Bài 6 Cho V , V là hai không gian véc tơ con của KGVT V, 1 2 v , v ,1 2 , vm là hệ sinh của V , 1
u , u ,1 2 , unlà hệ sinh của V Chứng minh 2 v ,1 , v , u , u ,m 1 2 , unlà hệ sinh của V1V2
Bài 7 Trong KGVT V, cho hệ véctơ u , u ,1 2 , u , un n 1 là phụ thuộc tuyến tính và u , u ,1 2 , unlà hệ độc lập tuyến tính Chứng minh un 1 là tổ hợp tuyến tính của các véc tơ u , u ,1 2 , u n
Bài 8 Trong 3 xét xem các hệ véc tơ sau độc lập tuyến tính hay phụ thuộc tuyến tính:
a) v1(1; 2;3), v2(3;6;7)
b) v14; 2;6 , v 2 ( 6;3; 9)
c) v1(2;3; 1), v 2 (3; 1;5), v 3 1;3; 4
Bài 9 Trong 3, chứng minh v1(1;1;1), v2 (1;1; 2), v3 1; 2;3 lập thành một cơ sở Xác định ma trận chuyển từ cơ sở chính tắc sang cơ sở trên và tìm toạ độ của x(6;9;14) đối với cơ sở trên theo hai cách trực tiếp và dùng công thức đổi tọa độ
Bài 10 Trong các trường hợp sau, chứng minh Bv , v , v1 2 3 là một cơ sở của 3 và tìm v B biết rằng:
Trang 8ĐHBKHN Viện Toán ứng dụng và Tin học
a) v1(2;1;1), v2 (6; 2;0), v3 (7;0;7), v15;3;1
b) v1(0;1;1), v2 (2;3;0), v3 1;0;1 , v (2;3;0)
Bài 11 Tìm cơ sở và số chiều của KGVT sinh bởi hệ véc tơ sau:
a) v1(2;1;3; 4), v2(1; 2;0;1), v3 ( 1;1; 3;0) trong 4
b) v1(2;0;1;3; 1), v 2(1;1;0; 1;1), v 3(0; 2;1;5; 3), v 4 (1; 3; 2;9; 5) trong 5
Bài 12 Trong 4 cho các véc tơ : v1(1;0;1;0), v2(0;1; 1;1), v 3(1;1;1; 2), v4(0;0;1;1) Đặt
V span{v , v }, V span{v , v } Tìm cơ sở và số chiều của các KGVT V1V , V2 1 V2
Bài 13 Trong P x cho các véc tơ 3 v1 1, v2 1 x, v3 x x , v2 4 x2x3
a) Chứng minh Bv , v , v , v1 2 3 4là một cơ sở của P x 3
b) Tìm toạ độ của véc tơ 2 3
v 2 3xx 2x đối với cơ sở trên
c) Tìm toạ độ của véc tơ 2 3
va a xa x a x đối với cơ sở trên
Bài 14 Cho KGVT P x với cơ sở chính tắc 3 2 3
E 1, x, x , x và cở sở 2 3
B 1, ax, (ax) , (ax) Tìm
ma trận chuyển cơ sở từ E sang B và ngược lại từ B sang E Từ đó tìm tọa độ của véc tơ 2 3
v 2 2xx 3x
đối với cơ sở B
Bài 15 Cho KGVT P x và hệ véc tơ3 v1 1 x2x3, v2 x x22x3, v1 2 x 3x3,
4
v 1 x x 2x
a) Tìm hạng của hệ véc tơ b) Tìm một cơ sở của không gian span v v v v{ ,1 2, , }3 4
Bài 16 Tìm cơ sở và số chiều của không gian nghiệm của hệ phương trình thuần nhất sau:
a)
b)
2x x 3x 2x 4x 0 4x 2x 5x x 7x 0
Bài 17 Cho A,B là các không gian hữu hạn chiều Chứng minh dim(AB)dim(A)dim(B) dim(A B)
Chương IV Ánh xạ tuyến tính
Bài 1 Cho ánh xạ f : 3 2 xác định bởi công thức f (x , x , x )1 2 3 (3x1x2x , 2x3 1x )3
a) Chứng minh f là ánh xạ tuyến tính
Trang 9ĐHBKHN Viện Toán ứng dụng và Tin học
b) Tìm ma trận của f đối với cặp cơ sở chính tắc
c) Tìm một cơ sở của kerf
Bài 2 Cho ánh xạ f : 3 4 xác định bởi công thức f (x , x , x )1 2 3 (x1x , x2 2x , x3 3x , x1 1x2x )3 a) Chứng minh f là ánh xạ tuyến tính
b) Tìm ma trận của f đối với cặp cơ sở chính tắc
Bài 3 Cho ánh xạ đạo hàm D : P xn P xn xác định bởi
D(a a xa x a x ) a 2a x na x
a) Chứng minh D là ánh xạ tuyến tính
b) Tìm ma trận của D đối với cơ sở chính tắc 2 n
E 1, x, x , , x c) Xác định kerf và imf
2.
f (p) p x p, p P x a) Chứng minh f là ánh xạ tuyến tính
b) Tìm ma trận của f đối với cặp cơ sở chính tắc 2
1
E 1, x, x của P x và 2 2 3 4
2
E 1, x, x , x , x của
4
P x
c) Tìm ma trận của f đối với cặp cơ sở 2
1
E ' 1 x, 2x,1 x của P x và 2 2 3 4
2
E 1, x, x , x , x của
4
P x
Bài 5 Xét 2 giống như tập các véc tơ thông thường trong mặt phẳng có gốc ở gốc tọa độ Cho f là phép quay một góc Tìm ma trận của f đối với cơ sở chính tắc của 2
a) Chứng minh f là ánh xạ tuyến tính
b) Tìm ma trận của f đối với cơ sở chính tắc e1 1 0 , e2 0 1 , e3 0 0 , e4 0 0
2
M
Bài 7 Cho
là ma trận của axtt f : P x2 P x2 đối với cơ sở Bv , v , v1 2 3 trong đó:
v 3x3x , v 1 3x2x , v 3 7x2x
a) Tìm f (v ), f (v ), f (v ) b) Tìm 1 2 3 f (1 x ) 2
Trang 10ĐHBKHN Viện Toán ứng dụng và Tin học
f : xác định bởi f x , x , x 1 2 3(x1x2x , x3 1x2x , x3 1 x2x )3 Tìm ma trận của f đối với cơ sở Bv1(1;0;0), v2 (1;1;0), v3 (1;1;1)
Bài 9 Cho V là KGVT V* Hom(V, R)={f: V R, f là ánh xạ tuyến tính}
Giả sử V có cơ sở {e1,e2, ,en} Xét tập hợp {f1,f2, ,fn} *
V
trong đó f (e )i j 1 khi i j
0 khi i j
Chứng minh
{f1,f2, ,fn} là cơ sở của V*, và được gọi là cơ sở đối ngẫu ứng với {e1,e2, ,en}
Bài 10 Cho A là ma trận vuông cấp n Ta xác định ánh xạ f : MA n Mn như sau f (X)A AX
a) Chứng minh f là biến đổi tuyến tính A
b) Giả sử det(A)0 Chứng minh f là đẳng cấu tuyến tính A
c) Cho A a b
c d
Tìm ma trận của f đối với cơ sở chính tắc của A M là 2
Bài 11 Cho ma trận
3 2 1 0
A 1 6 2 1
3 0 7 1
là ma trận của ánh xạ tuyến tính f : 4 3 đối với cặp cơ sở
1 2 3 4
B v , v , v , v của 4và B'u , u , u1 2 3của 3 trong đó :
v (0;1;1;1), v (2;1; 1; 1), v (1; 4; 1; 2), v (6;9; 4; 2) và u1(0;8;8), u2 ( 7;8;1), u3 ( 6;9;1) a) Tìm f (v )1 B', f (v )2 B', f (v )3 B', f (v )4 B'
b) Tìm f (v ), f (v ), f (v ), f (v ) 1 2 3 4
c) Tìm f (2; 2; 0; 0)
Bài 12 Cho toán tử tuyến tính trên xác định bởi:
Tìm ma trận của đối với cơ sở chính tắc của và tìm
Bài 13 Cho V,V' là 2 KGVT n chiều và f : VV ' là ánh xạ tuyến tính Chứng minh các khẳng định sau tương đương:
a) f là đơn ánh b) f là toàn ánh c) f là song ánh
Bài 14 Tìm các giá trị riêng và cơ sở không gian riêng của các ma trận:
Trang 11ĐHBKHN Viện Toán ứng dụng và Tin học
a) A 3 0
b)
10 9 B
c)
d)
0 1 0
2 1 2
e)
4 5 2
6 9 4
f)
F
Bài 15 Cho ánh xạ tuyến tính f : P x2 P x2 xác định như sau:
f (a a xa x )(5a 6a 2a ) (a 8a )x(a 2a )x
a) Tìm giá trị riêng của f
b) Tìm các véc tơ riêng ứng với các giá trị riêng tìm được
Bài 16 Tìm ma trận P làm chéo hóa A và xác định P-1AP khi đó với:
a) A 14 12
20 17
b)
B
c)
1 0 0
C 0 1 1
0 1 1
d)
2 1 2
0 0 3
Bài 17 Ma trận A có đồng dạng với ma trận chéo không? Nếu có , tìm ma trận cheo đó:
a)
1 4 2
3 1 3
b)
5 0 0
B 1 5 0
0 1 5
c)
0 0 0
C 0 0 0
3 0 1
f : xác định như sau:
f (x , x , x )(2x x x , x x , x x 2x ) Hãy tìm cơ sở để f có dạng chéo
Bài 19 Tìm cở sở của 3 để ma trận của f : 3 3 có dạng chéo trong đó
f (x , x , x )(2x x x , x 2x x , x x 2x )
Bài 20 Cho f : VVlà toán tử tuyến tính Giả sử 2
f f f : V có giá trị riêng V 2 Chứng minh một trong 2 giá trị hoặc là giá trị riêng của f
Bài 21 Cho D : P xn P xn là ánh xạ đạo hàm, còn g : P [x]n P [x]n xác định bởi
g(a a xa x a x )(2x3)(a 2a x na x ) Tìm các giá trị riêng của D và g
Trang 12ĐHBKHN Viện Toán ứng dụng và Tin học
Bài 22 Cho A là ma trận kích thước m n , B là ma trận kích thước n p Chứng minh
rank(AB)min rank(A), rank(B) , với rank(A) = hạng của ma trận A
Chương V Không gian Euclide
Bài 1 Cho V là không gían Euclide Chứng minh:
uv u v 2 u v
b) u v uv 2 u 2 v , u, v2 V
Bài 2 Giả sử V là KGVT n chiều với cơ sở Be , e , , e1 2 n Với u, v là các véc tơ của V ta có
ua e a e a e ; vb e b e b e Đặt u, va b1 1a b2 2 a bn n
a) Chứng minh u, v là một tích vô hướng trên V
b) Áp dụng cho trường hợp V 3, với e1 1;0;1 , e 2 1;1; 1 , e 3 0;1;1 , u 2; 1; 2 , v 2;0;5 Tính u, v
c) Áp dụng cho trường hợp VP x2 , với 2 2 2
B 1; x; x , u 2 3x , v 6 3x3x Tính u, v
d) Áp dụng cho trường hợp VP x2 , với 2 2 2
B 1 x; 2x; xx , u 2 3x , v 6 3x 3x Tính
u, v
giao hóa Gram-Schmidt cơ sở để thu được cơ sở trực chuẩn và tìm tọa độ của véc tơ đối với
cơ sở
Bài 4 Tìm hình chiếu trực giao của véc tơ u lên không gian sinh bởi véc tơ v:
a) u1;3; 2; 4 , v 2; 2; 4;5
b) u4;1; 2;3; 3 , v 1; 2;5;1; 4
Bài 5 Cho không gian với tích vô hướng chính tắc và các véc tơ
Đặt Xác định hình chiếu trực giao của véc tơ lên không gian