Đề cương ôn MI1111 de cuong bai tap GT1 2017

Nội dung: Chương 1, chương 2 đến hết tích phân bất định của các hàm phân thức hữu tỉ... Chứng minh rằng bất kỳ hàm số f x nào xác định trong một khoảng đối xứng −a, a, a > 0 cũng đều biể

Trường Đại học Bách Khoa Hà Nội Viện Toán ứng dụng và Tin học

ĐỀ CƯƠNG BÀI TẬP GIẢI TÍCH I - TỪ K62

1) Kiểm tra giữa kỳ hệ số 0.3: Tự luận, 60 phút

Nội dung: Chương 1, chương 2 đến hết tích phân bất định của các hàm phân thức hữu tỉ

2) Thi cuối kỳ hệ số 0.7: Tự luận, 90 phút

Chương 1 Phép tính vi phân hàm một biến số 1.1-1.4 Dãy số, hàm số

1 Tìm tập xác định của các hàm số

a) y =plog(tan x)4

b) y = arcsin 2x

1 + x c) y =

√

x sin πx

d) y = arccos (sin x)

e) y = arcsin(sin x) f) y = sin(arcsin x)

2 Chứng minh các đẳng thức sau

a) sinh(−x) = − sinh x,

b) cosh(−x) = − cosh(x),

c) cosh2x− sinh2x = 1,

d) sinh(x + y) = sinh x cosh y + cosh x sinh y,

e) cosh(x + y) = cosh x cosh y + sinh x sinh y,

f) sinh 2x = 2 sinh x cosh x,

g) cosh 2x = cosh2x+ sinh2x.

3 Tìm miền giá trị của hàm số

a) y = lg (1 − 2 cos x)

b) y = arcsinlg x

10



c) y = arctan(sin x) d) y = arctan(ex)

4 Tìm f (x) biết

a) f



x+ 1

x



= x2 + 1

 x

1 + x



= x2

5 Tìm hàm ngược của hàm số

2(e

x

− e−x)

6 Xét tính chẵn lẻ của hàm số

a) f (x) = ax+ a−x(a > 0)

b) f (x) = ln x +√

1 + x2

c) f (x) = sin x + cos x d) f (x) = arcsin x

7 Chứng minh rằng bất kỳ hàm số f (x) nào xác định trong một khoảng đối xứng (−a, a), (a > 0) cũng đều biểu diễn được duy nhất dưới dạng tổng của một hàm số chẵn với một hàm số lẻ

8 Xét tính tuần hoàn và tìm chu kỳ của hàm số sau (nếu có)

a) f (x) = A cos λx + B sin λx

b) f (x) = sin(x2)

c) f (x) = sin x +1

2sin 2x +

1

3sin 3x

d) f (x) = cos2x e) f (x) = cos x + cos x√

2 f) f (x) = sin x + sin x√

2

1.5-1.6 Giới hạn hàm số

9 Tìm giới hạn

a) lim

x →1

x100− 2x + 1

(xn

− an

) − nan −1(x − a)

n ∈ N

10 Tìm giới hạn

a) lim

x →+∞

q

x+px + √x

√

x+ 1 b) lim

x →+∞

3

√

x3 + x2 − 1 − x

c) lim

x →0

m

√

1 + αx −√n

1 + βx x

d) lim

x →0

m

√

1 + αx√n

1 + βx − 1

11 Tìm giới hạn

a) lim

x →a

sin x − sin a

x− a b) lim

x →+∞ sin√

x+ 1 − sin√x

c) lim

x →0

√ cos x −√3

cos x sin2x

d) lim

x →0

1 − cos x cos 2x cos 3x

12 Tìm giới hạn

a) lim

x →∞

 x2− 1

x2 + 1

x−1x+1

b) lim

x →0 +(cos√

x)1x

c) lim

x →∞[sin (ln (x + 1)) − sin (ln x)]

d) lim

n →∞n2(√n

x− n+1√

x) , x > 0

13 Khi x → 0+ cặp VCB sau có tương đương không?

α(x) =

q

x+ √

x và β(x) = esin x

− cos x

1.7 Hàm số liên tục

14 Tìm a để hàm số liên tục tại x = 0

a) f (x) =







1 − cos x

x2 , nếu x 6= 0,

b) g(x) =





ax2 + bx + 1, nếu x ≥ 0,

acos x + b sin x, nếu x < 0

15 Điểm x = 0 là điểm gián đoạn loại gì của hàm số

1 − 2cot x b) y = sin

1 x

ax

− ebx

(a 6= b) 1.8 Đạo hàm và vi phân

16 Tìm đạo hàm của hàm số

f(x) =















(1 − x)(2 − x), nếu 1 ≤ x ≤ 2,

17 Với điều kiện nào thì hàm số

f(x) =







xnsin 1

x, nếu x 6= 0,

(n ∈ Z)

a) Liên tục tại x = 0

b) Khả vi tại x = 0

c) Có đạo hàm liên tục tại x = 0

18 Chứng minh rằng hàm số f (x) = |x − a|ϕ(x), trong đó ϕ(x) là một hàm số liên tục và ϕ(a) 6= 0, không khả vi tại điểm x = a

19 Tìm vi phân của hàm số

a) y = 1

aarctanx

a,(a 6= 0) b) y = arcsinx

a,(a 6= 0)

c) y = 1

2aln

x− a

x+ a

,(a 6= 0) d) y = ln

x+√

x2 + a

20 Tìm

a) d

d(x2)

 sin x

x



b) d(sin x)

d(x3) x

3 − 2x6 − x9

21 Tính gần đúng giá trị của biểu thức

a) log 11

b) r 2 − 0.027

2 + 0.02

22 Tìm đạo hàm cấp cao của hàm số

a) y = x2

1 − x, tính y

(8)

b) y = √1 + x

1 − x, tính y

(100)

c) y = x2

1 − x, tính y

(8)

d) y = x2sin x, tính y(50)

23 Tính đạo hàm cấp n của hàm số

a) y = x

x2 − 1

x2 − 3x + 2

c) y = √3 x

1 + x d) y = eaxsin(bx + c)

1.9 Các định lý về hàm khả vi và ứng dụng

24 Chứng minh rằng phương trình xn

+ px + q = 0 với n nguyên dương không thể có quá 2 nghiệm thực nếu n chẵn, không có quá 3 nghiệm thực nếu n lẻ

25 Giải thích tại sao công thức Cauchy dạng f(b) − f(a)

g(b) − g(a) =

f0(c)

g0(c) không

áp dụng được đối với các hàm số

f(x) = x2, g(x) = x3, −1 ≤ x ≤ 1

26.Chứng minh bất đẳng thức

a) |sin x − sin y| ≤ |x − y| b) a− b

a < lna

b <

a− b

b ,0 < b < a

27 Tìm giới hạn

a) lim

x →+∞

q

x+px + √x −√x



b) lim

x →1



x

x− 1 −

1

ln x



c) lim

x →∞

e1x − cosx1

1 −q1 − x12

d) lim

x →0

exsin x − x(1 + x)

x3

e) lim

x →1tanπx

2 ln(2 − x)

f) lim

x →0 1 − atan2x

1

x sin x

g) lim

x →1 −

tanπ2x ln(1 − x)

h) lim

x →0(1 − cos x)tan x

28 Xác định a, b sao cho biểu thức sau đây có giới hạn hữu hạn khi x → 0

f(x) = 1

sin3x − 1

x3 − a

x2 − b x

29 Cho f là một hàm số thực khả vi trên [a, b] và có đạo hàm f00(x) trên (a, b) Chứng minh rằng với mọi x ∈ (a, b) có thể tìm được ít nhất một điểm c ∈ (a, b) sao cho

f(x) − f(a) − f(b) − f(a)

b− a (x − a) =

(x − a)(x − b)

00(c)

30 Khảo sát tính đơn điệu của hàm số

31 Chứng minh bất đẳng thức

a) 2x arctan x ≥ ln 1 + x2
với mọi x ∈ R

b) x − x2

2 ≤ ln(1 + x) ≤ x với mọi x ≥ 0

32 Tìm cực trị của hàm số

a) y = 3x2 + 4x + 4

x2 + x + 1

b) y = x − ln(1 + x)

c) y = 3

p(1 − x)(x − 2)2

d) y = x2

3 + (x − 2)23

33 Dùng phương pháp Newton, tính √6

2 đúng đến 8 chữ số thập phân sau dấu phẩy

1.10 Khảo sát hàm số, đường cong

34 Khảo sát hàm số

a) y = 2 − x2

1 + x4

b) y =√3

x3 − x2 − x + 1

c) y = x4 + 8

x3 + 1

d) y = x− 2

√

x2 + 1

e)







x = 2t

1 − t2

y = t

2

1 + t f)







x = 2t − t2

y = 3t − t3 g) r = a + b cos ϕ, (0 < a ≤ b) h) r = √ a

cos 3ϕ,(a > 0)

Chương 2 Phép tính tích phân hàm một biến số 2.1 Tích phân bất định

1 Tính các tích phân

a) R



1 − x12

 px√xdx b) R |x2 − 3x + 2|dx

x√

x2 + 1

(x2 − 1)3/2

(x + 2)(x + 5)

(x + a)2(x + b)2 g) R sin x sin(x + y)dx

h) R 1 + sin x

sin2x dx

2 Tính các tích phân

a) R arctan xdx

√

x2 − 5x + 6dx

√

x2 + x + 2

d) R x√

−x2 + 3x − 2dx

(x2+ 2x + 5)2 f) R sinn −1xsin(n + 1)xdx g) R e−2xcos 3xdx

h) R arcsin2xdx

3 Lập công thức truy hồi tính In

a) In = R xnexdx

b) In = R dx

cosnx 2.2 Tích phân xác định

4 Tính các đạo hàm

a) d

dx

y

R

x

dy

y

R

x

dx

x 3

R

x 2

dt

√

1 + t4

5 Dùng định nghĩa và cách tính tích phân xác định, tìm các giới hạn

a) lim

n →∞



1

nα+ β +

1

nα+ 2β + · · · + 1

nα+ (n − 1)β

 ,(α, β > 0)

b) lim

n →∞

1

n

r

1 + 1

n +

r

1 + 2

n + · · · +

r

1 + n n

!

6 Tính các giới hạn

a) lim

x →0 +

sin x

R

0

√ tan tdt

tan x

R

0

√ sin tdt

b) lim

x →+∞

x

R

0

(arctan t)2dt

√

x2 + 1

7 Tính các tích phân sau

a)

e

R

1/e

|ln x| (x + 1) dx

b) Re

1

(x ln x)2dx

c)

3π/2

R

0

dx

2 + cos x

d) R3

0

sin2xcos x (1 + tan2x)2dx

e) R3

0

arcsin

r x

1 + xdx f)

π/2

R

0

cosnxcos nxdx

8 Chứng minh rằng nếu f (x) liên tục trên [0, 1] thì

a)

π/2

R

0

f(sin x)dx =

π/2

R

0

f(cos x)dx b) Rπ

0

xf(sin x)dx =

π

R

0

π

2f(sin x)dx.

9 Cho f (x), g(x) là hai hàm số khả tích trên [a, b] Khi đó f2(x), g2(x) và

f(x).g(x) cũng khả tích trên [a, b] Chứng minh bất đẳng thức (với a < b)

b

R

a

f(x)g(x)dx

!2

≤

b

R

a

f2(x)dx

!

b

R

a

g2(x)dx

!

(Bất đẳng thức Cauchy-Schwartz)

2.3 Tích phân suy rộng

10 Xét sự hội tụ và tính (trong trường hợp hội tụ) các tích phân sau

a) R0

−∞

xexdx

b) +∞R

0

cos xdx

c) +∞R

−∞

dx (x2 + 1)2

d) R1

0

dx px(1 − x).

11 Xét sự hội tụ của các tích phân sau

a) R1

0

dx

tan x − x

b) R1

0

√

xdx

esin x − 1

c) R1

0

√

xdx

√

1 − x4

d) +∞R

1

ln (1 + x) dx

x

e) +∞R

1

dx

√

x+ x3

f) +∞R

0

x2dx

x4 − x2 + 1

12 Nếu +∞R

0

f(x)dx hội tụ thì có suy ra được f (x) → 0 khi x → +∞ không?

Xét ví dụ +∞R

0

sin x2
dx

13 Cho hàm f (x) liên tục trên [a, +∞) và limx

→+∞f(x) = A 6= 0 Hỏi

+∞

R

a

f(x)dx có hội tụ không

2.4 Ứng dụng của tích phân xác định

14 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi

a) Đường parabol y = x2 + 4 và đường thẳng x − y + 4 = 0

b) Parabol bậc ba y = x3 và các đường y = x, y = 2x, (x ≥ 0)

c) Đường tròn x2 + y2 = 2x và parabol y2 = x, (y2 ≤ x)

d) Đường y2 = x2 − x4

15 Tính thể tích của vật thể là phần chung của hai hình trụ x2+ y2 ≤ a2

và y2 + z2 ≤ a2,(a > 0)

16 Tìm thể tích vật thể giới hạn bởi mặt paraboloit z = 4 − y2, các mặt

phẳng tọa độ x = 0, z = 0 và mặt phẳng x = a (a 6= 0).

17 Tính thể tích khối tròn xoay tạo nên khi quay hình giới hạn bởi các đường y = 2x − x2 và y = 0

a) Quanh trục 0x một vòng b) Quanh trục 0y một vòng

18.Tính độ dài đường cong

a) y = lne

x+ 1

ex− 1 khi x biến thiên từ 1 đến 2.

b)







x = a

 cos t + ln tan t

2



y = a sin t

khi t biến thiên từ π

3 đến π

2 (a > 0).

19 Tính diện tích mặt tròn xoay tạo nên khi quay các đường sau

a) y = sin x, 0 ≤ x ≤ π2 quay quanh trục 0x

b) y = 1

3(1 − x)3,0 ≤ x ≤ 1 quay quanh trục 0x

Chương 3 Hàm số nhiều biến số 3.1 Các khái niệm cơ bản

1 Tìm miền xác định của các hàm số sau

px2 + y2 − 1

b) z = p(x2 + y2 − 1) (4 − x2 − y2)

c) z = arcsin y − 1

x d) z = √

xsin y

2 Tìm các giới hạn nếu có của các hàm số sau

a) f (x, y) = x

2 − y2

x2 + y2, (x → 0, y → 0) b) f (x, y) = sin πx

2x + y, (x → ∞, y → ∞) c) f (x, y) = x3 − y3

x2 + y2, (x → 0, y → 0)

d) f (x, y) = 1 − cospx2 + y2

x2 + y2 , (x → 0, y → 0)

3.2 Đạo hàm riêng và vi phân

3 Tính các đạo hàm riêng của các hàm số sau

a) z = lnx+px2+ y2

b) z = y2sinx

y c) z = arctan

s

x2 − y2

x2 + y2

d) z = xy3,(x > 0)

e) u = xy z

,(x, y, z > 0)

f) u = ex2+y2+z21

4 Khảo sát sự liên tục và sự tồn tại, liên tục của các đạo hàm riêng của hàm số f (x, y) sau

a) f (x, y) =







xarctany

x

2

, nếu x 6= 0,

b) f (x, y) =









xsin y − y sin x

x2 + y2 , nếu (x, y) 6= (0, 0),

5 Giả sử z = yf (x2− y2), ở đây f là hàm số khả vi Chứng minh rằng đối với hàm số z hệ thức sau luôn thỏa mãn

1

xzx

0 + 1

yzy

0 = z

y2

6 Tìm đạo hàm riêng các hàm số hợp sau đây

a) z = eu 2

−2v 2

, u = cos x, v = px2 + y2

b) z = ln u2 + v2
, u = xy, v = x

y c) z = arcsin (x − y) , x = 3t, y = 4t3

7 Tìm vi phân toàn phần của các hàm số

a) z = sin(x2 + y2)

b) z = ln tany

x

c) z = arctan x+ y

x− y d) u = xy 2 z

8 Tính gần đúng

a) A = 3

q

(1, 02)2 + (0, 05)2 b) B = ln √3

1, 03 +√4

0, 98 − 1

9 Tìm đạo hàm, đạo hàm riêng của các hàm số ẩn xác định bởi các phương trình sau

a) x3y − y3x = a4, tính y0

b) x + y + z = ez, tính zx 0, zy 0

c) arctanx+ y

a, tính y0

d) x3 + y3 + z3 − 3xyz = 0, tính zx 0, zy0

10 Cho u = x+ z

y + z, tính ux 0, uy 0 biết rằng z là hàm số ẩn của x, y xác định bởi phương trình zex = xex+ yey

11 Tìm đạo hàm của hàm số ẩn y(x), z(x) xác định bởi hệ







x+ y + z = 0

x2 + y2 + z2 = 1

12 Phương trình z2+ 2

x = py2 − z2, xác định hàm ẩn z = z(x, y) Chứng minh rằng

x2zx 0+ 1

yzy

0 = 1

z.

13 Tính các đạo hàm riêng cấp hai của hàm số sau

a) z = 1

3

q

(x2 + y2)3 b) z = x2ln(x + y) c) z = arctan y

x 3.3 Cực trị của hàm số nhiều biến số

14 Tính vi phân cấp hai của các hàm số sau

2(x2 + y2)

15 Tìm cực trị của các hàm số sau

a) z = x2 + xy + y2 + x − y + 1

b) z = x + y − xey

c) z = x2 + y2 − e−(x 2

+y 2

)

d) z = 2x4 + y4 − x2 − 2y2

16 Tìm cực trị có điều kiện

a) z = 1

x + 1

y với điều kiện 1

x2 + 1

y2 = 1

a2

b) z = xy với điều kiện x + y = 1

17 Tính giá trị lớn nhất và bé nhất của các hàm số

a) z = x2y(4 − x − y) trong hình tam giác giới hạn bởi các đường thẳng

x = 0, y = 0, x + y = 6

b) z = sin x+sin y +sin(x+y) trong hình chữ nhật giới hạn bởi các đường thẳng x = 0, x = π

2, y = 0, y =

π

2

25 Giải thích công thức Cauchy dạng f(b) − f(a)

g(b) − g(a) =

f0(c)

g0(c) không

áp dụng hàm số

f(x)