Tính ổn định và đặt chỉnh tikhonov của bài toán cân bằng từ điển

Bài toán LEP được gọi là i đặt chỉnh Tikhonov mở rộng, nếu SLEP6= /0 và mỗi dãy nghiệm xấp xỉ bất kỳ{xn} của bài toán LEP đều tồn tại một dãy con {xnk} hội tụ về một điểm ởtrong tập nghi

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP.HCM

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

Phản biện 1: TS Nguyễn Bá Thi

Phản biện 2: TS Nguyễn Đình Tuấn

Phản biện 3: TS Nguyễn Hồng Quân

Phản biện độc lập 1: PGS.TS Trương Xuân Đức Hà

Phản biện độc lập 2: TS Nguyễn Xuân Hải

Luận án sẽ được bảo vệ trước Hội đồng chấm luận án cấp Cơ sở đào tạo tại trường

Đại học Khoa học Tự Nhiên - HCM vào lúc ngày tháng năm

Có thể tìm hiểu luận án tại thư viện:

1 Thư viện Tổng hợp Quốc gia Tp.HCM

2 Thư viện Trường Đại học Khoa học Tự Nhiên - HCM

Chương 1

Kiến thức bổ trợ

Chương này trình bày một số kiến thức cơ sở được dùng cho các chương sau

1.1 Tính liên tục của ánh xạ đơn trị

Định nghĩa 1.1.1 Cho f : E → R ∪ {+∞}, a ∈ R, ¯x ∈ E và {xn} là dãy bất kỳ trong

Ehội tụ về ¯x Hàm f được gọi là

(a) a-mức trên đóng tại ¯xnếu mệnh đề kéo theo sau đây thỏa mãn

1.2 Tính lồi và tính đơn điệu của hàm giá trị thực

Định nghĩa 1.2.1 Cho X ⊂ E là tập lồi Hàm f : X → R ∪ {+∞} được gọi là

(i) lồi trên X nếu với mọi x, y ∈ X và t ∈ (0, 1), ta có

f(tx + (1 − t)y) ≤ t f (x) + (1 − t) f (y)

Định nghĩa 1.2.2 (Xem Crouzeix et al., 20001

) Song hàm g : X × X → R được gọilà

(a) giả đối xứng, nếu với mỗi cặp x, y ∈ X , g thỏa mãn điều kiện sau đây:

g(x, y) = 0 =⇒ g(y, x) = 0;

(b) tựa đơn điệu, nếu

g(x, y) > 0 =⇒ g(y, x) ≤ 0, với mọi x, y ∈ X ;

(c) giả đơn điệu, nếu

g(x, y) ≥ 0 =⇒ g(y, x) ≤ 0, với mọi x, y ∈ X ;

(d) giả đơn điệu∗, nếu nó là giả đơn điệu trên X và với mỗi cặp x, y ∈ X , nếu g(x, y) =g(y, x) = 0 thì với mọi z ∈ X tồn tại một số thực dương k phụ thuộc vào x, y, z saocho

g(x, z) = kg(y, z);

(e) giả đối xứng∗, nếu g là giả đối xứng và giả đơn điệu∗

1.3 Tính liên tục của ánh xạ đa trị

Định nghĩa 1.3.1 Ánh xạ đa trị F đi từ không gian tôpô X vào không gian tôpô Y

được gọi là nửa liên tục trên (tương ứng, nửa liên tục dưới) tại ¯xnếu với mọi tập mở

Ucủa Y thỏa mãn F( ¯x) ⊂ U (tương ứng, F( ¯x) ∩U 6= /0) tồn tại một lân cận mở N của

¯

xsao cho với mọi x ∈ N, F(x) ⊂ U (tương ứng, F(x) ∩U 6= /0)

Ta nói rằng F có một tính chất nào đó trong A ⊂ E nếu F thỏa mãn tính chất đóvới mọi điểm thuộc A

1 Crouzeix, J.P., Marcotte, P., Zhu, D.: Conditions ensuring the applicability of cutting-plane methods

for solving variational inequalities Mathematical Programming 88, 521–539 (2000)

γ ∈I⊂ gph F, xγ→ x thì {yγ}γ ∈Icó một điểm tụ trong F(x).

(ii) F là nửa liên tục dưới tại x khi và chỉ khi với mọi xγ→ x và y ∈ F(x), tồn tại

yγ∈ F(xγ) sao cho yγ→ y.

1.4 Độ đo tính không compact

Định nghĩa 1.4.1 Cho M là một tập con khác rỗng của không gian metric E Độ đo

Kuratowski của M được xác định như sau

µ (M) = inf{ε > 0 | M ⊂

n[

k=1

Mk, Mk⊂ X và diamMk≤ ε, ∀k, n ∈ N}

Định nghĩa 1.4.2 Cho A, B là hai tập con khác rỗng của E Khoảng cách Hausdorff

giữa A và B được xác định như sau

H(A, B) = max {H∗(A, B), H∗(B, A)} ,

ở đó H∗(A, B) = supa∈Ad(a, B) với d(a, B) = infb∈Bd(a, b)

1.5 Nón thứ tự từ điển trong không gian Rn

Cho {r1, r2, , rn} là một cơ sở trực chuẩn trong Rn Khi đó, nón từ điển trong không

gian Rnđược xác định như sau:

Clex=

n[

i=1

k ∈ Rn| hk, rji = 0, ∀ j < i và hk, rii > 0

!

∪ {0}

Chương 1 Kiến thức bổ trợ

Định nghĩa 1.5.1 Với a = (a1, a2, , an), b = (b1, b2, , bn) ∈ Rn, thứ tự từ điển

trên Rn, ký hiệu lex, là một quan hệ thứ tự được xác định như sau

alexb⇐⇒ a = b hoặc ai> bivới tọa độ khác nhau đầu tiên thứ i của a và b

1.6 Mô hình bài toán cân bằng từ điển

Cho X các tập con khác rỗng của không gian Banach E Gọi E∗là không gian đốingẫu của E Chuẩn và cặp đối ngẫu của E và E∗lần lượt được ký hiệu bởi k · k vàh·, ·i Cho f = ( f1, f2) : X × X → R2là một hàm giá trị vectơ Bài toán cân bằng từ

điểnđược phát biểu như sau:

(LEP) Tìm ¯x∈ X sao cho

f( ¯x, y) lex0, ∀y ∈ X

Tập nghiệm của bài toán (LEP) được ký hiệu là SLEP Ký hiệu EP(X , fi), i = 1, 2, làbài toán cân bằng: Tìm ¯x∈ X sao cho fi( ¯x, y) ≥ 0, ∀y ∈ X Tập nghiệm của bài toánEP(X , fi) được ký hiệu là SEPi Xét ánh xạ đa trị Z : X ⇒ X được xác định bởi

Cho ánh xạ Ti: E → E∗, i = 1, 2 Bằng cách đặt fi(x, y) = hTi( ¯x), y − ¯xi Khi đó,

bài toán (LEP) trở thành bài toán bất đẳng thức biến phân từ điển

(LVI) Tìm ¯x∈ X sao cho

(hT1( ¯x), y − ¯xi, hT2( ¯x), y − ¯xi) lex0, ∀y ∈ X

Cho g = (g1, g2) : X → R2 Đặt fi(x, y) = gi(y) − gi(x), i = 1, 2 Khi đó, bài toáncân bằng từ điển trở thành bài toán tối ưu từ điển

(LOP) Tìm ¯x∈ X sao cho

g( ¯x) lexg(y), ∀y ∈ X

2.1 Tính chất liên tục của ánh xạ nghiệm bài toán cân bằng từ điển

Cho Λ tập con khác rỗng của không gian Banach E0 Với λ ∈ Λ, xét bài toán cânbằng từ điển phụ thuộc tham số

(LEPλ) Tìm ¯x∈ X sao cho

f1( ¯x, y, λ ) ≥ 0, ∀y ∈ X và f2( ¯x, z, λ ) ≥ 0, ∀z ∈ Z( ¯x, λ ),

với Z(x, λ ) := {y ∈ X | f1(x, y, λ ) = 0}

Định lý 2.1.1 Giả sử cho bài toán (LEPλ)λ ∈Λnhư sau:

(i) X là tập compact;

(ii) filà giả liên tục trên ở trong X × X × { ¯λ } với i = 1, 2;

(iii) Z là nửa liên tục dưới ở trong SEP1( ¯λ ) × { ¯λ }.

Khi đó, ánh xạ nghiệm SLEPlà nửa liên tục trên và đóng tại ¯λ

Mệnh đề sau đây cho ta điều kiện đủ cho tính nửa liên tục dưới của Z ngay cả khiZ( ¯x, ¯λ ) không nhất thiết phải là tập đơn phần tử

Mệnh đề 2.1.1 Với ( ¯x, ¯λ ) ∈ X × Λ, giả sử rằng

(i) Z( ¯x, ¯λ ) 6= /0 và f1là liên tục trong một lân cận của (x, ¯¯y, ¯λ ), với mọi ¯y ∈ Z( ¯x, ¯λ );

(ii) đạo hàm Fréchet ∇2f1của f1 theo biến thứ hai tồn tại và ∇2f1( ¯x, ¯y, ¯λ ) là khả

nghịch với mọiy¯∈ Z( ¯x, ¯λ ) \ { ¯x}.

Khi đó, Z là nửa liên tục dưới tại (x, ¯λ ).¯

Tính chất liên tục của ánh xạ nghiệm cho bài toán (LEPλ) được thể hiện qua cácđịnh lý sau

Chương 2 Tính chất liên tục của ánh xạ nghiệm bài toán cân bằng từ điển

Định lý 2.1.2 Với các giả thiết trong Định lý 2.1.1 và giả sử thêm rằng

(iv) f2(·, ·, ¯λ ) là tựa đơn điệu ở trong X × X ;

(v) với mỗi x ∈ SLEP( ¯λ ) và y ∈ SLEP( ¯λ ) \ {x}, f2(x, y, ¯λ ) > 0

Khi đó, SLEPlà liên tục tại ¯λ

Định lý 2.1.3 Giả sử cho bài toán (LEPλ)λ ∈Λnhư sau:

(i) X là tập compact;

(ii) fi, i = 1, 2, là các hàm giả liên tục trên ở trong X × X × { ¯λ };

(iii) với mỗi lân cận W của ¯λ và λ ∈ W , f1(·, ·, λ ) là giả đối xứng∗ở trong X × X;

(iv) với x ∈ SEP1( ¯λ ) và y ∈ SEP1( ¯λ ) \ {x}, f1(x, y, ¯λ ) > 0

Khi đó, ánh xạ nghiệm SLEPlà liên tục tại ¯λ

2.2 Áp dụng vào bài toán tối ưu từ điển

Cho hàm g : X × Λ → R2 Ký hiệu SOP1(λ ) := {x ∈ X | g1(x, λ ) = minXg1(·, λ )}.Với mỗi λ ∈ Λ, bài toán tối ưu ứng với thứ tự từ điển được phát biểu sau:

(LOPλ) Tìm ¯x∈ SOP1(λ ) sao cho ¯x ∈ arg minZ(x,λ )g2(·, λ ),

ở đó Z(x, λ ) := {y ∈ K(λ ) | g1(y, λ ) = g1(x, λ )}

Định lý 2.2.1 Giả sử cho bài toán (LOPλ) như sau:

(i) X là tập compact;

(ii) gilà giả liên tục ở trong X × { ¯λ }, với i = 1, 2;

(iii) Z là nửa liên tục dưới ở trong SOP 1( ¯λ ) × { ¯λ }

Khi đó, ánh xạ nghiệm SLOPlà nửa liên tục trên và đóng tại ¯λ

Định lý 2.2.2 Với các giả thiết của Định lý 2.2.1 và

(iv) g2là đơn điệu ở trong X × { ¯λ }.

Khi đó, ánh xạ nghiệm SLOPlà liên tục tại ¯λ

Định lý 2.2.3 Với các giả thiết (i) và (ii) của Định lý 2.2.1 và

(v) g1đơn điệu ở trong X × { ¯λ }.

Khi đó, ánh xạ nghiệm SLOPlà liên tục tại ¯λ

Chương 3

Tính đặt chỉnh Tikhonov của bài toán cân

bằng từ điển

Trong chương này, chúng ta nghiên cứu tính đặt chỉnh Tikhonov và đặt chỉnh Tikhonov

theo dãy của bài toán (LEP).

3.1 Tính đặt chỉnh Tikhonov của bài toán cân bằng từ điển

Với mỗi số thực ε ∈ [0, +∞), ta xét bài toán xấp xỉ ứng với e = (0; 1) như sau:(LEPε) Tìm ¯x∈ X sao cho

f(x, y) + εe lex0, ∀y ∈ X

Tập nghiệm của bài toán xấp xỉ (LEPe,ε) được xác định như sau:

e

S(ε) = {x ∈ X | f1(x, y) ≥ 0, ∀y ∈ X và f2(x, z) + ε ≥ 0, ∀z ∈ Z(x)}

Định nghĩa 3.1.1 Dãy {xn} được gọi là dãy nghiệm xấp xỉ của bài toán (LEP), nếu

tồn tại dãy số thực dương {εn}, với εn↓ 0, sao cho xn∈ eS(εn), ∀n ∈ N

Định nghĩa 3.1.2 Bài toán (LEP) được gọi là

(i) đặt chỉnh Tikhonov mở rộng, nếu SLEP6= /0 và mỗi dãy nghiệm xấp xỉ bất kỳ{xn} của bài toán (LEP) đều tồn tại một dãy con {xnk} hội tụ về một điểm ởtrong tập nghiệm SLEP

(ii) đặt chỉnh Tikhonov, nếu nó là đặt chỉnh Tikhonov mở rộng và tập nghiệm của

Chương 3 Tính đặt chỉnh Tikhonov của bài toán cân bằng từ điển

Khi đó, bài toán (LEP) là đặt chỉnh Tikhonov mở rộng Hơn nữa, nó là đặt chỉnh

Tikhonov nếu SLEPlà tập đơn phần tử.

Sau đây, chúng ta xét một đặc trưng metric của tính đặt chỉnh Tikhonov cho bài

toán (LEP) thông qua đường kính của các tập nghiệm xấp xỉ.

ε →0

diam(eS(ε)) = 0

Tiếp theo, chúng ta khảo sát tính đặt chỉnh Tikhonov mở rộng của bài toán (LEP)

bằng cách sử dụng độ đo Kuratowski của tính không compact của tập nghiệm xấp xỉ

Định lý 3.1.3 Giả sử rằng

(i) f1 là hàm liên tục ; đạo hàm Fréchet của f1 theo biến thứ hai tồn tại và

∇2f1(x, y) là khả nghịch với mọi x, y ∈ X , x 6= y;

(ii) f2là hàm δ -mức trên đóng với mọi δ < 0.

Khi đó, bài toán (LEP) là đặt chỉnh Tikhonov mở rộng khi và chỉ khi

eS(ε) 6= /0, ∀ε > 0 và lim

ε →0

µ ( eS(ε)) = 0

3.2 Tính đặt chỉnh Tikhonov theo dãy của bài toán cân bằng từ điển

Trong mục này, chúng ta nghiên cứu tính đặt chỉnh Tikhonov cho bài toán cân bằng

từ điển bị nhiễu bởi một dãy các bài toán xấp xỉ được mô tả dưới dạng nhiễu các ràngbuộc và hàm mục tiêu Cn⊂ X và f(n): X2→ R2 Khi đó, bài toán này được nhúngvào họ bài toán sau đây:

(LEP(C

n , f (n) )) Tìm ¯x∈ Cnsao cho

f(n)( ¯x, y) lex0, ∀y ∈ Cn.Đặt

C := {C ⊂ X | C là tập đóng khác rỗng},

Chương 3 Tính đặt chỉnh Tikhonov của bài toán cân bằng từ điển

F := { f = ( f1, f2) : X2→ R2| f là một hàm},và

M := {(C, f ) ∈ C × F | tồn tại ¯x ∈ C sao cho f ( ¯x,y) lex0, ∀y ∈ C}

Để đơn giản trong cách trình bày, trong phần này, ta ký hiệu (LEP) thay cho một họ

các bài toán cân bằng từ điển {(LEPϕ) | ϕ ∈C × F } Bây giờ ta xét các giả thiếtsau:

(A1) f1là hàm liên tục; đạo hàm Fréchet theo biến thứ hai của f1tồn tại và

∇2f1(x, y) là khả nghịch với mọi x, y ∈ X , x 6= y;

(A2) f2là nửa liên tục trên

Ta xét tập con sau đây củaF :

Với mỗi ϕ ∈M , ta ký hiệu tập nghiệm của bài toán (LEPϕ) là S(ϕ) Khi đó,

ϕ 7→ S(ϕ ) là một ánh xạ đa trị từM vào X

Định nghĩa 3.2.1 Với một phần tử ϕ cho trước ở trongC × F , lấy {ϕn} ⊂C × F

là một dãy hội tụ về ϕ Dãy {xn} ⊂ Cn, được gọi là dãy nghiệm xấp xỉ của bài toán

(LEPϕ) ứng với {ϕn}, nếu tồn tại một dãy {εn}, εn↓ 0 sao cho

f(n)(xn, y) + εnelex0, ∀y ∈ Cn.Với mỗi ϕ = (C, f ) ∈C × F và ε,δ ∈ [0,+∞), đặt

ở đó Z(x) = {z ∈ X | f1(x, z) = 0}

Chương 3 Tính đặt chỉnh Tikhonov của bài toán cân bằng từ điển

Định nghĩa 3.2.2 Bài toán (LEP) được gọi là đặt chỉnh Tikhonov mở rộng bị nhiễu

bởi một dãy các bài toán xấp xỉ (gọi tắt là đặt chỉnh Tikhonov theo dãy mở rộng) tại

(i) bài toán (LEPϕ) có nghiệm duy nhất ¯x;

(ii) với bất kỳ dãy {ϕn} hội tụ về ϕ, mỗi dãy nghiệm xấp xỉ của bài toán (LEPϕ)ứng với {ϕn} đều hội tụ về ¯x

Định lý 3.2.1 Giả sử X là tập compact Khi đó, bài toán (LEP) là đặt chỉnh

Tikhonov theo dãy mở rộng ở trong M ∩ (C × Fd) Hơn nữa, nó là đặt chỉnh

Tikhonov theo dãy nếu tập nghiệm của nó là đơn phần tử.

Định lý sau đây cho ta một đặc trưng metric cho tính đặt chỉnh Tikhonov theo

dãy của bài toán (LEP) thông qua các tập nghiệm xấp xỉ.

Định lý 3.2.2 Bài toán (LEP) là đặt chỉnh Tikhonov theo dãy tại điểm ¯ ϕ ở trong

C × Fdkhi và chỉ khi điều kiện sau đây được thỏa mãn

Π( ¯ϕ , δ , ε ) 6= /0, ∀δ , ε > 0 và diam Π( ¯ ϕ , δ , ε ) ↓ 0 khi (δ , ε ) → (0, 0). (3.1)Bằng cách sử dụng độ đo Kuratowski của sự không compact của các tập nghiệmxấp xỉ, ta thu được các điều kiện đặc trưng cho tính đặt chỉnh Tikhonov theo dãy mở

rộng của bài toán (LEP).

Định lý 3.2.3.

(a) Nếu bài toán (LEP) là đặt chỉnh Tikhonov theo dãy mở rộng tại ¯ϕ ∈C × F ,

thì

Π( ¯ϕ , δ , ε ) 6= /0, ∀δ , ε > 0 và µ(Π( ¯ ϕ , δ , ε )) ↓ 0 khi (δ , ε ) → (0, 0). (3.2)

(b) Giả sử C ×F là không gian compact và ¯ϕ ∈ C ×Fd Khi đó, bài toán(LEP)

là đặt chỉnh Tikhonov theo dãy mở rộng tại ¯ ϕ nếu điều kiện (3.2) nghiệm đúng.

Chương 3 Tính đặt chỉnh Tikhonov của bài toán cân bằng từ điển

3.3 Áp dụng vào bài toán bất đẳng thức biến phân từ điển

Trong mục này, chúng ta sẽ áp dụng các kết quả thu được trong những phần trướccho bài toán bất đẳng thức biến phân từ điển

3.3.1 Tính đặt chỉnh Tikhonov của bài toán bất đẳng thức biến phân từ điển

Các hệ quả sau đây được suy ra một cách trực tiếp từ các kết quả tương ứng trongMục3.1

Hệ quả 3.3.1 Giả sử X là tập compact và

(i) T1là liên tục và khả nghịch;

(ii) T2là liên tục.

Khi đó, bài toán (LVI) là đặt chỉnh Tikhonov mở rộng Hơn nữa, nó là đặt chỉnh

Tikhonov nếu tập nghiệm của nó là tập đơn phần tử.

ε →0

µ ( eS(ε)) = 0

Chương 3 Tính đặt chỉnh Tikhonov của bài toán cân bằng từ điển

3.3.2 Tính đặt chỉnh Tikhonov theo dãy của bài toán bất đẳng thức biến phân

Ta xét tập con sau củaA

Ad:= {(T1, T2) | T1là liên tục và khả nghịch; T2là liên tục}

Hệ quả 3.3.4 Giả sử X là tập compact Khi đó, bài toán (LVI) là đặt chỉnh Tikhonov

theo dãy mở rộng ở trongM ∩ (C × Ad) Hơn nữa, nó là đặt chỉnh Tikhonov theo

dãy nếu tập nghiệm của nó là đơn phần tử.

Hệ quả 3.3.5 Bài toán (LVI) là đặt chỉnh Tikhonov theo dãy tại ¯ϕ ∈C × Adkhi

và chỉ khi điều kiện sau đây được thỏa mãn

(b) Giả sử C ×A là không gian compact và ¯ϕ ∈ C ×Ad Khi đó, bài toán(LVI)

là đặt chỉnh Tikhonov theo dãy mở rộng tại ¯ ϕ nếu điều kiện (3.3) nghiệm đúng.

4.1 Tính đặt chỉnh Zolezzi của bài toán cân bằng từ điển có tham số

Với mỗi số ε ∈ [0; ∞), xét bài toán xấp xỉ sau:

(LEPλ ,ε) Tìm ¯x∈ SEP1(λ ) sao cho

f2( ¯x, z, λ ) + ε ≥ 0 ∀z ∈ Z( ¯x, λ ),với Z : SEP1(λ ) × Λ ⇒ X được xác định bởi

Định nghĩa 4.1.1 Dãy {xn} với xn∈ X được gọi là một dãy nghiệm xấp xỉ của bài

toán (LEPλ¯) ứng với dãy {λn} ⊂ Λ, λn→ ¯λ nếu tồn tại một dãy số thực dương {εn}hội tụ về 0 sao cho xn∈ eS(λn, εn), với mỗi n ∈ N

Định nghĩa 4.1.2 Bài toán (LEP) được gọi là đặt chỉnh Zolezzi mở rộng tại ¯λ nếu

với mọi {λn} trong Λ hội tụ về ¯λ , mọi dãy nghiệm xấp xỉ ứng với {λn} của bài toán(LEPλ¯) đều có một dãy con hội tụ về một điểm nào đó trong SLEP( ¯λ )

Định nghĩa 4.1.3 Bài toán (LEP) được gọi là đặt chỉnh Zolezzi tại ¯λ nếu

(i) bài toán (LEPλ¯) có nghiệm duy nhất ¯x,

(ii) với mọi dãy {λn} trong Λ hội tụ về ¯λ , mọi dãy nghiệm xấp xỉ của bài toán(LEPλ¯) ứng với {λn} đều hội tụ về ¯x

Chương 4 Tính đặt chỉnh Zolezzi của bài toán cân bằng từ điển có tham số

Sau đây, chúng ta xét các điều kiện đủ để bài toán (LEP) là đặt chỉnh Zolezzi tại

(ii) f2là hàm 0-mức trên đóng mạnh trong X × X × { ¯λ }.

Khi đó, bài (LEP) là đặt chỉnh Zolezzi mở rộng tại ¯λ Hơn nữa, nó là đặt chỉnh Zolezzi tại điểm này nếu SLEP( ¯λ ) là tập đơn phần tử.

(ii) f2là a-mức trên đóng trong X × X × { ¯λ }, với mọi a ↑ 0.

Nếu µ(Π( ¯λ , δ , ε)) ↓ 0 khi δ ↓ 0 và ε ↓ 0, thì bài toán (LEP) đặt chỉnh Zolezzi

mở rộng tại ¯λ

Chương 4 Tính đặt chỉnh Zolezzi của bài toán cân bằng từ điển có tham số

4.2 Tính đặt chỉnh Levitin-Polyak theo nghĩa Zolezzi của bài toán bài toán cân bằng từ điển

Để đơn giản trong cách trình bày, chúng ta sẽ giản lược cụm từ “theo nghĩa Zolezzi”trong các phát biểu

Định nghĩa 4.2.1 Một dãy {xn} ⊂ E được gọi là dãy nghiệm xấp xỉ Levitin-Polyak

(gọi tắt là dãy nghiệm xấp xỉ LP) của bài toán (LEP) ứng với dãy {λn} ⊂ Λ, λn→ ¯λnếu tồn tại một dãy số thực dương {εn} hội tụ về 0 sao cho

d(xn, X ) ≤ εn, (4.1)và

f(xn, y, λn) + εnelex0, với mọi y ∈ X (4.2)

Định nghĩa 4.2.2 Bài toán (LEP) được gọi là đặt chỉnh LP mở rộng tại ¯λ nếu

(i) tập nghiệm của bài toán (LEPλ¯) là khác rỗng;

(ii) với mọi dãy {λn} trong Λ hội tụ về ¯λ , mỗi dãy nghiệm xấp xỉ LP của bài toán(LEPλ¯) đều có một dãy con hội tụ về một phần tử ở trong SLEP( ¯λ )

Định nghĩa 4.2.3 Bài toán (LEP) được gọi là đặt chỉnh LP tại ¯λ nếu

(i) bài toán (LEPλ¯) có nghiệm duy nhất ¯x;

(ii) với mọi dãy {λn} trong Λ hội tụ về ¯λ , mọi dãy nghiệm xấp xỉ LP của bài toán(LEPλ¯) ứng với {λn} đều hội tụ về ¯x

Với mỗi ε > 0, ta ký hiệu tập nghiệm xấp xỉ LP của bài toán (LEP) bởi