Luận án tập hút của một số lớp phương trình đạo hàm riêng với trễ vô hạn (tt)

Bài toán cơ bản của líthuyết này là nghiên cứu sự tồn tại và các tính chất của tập hút.Trong những năm gần đây, tính ổn định nghiệm và sự tồn tạitập hút đã được nghiên cứu cho một số lớp

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI

——————— * ———————

ĐẶNG THỊ PHƯƠNG THANH

TẬP HÚT CỦA MỘT SỐ LỚP PHƯƠNG TRÌNH

ĐẠO HÀM RIÊNG VỚI TRỄ VÔ HẠN

Chuyên ngành: Phương trình vi phân và tích phân

Mã số: 62 46 01 03

TÓM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

Hà Nội - 2017

Luận án được hoàn thành tại: Trường Đại học Sư phạm Hà Nội

Người hướng dẫn khoa học: PGS TS Cung Thế Anh

Phản biện 1: GS.TSKH Nguyễn Văn Mậu, Trường Đại học Khoahọc Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội

Phản biện 2: PGS.TS Hà Tiến Ngoạn, Viện Toán học, Viện Hànlâm Khoa học và Công nghệ Việt Nam

Phản biện 3: PGS.TSKH Nguyễn Thiệu Huy, Trường Đại họcBách khoa Hà Nội

Luận án sẽ được bảo vệ trước Hội đồng chấm luận án cấpTrường họp tại Trường Đại học Sư phạm Hà Nội vào hồi giờ

ngày tháng năm

Có thể tìm hiểu luận án tại thư viện: Thư viện Quốc Gia, Hà Nội

hoặc Thư viện Trường Đại học Sư phạm Hà Nội

MỞ ĐẦU

1 LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI

Các phương trình đạo hàm riêng có trễ xuất hiện nhiều trongcác quá trình của vật lí và sinh học, chẳng hạn các quá trìnhtruyền nhiệt và khuếch tán, quá trình truyền sóng trong cơ họcchất lỏng, các mô hình quần thể trong sinh học Việc nghiên cứunhững lớp phương trình này có ý nghĩa quan trọng trong khoahọc và công nghệ Chính vì vậy nó đã và đang thu hút được sựquan tâm của nhiều nhà khoa học trên thế giới

Khi xét một quá trình thay đổi theo thời gian mô tả bởi phươngtrình tiến hóa, sau khi nghiên cứu tính đặt đúng của bài toán, việcnghiên cứu dáng điệu tiệm cận của nghiệm khi thời gian ra vô cùngrất quan trọng vì nó cho phép chúng ta hiểu và dự đoán xu thếphát triển của hệ động lực trong tương lai, từ đó có thể có nhữngđiều chỉnh thích hợp để đạt được kết quả mong muốn Về mặttoán học, điều này làm nảy sinh một hướng nghiên cứu mới, đượcphát triển mạnh mẽ trong khoảng ba thập kỉ gần đây là Lí thuyếtcác hệ động lực tiêu hao vô hạn chiều Bài toán cơ bản của líthuyết này là nghiên cứu sự tồn tại và các tính chất của tập hút.Trong những năm gần đây, tính ổn định nghiệm và sự tồn tạitập hút đã được nghiên cứu cho một số lớp phương trình parabolicnửa tuyến tính có trễ và một số lớp phương trình trong cơ họcchất lỏng có trễ Tuy nhiên, bởi những khó khăn cơ bản xuất hiện

do số hạng chứa trễ gây ra nên phần lớn các kết quả đã đạt được

là trong trường hợp trễ hữu hạn Việc phát triển các kết quả nàycho trường hợp trễ vô hạn, trường hợp khó hơn rất nhiều do tínhkhông bị chặn của trễ, mới chỉ đạt được một số ít tiến bộ trongvài năm gần đây trong một vài trường hợp đặc biệt của khônggian pha Do đó, đây đang là vấn đề rất thời sự và thu hút được

sự quan tâm của nhiều nhà toán học trong và ngoài nước

2 TỔNG QUAN VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU

Phương trình parabolic nửa tuyến tính ôtônôm có trễ làphương trình tiến hóa có dạng:

du(t)

dt = Au(t) + F (u t ), t > 0, trong đó A là toán tử sinh của một nửa nhóm liên tục mạnh trên một không gian Banach X; F là một ánh xạ phi tuyến từ B vào

X, B là không gian pha (hay không gian trạng thái); và u t ∈ B là hàm trạng thái xác định bởi u t (θ) = u(t + θ) với mọi θ ∈ (−r, 0],

r là một hằng số không âm (hữu hạn hoặc vô hạn) Một số kết

quả gần đây về sự tồn tại và dáng điệu tiệm cận nghiệm của lớpphương trình parabolic có trễ như sau: Sự tồn tại nghiệm và sựtồn tại tập hút đã được chứng minh cho một số lớp phương trìnhparabolic chứa trễ hữu hạn trong một số trường hợp đặc biệt củaphần phi tuyến tăng trưởng và tiêu hao kiểu đa thức (xem một sốcông trình gần đây của A.V Rezounenko và J Wu (2006) , J Li

và J Huang (2009), X Li và Z Li (2010), C.T Anh và L.V Hien(2012), C.T Anh và L.V Hieu (2012)); Sự tồn tại tập hút đối vớiphương trình parabolic với trễ vô hạn trong một trường hợp rất

đặc biệt của không gian pha (không gian C γ) và không chứa hàm

phi tuyến f (u) được nghiên cứu gần đây bởi H Bouzahir và các

cộng sự (2001, 2011)

Trong các mở rộng của phương trình parabolic chứa trễ, phươngtrình giả parabolic (pseudoparabolic) nửa tuyến tính chứa trễ sauđây rất được quan tâm

toán tử elliptic mạnh với điều kiện biên thích hợp, ví dụ toán tử

−∆ với điều kiện biên Dirichlet hoặc Neumann thuần nhất (khi

đó phương trình trên trở thành phương trình khuếch tán không cổđiển chứa trễ), hoặc một số lớp toán tử elliptic suy biến với điềukiện biên Dirichlet thuần nhất như là toán tử Caldiroli-Musinadạng −div(σ(x)∇) hay toán tử suy biến mạnh −∆ λ Trong nhữngnăm gần đây, sự tồn tại và dáng điệu tiệm cận của nghiệm đối vớiphương trình khuếch tán không cổ điển đã được nghiên cứu rộngrãi trong cả trường hợp ôtônôm (xin xem các công trình của Y.Liu và Q Ma (2009); C Sun, S Wang và C.K Zhong (2007); Y.Xie, Q Li và K Zhu (2016) ) và trường hợp không ôtônôm (xinxem các công trình của C.T Anh và T.Q Bao (2010, 2012); C.T.Anh và N.D Toan (2014); F Zhang và Y Liu (2014) ) Tuynhiên, theo hiểu biết của chúng tôi, các kết quả nghiên cứu về sựtồn tại tập hút đạt được đối với phương trình khuếch tán không

cổ điển chứa trễ chủ yếu là trong trường hợp trễ hữu hạn, ngoạitrừ công trình rất gần đây của F Rivero, A.M Márquez-Durán

và T Caraballo (2017), ở đó xét trễ vô hạn và số hạng phi tuyến

f (u) tăng trưởng và tiêu hao kiểu Sobolev.

Bên cạnh việc nghiên cứu các lớp phương trình đạo hàm riêng

có trễ, các phương trình đạo hàm riêng có nhớ cũng đang đượcnhiều nhà toán học quan tâm (xin xem các nghiên cứu của V.V.Chepyzhov và các cộng sự (2006); M Conti và các cộng sự (2015);

V Pata và A Zucchi (2001); Y Wang và L Wang (2013) ), đặcbiệt là lớp phương trình khuếch tán không cổ điển có nhớ sau đây:

Trong những năm gần đây, sự tồn tại và dáng điệu tiệm cậnnghiệm đối với phương trình khuếch tán không cổ điển có nhớđược nghiên cứu bởi nhiều tác giả (xin xem các công trình của

M Conti và E.M Marchini (2015); M Conti, E.M Marchini và

V Pata (2015); Y Wang và L Wang (2013)) Tuy nhiên, trong

các công trình nghiên cứu này, hàm µ(s) := −κ ′ (s) luôn được giả

thiết thỏa mãn bất đẳng thức

µ ′ (s) + δµ(s) ≤ 0,

được giới thiệu trong bài báo của C.M Dafermos (1970); và hàmphi tuyến được giả thiết là liên tục Lipschitz và thỏa mãn tăngtrưởng kiểu Sobolev Dưới các giả thiết của hàm phi tuyến, M.Conti, E.M Marchini và V Pata (2015) đã chứng minh được sựtồn tại của tập hút toàn cục

Những vấn đề mở mà chúng tôi quan tâm nghiên cứu trongluận án này bao gồm:

• Sự tồn tại tập hút toàn cục đối với lớp phương trình parabolic

nửa tuyến tính ôtônôm với trễ vô hạn trong trường hợp

không gian pha là L1g (D(A α))

• Sự tồn tại và tính duy nhất nghiệm; sự tồn tại tập hút toàn

cục; sự tồn tại và tính ổn định của nghiệm dừng đối với lớpphương trình giả parabolic nửa tuyến tính với trễ vô hạntrong trường hợp hàm phi tuyến thỏa mãn điều kiện tăngtrưởng và tiêu hao kiểu đa thức

• Sự tồn tại và tính duy nhất nghiệm; sự tồn tại tập hút toàn

cục đối với phương trình khuếch tán không cổ điển có nhớvới lớp hàm phi tuyến kiểu mới và điều kiện rất tổng quátcủa nhân nhớ

3 MỤC ĐÍCH, ĐỐI TƯỢNG VÀ PHẠM VI NGHIÊN CỨU

• Mục đích của luận án: Nghiên cứu sự tồn tại và dáng điệu

tiệm cận nghiệm (thông qua sự tồn tại của tập hút, sự tồntại và tính ổn định của nghiệm dừng) của một số lớp phươngtrình đạo hàm riêng có trễ vô hạn xuất hiện trong vật lí và

cơ học

• Đối tượng nghiên cứu: Sự tồn tại và dáng điệu tiệm cận

nghiệm của một số lớp phương trình đạo hàm riêng có trễ

vô hạn xuất hiện trong vật lí và cơ học

• Phạm vi nghiên cứu:

◦ Nội dung 1: Nghiên cứu sự tồn tại tập hút toàn cục

đối với phương trình parabolic nửa tuyến tính với trễ

vô hạn

◦ Nội dung 2: Nghiên cứu sự tồn tại tập hút toàn cục,

sự tồn tại và tính ổn định của nghiệm dừng đối vớiphương trình giả parabolic với trễ vô hạn

◦ Nội dung 3: Nghiên cứu sự tồn tại tập hút toàn cục

đối với phương trình khuếch tán không cổ điển có nhớvới lớp hàm phi tuyến kiểu mới

4 PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU

• Nghiên cứu sự tồn tại nghiệm: sử dụng phương pháp xấp xỉ

Galerkin, các bổ đề compact và phương pháp năng lượng

• Nghiên cứu sự tồn tại tập hút: sử dụng các phương pháp

của lí thuyết hệ động lực vô hạn chiều

• Nghiên cứu tính ổn định của nghiệm dừng: sử dụng các

phương pháp của lí thuyết ổn định Lyapunov

5 KẾT QUẢ CỦA LUẬN ÁN

Luận án đạt được những kết quả chính sau đây:

• Chứng minh được sự phụ thuộc liên tục của nghiệm tích

phân vào dữ kiện ban đầu, sự tồn tại tập hút toàn cục trong

không gian pha L1g (D(A α)) của phương trình parabolic nửatuyến tính với trễ vô hạn

Đây là nội dung cơ bản của Chương 2

• Chứng minh được sự tồn tại và duy nhất nghiệm, sự tồn tại tập hút toàn cục trong không gian pha C γ, sự tồn tại và tính

ổn định của nghiệm dừng đối với phương trình giả parabolicvới trễ vô hạn trong trường hợp hàm phi tuyến thỏa mãnđiều kiện tăng trưởng và tiêu hao kiểu đa thức

Đây là nội dung cơ bản của Chương 3

• Chứng minh được sự tồn tại và tính duy nhất của nghiệm

yếu, sự tồn tại tập hút toàn cục đối với phương trình khuếchtán không cổ điển có nhớ trong trường hợp hàm phi tuyếnthỏa mãn điều kiện tăng trưởng và tiêu hao kiểu mới, vànhân chứa nhớ thỏa mãn điều kiện rất tổng quát

Đây là nội dung cơ bản của Chương 4

6 CẤU TRÚC CỦA LUẬN ÁN

Ngoài phần mở đầu, kết luận, danh mục các công trình đượccông bố và danh mục tài liệu tham khảo, luận án gồm 4 chương:

• Chương 1 Kiến thức chuẩn bị.

• Chương 2 Phương trình parabolic với trễ vô hạn.

• Chương 3 Phương trình giả parabolic với trễ vô hạn.

• Chương 4 Phương trình khuếch tán không cổ điển có nhớ.

Chương 1

KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Trong chương này, chúng tôi nhắc lại một số khái niệm và kếtquả tổng quát về sự tồn tại và tính chất của tập hút toàn cục, vềtoán tử, các không gian hàm và một số kết quả bổ trợ (các bổ đềcompact, dạng yếu của định lí hội tụ bị chặn, các bất đẳng thứcthường dùng) được sử dụng trong chứng minh các kết quả chínhcủa luận án ở các chương sau

1.1 TẬP HÚT TOÀN CỤC

Trong mục này, chúng tôi nhắc lại một số khái niệm về hệđộng lực, tập hút toàn cục, và các định lí về sự tồn tại tập húttoàn cục sẽ được sử dụng trong luận án Nội dung của mục nàyđược viết dựa trên các tài liệu chuyên khảo của Robinson (2001)

và Temam (1997)

1.2 CÁC TOÁN TỬ

Trong mục này, chúng tôi nhắc lại các kiến thức cơ bản vềtoán tử xác định dương có phổ rời rạc và toán tử quạt trên cáckhông gian hàm tương ứng

Ví dụ điển hình của lớp toán tử xác định dương có phổ rời

rạc là toán tử A = −∆ trong miền bị chặn Ω với điều kiện biên

Dirichlet thuần nhất

Một lớp ví dụ điển hình (và thường gặp trong ứng dụng) vềlớp toán tử quạt dương là lớp toán tử xác định dương có phổ rờirạc trong không gian Hilbert Trong trường hợp này, có thể kiểmtra hai cách định nghĩa toán tử bậc phân và không gian lũy thừabậc phân là trùng nhau

1.3 CÁC KHÔNG GIAN HÀM

Trong phần này, ta nhắc lại một số kết quả về các khônggian hàm sẽ được sử dụng trong luận án như: Không gian Sobolev

(không gian L p (Ω), không gian H m (Ω), không gian H0m(Ω)), các

không gian hàm phụ thuộc thời gian (không gian C([a, b]; X), không gian L p (0, T ; X) với 1 ≤ p ≤ +∞, không gian L p

loc(R; X)).

Bên cạnh đó, chúng tôi cũng trình bày về không gian chứa trễ vôhạn và các ví dụ cụ thể về lớp không gian này được sử dụng trongcác chương sau:

• Không gian C γ (E) (γ > 0) với chuẩn

án như: Bổ đề compact Aubin-Lions, Bổ đề về dạng yếu của định

lí hội tụ bị chặn, Hệ quả của Định lí điểm bất động Brouwer, Định

lí Arzelà-Ascoli

Chương 2

PHƯƠNG TRÌNH PARABOLIC VỚI TRỄ VÔ HẠN

Trong chương này, chúng tôi nghiên cứu phương trình parabolicnửa tuyến tính với trễ vô hạn được viết dưới dạng một phương

trình tiến hóa trong không gian Banach: u ′ (t) + Au(t) = F (u t),

trong đó A là toán tử quạt dương và phần phi tuyến F là hàm

thỏa mãn điều kiện Lipschitz Đầu tiên, sử dụng phương phápđiểm bất động chỉ ra sự tồn tại duy nhất nghiệm tích phân của

bài toán Vì vậy, ta có thể xác định một nửa nhóm S(t) liên kết

với bài toán Tiếp theo, chúng tôi chứng minh nửa nhóm này sinh

ra một tập hút toàn cục bằng cách chỉ ra sự tồn tại của một tập

hấp thụ bị chặn và tính compact tiệm cận của nửa nhóm S(t).

Nội dung của chương này dựa trên Bài báo 1 trong Danh mụccác công trình khoa học của tác giả liên quan đến luận án

(A) Toán tử A là toán tử quạt dương với giải thức compact trên

không gian Banach (E, ∥ · ∥ E) Vì thế, ta có thể định nghĩa

họ các không gian lũy thừa bậc phân D(A α) và nửa nhóm

giải tích e −tA sinh ra bởi −A thỏa mãn điều kiện sau với

λ > 0:

∥e −tA x ∥ D(A α) ≤ C α e −λt t −α ∥x∥ E , với mọi t > 0, x ∈ E.

(F) Hàm phi tuyến F : L1g (D(A α)) → E, với α ∈ [0, 1), thỏa

(G) g thỏa mãn các điều kiện sau:

(g1) tồn tại hàm bị chặn địa phương G : ( −∞, 0] → [0, +∞):

g(ξ+θ) ≤ G(ξ)g(θ), với mọi ξ ≤ 0 và θ ∈ (−∞, 0]\N ξ , trong đó N ξ ⊆ (−∞, 0] là có độ đo Lebesgue bằng 0; (g2) k1 :=

2.2 SỰ TỒN TẠI VÀ DUY NHẤT NGHIỆM

Định nghĩa 2.1 Một hàm u : ( −∞, T ] → D(A α ), T > 0 được gọi là nghiệm tích phân (trong D(A α)) của bài toán Cauchy (2.1)

trên khoảng [0, T ] nếu u0 = φ và thu hẹp u : [0, T ] → D(A α) làliên tục và thỏa mãn phương trình tích phân:

Định lí 2.1 Giả sử rằng các điều kiện (A)-(F)-(G) được thỏa

mãn Khi đó với mỗi φ ∈ L1

g (D(A α )) và T > 0 cho trước, tồn tại duy nhất một nghiệm tích phân của bài toán (2.1) trên khoảng [0, T ].

Sự phụ thuộc liên tục của nghiệm vào dữ kiện ban đầu đượctrình bày ở mệnh đề sau.

Mệnh đề 2.1 Giả sử các điều kiện (A)-(F)-(G) được thỏa mãn

∥u t − v t ∥ L1 ≤ m(t)∥φ − ψ∥ L1, với mọi t ≥ 0. (2.3)

Hơn nữa, ánh xạ t 7→ ∥u t ∥ L1 thuộc không gian C b ([0, ∞)).

Từ kết quả của Định lí 2.1 và Mệnh đề 2.1, ta có thể định

nghĩa một nửa nhóm liên tục S(t) : L1g (D(A α)) → L1

g (D(A α)),xác định như sau:

S(t)φ = u t(·, φ), t ≥ 0, (2.4)

trong đó u( ·, φ) là nghiệm duy nhất của phương trình (2.1) với điều kiện ban đầu φ ∈ L1

g (D(A α))

2.3 SỰ TỒN TẠI CỦA TẬP HÚT TOÀN CỤC

Trong phần này, chúng ta sẽ chứng minh nửa nhóm S(t) sinh ra

một tập hút toàn cục A trong không gian pha L1

Chứng minh của định lí này suy ra từ kết quả của các mệnh

Mệnh đề 2.3 Giả sử các điều kiện (A)-(F)-(G) được thỏa mãn

và

(1 + k1)LC αΓ(1− α)λ α −1 < 1.

Khi đó, nửa nhóm {S(t)} t ≥0 là compact tiệm cận.

Chú ý cuối chương Các kết quả trong chương này có thể xem

như phần bổ sung cho các kết quả trước đó trong H Bouzahir

và K Ezzinbi (2001), H Bouzahir, H You và R Yuan (2011)

về phương trình parabolic nửa tuyến tính trừu tượng với trễ vô

hạn khi không gian pha là C γ Trong trường hợp không gian pha

là C γ, việc nghiên cứu sẽ thuận lợi hơn rất nhiều vì chuẩn trongkhông gian này là chuẩn sup Theo hiểu biết của chúng tôi, kết quảchương này là kết quả đầu tiên về tập hút toàn cục của phươngtrình đạo hàm riêng có trễ vô hạn mà không gian pha không phải

là không gian C γ

Nội dung của chương này dựa trên Bài báo 2 trong Danh mụccông trình khoa học của tác giả liên quan đến luận án.

3.1 ĐẶT BÀI TOÁN

Cho Ω là miền bị chặn trong RN (N ≥ 1) với biên trơn ∂Ω Chúng

ta xét phương trình giả parabolic nửa tuyến tính với trễ vô hạnsau:

kiện ban đầu trên khoảng thời gian (−∞, 0].

Để nghiên cứu bài toán (3.1), chúng ta cần các giả thiết sau:

(H1) A là toán tử tuyến tính dương tự liên hợp xác định trù mật

với miền xác định D(A) ⊂ L2(Ω) và có giải thức compact,

và ta giả thiết C0∞ (Ω) trù mật trong D(A 1/2)