Bài tập về tích vô hướng của hai véctơ

Một số dạng toán liên quan đến tích vô hớng.Bài toán 1 Tính giá trị của một biểu thức chứa các tích vô hớng.. Kết hợp các kết quả trên và kết quả của bài toán 1, bài toán 2 ta có đợc các

Một số dạng toán liên quan đến tích vô hớng.

Bài toán 1 Tính giá trị của một biểu thức chứa các tích vô hớng.

Bài 1.Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng 1.Tính giá trị của biểu thức sau:

M  AB AD  AB CD

Bài 2 Cho tam giác ABC có AB=1, AC=3, A=1200 Tính giá trị của biểu thức

Q AB AC  AB AC

Bài 3.Cho hình thang ABCD (AB//CD) có AB=1 CD=3, C=450, D=300 Tính các tích vô hớng sau:

AB AD BC CD AB CD AD BC

       

Bài 4.Cho các véc tơ a b c  , , có độ dài tơng ứng là : 1,2,3 và ( , ) 30 ,( , ) 60 ,( , ) 90a b  0 b c  0 c a  0

Tính giá trị cảu các biểu thức sau:

a P a b c b c

b Q a b c b a b a c

Bài 5 Cho các véctơ: a b c  , , có ( , ) ( , ) ( , ) 120a b  b c   c a   0.Tính giá trị các biểu thức sau:

2

a P a b c

b Q a b b c

  

   

Bài toán 2: Tìm hệ số véc tơ Cho các véctơ a b , thoả mãn điều kiện xác định Ta đặt

u x a y b   Tìm các số x,y.

Bài 6.Cho tam giác ABC vuông tại đỉnh A có AB=1, AC=2 Ta dựng điểm M sao cho

AM BC AM  AM x AB y AC

Tìm các số thực x,y

Bài 7 Cho tam giác ABC đều cạnh bằng 1 ta dựng điểm M sao cho AM  2,MAB^ 450 và đặt

AM x AB y AC

Tìm các số thực x,y

Bài 8 Cho tam giác ABC có AB= 1, AC=2, A=1200.Ta dựng điểm M sao cho AM BC AM,  3

và đặt AM x AB y AC 

Tìm các số thực x,y

Bài 9 Cho hai véctơ a b , có độ dài bằng 1.Góc tạo bởi hai véctơ bằng 300 Ta lập véc tơ c x a b   Tìm x để c  7

Bài 10 Cho hai véctơ a b , có độ dài bằng 1.Góc tạo bởi hai véctơ bằng 600 Tìm các giá trị x,y sao

cho:

1 3

xa b

a yb







 

Bài toán 3: Tính độ dài véc tơ, khoảng cách giữa hai điểm, góc giữa hai véc tơ.

Ta đã biết:

1.a  a a 

2.ABAB



.cos( , ) cos( , ) a b

a b a b a b a b

a b

 

 

4 (a b  )2 a2b2a b 

Kết hợp các kết quả trên và kết quả của bài toán 1, bài toán 2 ta có đợc cách giải quyết một số bài toán liên quan đến tính độ dài đoạn thẳng, góc của hai véc tơ

Bài 1: Cho các véctơ: a b , có độ dài tơng ứng là 1, góc giữa hai véctơ bằng 1200 Ta lập véctơ

3 4

x a b

Tính độ dài của véctơ x ?

Bài 2: Cho tam giác ABC vuông tại A, AB=1, AC=2, Tia phân giác trong của góc A cắt BC tại D

Tính độ dài đoạn thẳng AD

Bài 3: Cho tam giác ABC có AB=1, AC=2, góc A=1200

1 Tính độ dài đờng trung tuyến của tam giác kẻ từ A

2 Tính độ dài đờng phân giác trong của tam giác kẻ từ A

3 Tính độ dài đờng phân giác ngoài kẻ từ A

Bài 4: Trên các cạnh AB, AC của tam giác ABC vuông cân tại A ta lấy các điểm tơng ứng M,N sao

cho AM BN 2

MB NC  Tính độ dài đoạn MN biết AB=1

Bài 5: Cho hình thang ABCD, hai đáy là AB và CD, có độ dài hai đờng chéo m,n; góc tạo bởi hai

đ-ờng chéo bằng  Tính khoảng cách giữa trung điểm hai cạnh đáy của hình thang

Bài 6: Cho các véctơ a b , có độ dài bằng 1 và thoả mãn điều kiện 2a 3b  7 Tính cos ,a b 

Bài 7: Cho tam giác ABC có các cạnh AB=1, AC=2, BC= 6 Tính số đo góc A

Bài 8: Cho hình vuông ABCD cạnh bằng 3 Trên cạnh AB lấy điểm M sao cho BM=1, trên cạnh CD

lấy điểm N sao cho 2

3

DN  Tính số đo MAN

Bài 9: Cho hình thang ABCD có hai đáy AB, CD có độ dài các đờng chéo là 3, 5 Khoảng cách hai

trung điểm hai đáy là 2 Tính góc giữa hai đờng chéo của hình thang

Bài 10: Cho các véctơ a b , có độ dài bằng 1 và góc tạo bởi hai véc tơ bằng 600 Ta lập các véc tơ

2 ,

u a  b v a b    Tính cos( , )u v 

Bài toán 4: Chứng minh quan hệ vuông góc của các đờng thẳng

Phơng pháp : Để chứng minh hai đờng thẳng vuông góc ta thự hiện theo các bớc sau:

- Chọn ra trên mỗi đờng thẳng một véctơ

- CMR tích vô hớng của hai véc tơ đợc chọn bằng 0

Bài tập:

Bài 1: Trên đoạn AC ta lấy điểm B Về một phía với AC ta dựng hai hình vuông ABMN, BCDE

Chứng minh rằng AE vuông góc CM

Bài 2: Cho tam giác ABC cân đỉnh A Gọi H là trung điểm của đoạn BC, D là chân đờng vuông góc

kẻ từ H xuống AC, M là trung điểm của đoạn thẳng HD Chúng minh rằng AM vuông góc BD

Bài 3: Cho bốn điểm A,B,C,D CMR AB2CD2 AD2BC2 là điều kiện cần và đủ để AC vuông

góc BD

Bài 4: Cho hình vuông ABCD Trên các cạnh BC,CD ta lấy các điểm tơng ứng M,N sao cho:

BM CN

BC CD CMR, AM vuông góc BN.

Bài 5: cho tam giác ABC vuông cân tại đỉnh A Trên các cạnh AB, BC, CA ta lấy các điểm M, N, E

sao cho AM BN CE

MB NC EA CMR, AN vuông góc ME.

Bài 6: Cho tam giác ABC có các đờng trung tuyến là AM, BE, CF.

a) CMR, BE2CF2 5AM2là điều kiện cần và đủ để tam giác ABC vuông tại A.

5

AB AC  BC là điều kiện cần và đủ để BE vuông góc CF.