Đại số tuyến tính ma trận tích phân Chuong03 pps

LÊ HOÀNG TUẤN... Trường ĐH Công Nghệ Thông Tin – ĐHQG Tp.HCM – http://www.uit.edu.vnTÍCH PHÂN ĐƯỜNG LOẠI... Trường ĐH Công Nghệ Thông Tin – ĐHQG Tp.HCM – http://www.uit.edu.vnChương 3 –

Trang 1

Chương 3 – TÍCH PHÂN

ĐƯỜNG & TÍCH

PHÂN MẶT

ThS LÊ HOÀNG

TUẤN

Trang 2

Trường ĐH Công Nghệ Thông Tin – ĐHQG Tp.HCM – http://www.uit.edu.vn

(

) , ( )

,

(

BA AB

dl y x f dl

y x f

TÍCH PHÂN ĐƯỜNG LOẠI 1

Khái niệm : SGK

Cách tính : theo nguyên

tắc việc tính tích phân đường loại 1 được đưa về quá trình

tính một tích phân xác định , theo biến số của pt đường

cong lấy tích phân

Trang 3

y y

t x

x

; ) (

) (

Lưu ý : khi đưa tích phân đường về tích phân xác định

thì cận dưới của tích phân xác định luôn bé hơn cận

y t

x t

y t

x f dl

y x f

I

AB

2 2

) (

)) (' ( ))

(' ( )]

( ), ( [ )

, (

Trang 4

t

x

2 2

2 1

có giới hạn tại 2 đầu mút A(1,2) và

2

2 1

4

2 1 3

Trang 5

t

x

2 2

2

1 Ngoài ra, do

('

2 )

('

t y

t x

) (

2 2

) 2 2

)(

2 1

2 2

( 2

2 t t t dt

1

0

3 2

3

2 2

3 2

Trang 6

Chương 3 – TP ĐƯỜNG – TP MẶT

) ,

( x0 y0I

TÍCH PHÂN ĐƯỜNG LOẠI

; sin

cos

0

t r

y y

t r

x x

; sin

cos

t t

b y

t a

x

) (

)

(

AB

dl y x

M

Trang 7

t

x

sin 2 3

cos 2

5

cos 2

3

cos 2

Trang 8

t

x

sin 2 3

cos 2

y

t t

x

cos 2

) ('

sin 2 )

sin 2 ( ) sin 2 3

( ) cos 2

1 (



dt t

t t

t M

2 cos

2 2



dt t

[cos 4



dt t

0cos

Trang 9

dx x

y x

y x f dl

y x f

) (

)) (' ( 1 )) ( , ( )

, (

a

x y

c

y x

dy y

x y

y x f dl

y x f

) (

)) ('

( 1 ) ), ( ( )

, (

thì

Trang 10

1 , 0 (

1

2

B A

x y

) 1 , 0 (

A

) 5 , 2 (

B

Ta

có y x2  1  y ('  x ) 2 x

và lúc này 0 x  2 ,

nên

20

2) 2 (



Trang 11

r x

cos )

(

r y

r x

( sin

) (' )

('

sin ) ( cos

) (' )

('

r r

y

r r

x

2 2

2

2 ( (' )) ( (' )) ( ( )) ))

('

 Sau

y x f

I

B A

2 2

) , (

)) ( ( ))

(' ( ] sin ,

cos [

) , (

Trang 12

Trang 13

z z

t y y

t x

x

; ) (

) (

1

e/ Trường hợp (AB) có là đường cong trong không gian

(Oxyz), và hàm số lấy tích phân là f(x,y,z)

Giả sử (AB) có pt tham số

z t

y t

x t

z t y t x

f ( ( ), ( ), ( )) ( (' ))2 ( (' ))2 ( (' ))2





) (

) , ,

(

AB

dl z y x f I

Trang 14



) (

x z

z

t t

y

t t

('

cos sin

) ('

sin cos

) ('

t z

t t

y

t t

x

t t

t t t

z t

y t

x (' )) ( (' )) ( (' )) cos sin 2 cos sin



1 sin

cos 2

cos sin2  2 2  

 t t t t t t

Trang 15

2 2

2

)) (' ( x t  y t  z t   t

|)

| 2

 ( 2 4 ) 2 2 

3

1  2 3 / 2 

ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN ĐƯỜNG

LOẠI 1 ( để tính độ dài đường

cong )

Ví

dụ Tính chu vi đường tròn tâm I(x0,y0) , bán kính R

Trang 16





) (

)

(

C

dl C

; sin

cos0

t R

y y

t R

x x

t y

t R

t

x

cos )

('

sin )

(' ( )

L

20

2

2 ( cos ) )

Trang 17

Qdy Pdx

TÍCH PHÂN ĐƯỜNG LOẠI 2

Định nghĩa : SGK

Tính chất : như tích phân đường loại 1

Điểm khác biệt : phụ thuộc phân chiều lấy tích

Cách tính

) (

) , ( )

,

(

AB

dy y

x Q dx

y x P I

Trang 18

( , ( [

x x

dx x

y x y x Q x

y x P I

Trang 19

)

(

t y y

t x x

(' ) ), ( ( [

y y

dy y

y x Q y

x y y x P I

c/ Giả sử (AB) được xác định bởi pt tham

số

và t1 ứng với điểm đầu của cung

(AB)2

cuối ………

Trang 20

 21

) (' )) ( ), ( ( )

(' )) ( ), ( (

t t

dt t

y t

x Q t

x t y t

x P I

2

Lúc này,

Ví dụ Tính     

) (

) 2

( )

4 3

(

C

dy y

x dx

y x

; sin 2

cos

2

t t

tdt

dx

cos 2

sin 2

20

cos 2

) sin 2 cos

4 ( ) sin 2 )(

sin 8 cos

6

I

Do đó

Trang 21



) (

) , ( )

,

(

C

dy y

x Q dx

y x P I

P x

Q

(*)

trong đó

(*) lấy dấu “+” nếu chiều lấy tích phân

ước

Trang 22

D

2

ĐỊNH NGHĨA CHIỀU DƯƠNG QUY ƯỚC

Xét D là miền phẳng có biên là đường cong kín Lúc (C)

Trang 23

y

P x

x Q dx

y x

x Q dx

y x P y

x

du ( , )  ( , )  ( , )

) (

) , ( )

,

(

AB

dy y

x Q dx

y x

P

không phụ thuộc vào đường cong nối A,B

Trang 24

  



) (

2

à đồng thời (AB) không đi qua O

Trước hết, ta

y x

x y

) ,

(

y x

y y

(

2

y x

xy y

(

2

y x

xy x

\ )

, ( x y  D  R2



Trang 25





 2

(

y y

ydy dy

y I

2

13 ln 2

(AC CB

Trang 26

2

) 2

(

C

xdy y

dx xy

I

, với (C) là chu vi tam giác OAB, trong đó O(0,0) , A(1,1) ,

x Q

xy y

x

P

2

) , (

2 )

, (

page 28

Trang 27

x y

) ( )

( )

Trang 28



) (

2

OA

dy xy

dx xy



) (

2

AB

dy xy

dx xy

( [ ]

2 )

2 ( [ x x dx x x dx

Trang 29



) (

2

C

dy y

xydx I

4

2 2

y

y x

cùng chiều kim đồng hồ

Cách 1: tham số hóa (C) cung tròn

t

x

sin 2

dt t t

t I

Trang 30

( )

P x

Q I

) ( ) ( 1

(  0

Trang 31



) (

2 2

BA

dy y

xydx I

2

Còn

pt BA

02

 I I I

Trang 32

TÍCH PHÂN

MẶT

) , , ( x y z f

TÍCH PHÂN MẶT LOẠI 1

Khái niệm : SGK

Xét hàm xác định trên mặt cong S trong không

gian

3

R

với hệ trục Oxyz

Các tính chất : tương tự như tích phân

đường Cách tính  

S

dS z

y x f

: theo nguyên tắc : dựa vào của pt

mặt con

g lấy tích phâ n

Trang 33

) ,

( y x z

x z y x f

I [ , , ( , )] 1 ( ' )2 ( ' )2

) ,

( z y x

y z y x f

I [ ( , ), , )] 1 ( ' )2 ( ' )2

Trang 34

z x y x f

 prj S x y

Dxy Oxy

Trang 35

2 2

2

2 '

y x

x y

2 2

2

2 '

y x

y y

2 2

2

2 2

2

1

y x

dxdy y

x

y y

x

x y

x I

2 2

) 2

(

y x

dxdy y

0

2 2

8 



Trang 36

Dxy  Oxy

Pt của S lúc này là z   4  x2  y2

Trang 37

2 2

4

'

y x

4

'

y x

dxdy y

x y

x

x I

4

cos rdr

r r

4

1 2

r d

Trang 38

Khi chiếu S xuống mp Oxy ta nhận

được đường tròn x2  y2  1

Nên diện tích của hình chiếu trên mp Oxy = 0

 Không chiếu xuống mp Oxy được

Trang 39

Trang 40

TÍCH PHÂN MẶT LOẠI

1

Ví dụ 4 Tính , với S là phần mặt trụ x2  z2  4 z

bị cắt bởi mặt nón

Nên ta chia thành 1 tam giác và 1

x

y x

z

4

2 2

2

z y

2 2  2 

  2 ( z  1 )2  2  y2

Trang 41

ứng với x  0

2

4 '

z z

z

z z

4

) 2

( 1 2

Trang 42

0

y y

1 x z

y   

x z

Diện tích của hình lúc này là

2 2

4 4

1

z x

dxdz z

0

4

1 r rdr d





Trang 43

gian

S

, với hệ trục tọa độ

Oxyz Gọi M là điểm bất kỳ

Xét góc   ( nM , Oz ) 

điều kiện 0    

Trang 44

Trang 45

2 2

Xét các điểm M thuộc phía ngoài của mặt

cầu

- Đối với nửa mặt cầu

là hướng dương

- Ngược lại là hướng

Trang 46

n

S S

dương , và ngược lại



Trang 47

y x

f ( , , )



S

dydz z

y x

f ( , , )

Trang 48

) , , ( x y z P

Q

) , , ( x y z

R cùng x/đ điểm tại mọi

S z

y x

y x R dxdz

z y x Q dydz

z y x

Trang 49



S S

Rdxdy Qdxdz

Pdydz Rdxdy

Qdxdz Pdydz

tính : việc tính phân 2 lớp theo biến số tích phân mặt loại 2 phụ thuộc vào pt mặt cong lấy tích được đưa về tích

phân và hướng mặt cong

a/ Trường hợp S có pt z  z ( y x , )

+ hình chiếu xuống mp

Trang 50

dxdy y

x z y x R dxdy

z y x

Khi

yz

D S

dydz z

y z y x P dydz

z y x

P ( , , ) [ ( , ), , ]

Trang 51

dxdz z

z x y x Q dxdz

z y x

2 2

z

a z

y

x

, hướng

“+”

Trang 52

2 2

z

a y

x a

2 0

Trang 53

2 2

a

S2 có pt

2 2

2

z

a y

x

Dxy

Trang 54

x a

dxdy y

dxdz y

2 2

z

a z

y x

Trang 55

2 2

x z

a z

y x

2 2

x z

a z

y x

 S2 mang dấu âm

Trang 56

y a

dydz z

y a

Trang 57

) , , ( x y z P

TÍCH PHÂN MẶT LOẠI

2

Mối liên hệ giữa tích phân mặt và tích phân 3

lớp Công thức Gauss - Ostrogradski

Cho Q ( x , y , z )

) , , ( x y z

R cùng các tục ĐHR cấp 1 liên

trên tập mở chứa khối  có biên là mặt cong

Pdydz I

Trang 58

yzdydz I

O , 0 , 0 )

1 (

A B ( 0 , 1 , 0 C ) ( 0 , 0 , 1 )

O A

B

C

0 )

0 0



S

dxdy z

y x

xzdxdz dydz

z y

Trang 59

3

1 1

1

1 2

1 3

xdydz

, với S là phía ngoài

Trang 60

2 2

2

) , ,

(

z y

x

x z

y x

2

) , ,

(

z y

x

y z

y x

2

) , ,

(

z y

x

z z

y x

2 2

2

z y

x

x z

y x

z y

x I

Trang 61

y x

z x

2

2 2

x dxdydz

Đổi sang tọa độ cầu

cos sin

r z

r y

r

x

, với 

2 0

0 0

sin

r

r d

d

Trang 62

x z

z

(

Trang 63

Trang 64



) (

) 3

( )

2 ( )

(

C

dz z

x dy

y z

dx x

y I

2 2

z

a z

y x

ngược chiều kim đồng hồ , nhìn từ hướng dương Oz

2 2

2

z

a y

x

, nên

0

; 2 0

; sin

a y

t a

sin

dz

tdt a

dy

tdt a

dx

Trang 65

2 2

2

z

a y

y z

Q

x y

P

3

Stokes

Trang 66

3 2

Định dạng
Số trang	66
Dung lượng	4 MB