Đại số tuyến tính ma trận tích phân TP mặt 1 2 (tham khao)

Tâm KL của mặt S là điểm có tọa độ:... Moment quán tính đối với trục Ox,Oy, Oz với góc O là đường thẳng ∆ là:... Rdxdy QdxdzPdydz Rdxdy Qdxdz Pdydz... Thân chào các ban!Cảm ơn các bạn đã

TÍCH PHÂN MẶT

LOẠI 1 VÀ 2

y x f

I ( , , )

: theo nguyên tắc : dựa vào pt của

mặt cong lấy tích phân

) ,

( y x z

x z y x f

I [ , , ( , )] 1 ( ' )2 ( ' )2

) ,

( z y x

y z y x f

I [ ( , ), , )] 1 ( ' )2 ( ' )2

z z x y x f

I [ , ( , ), ] 1 ( ' ) 2 ( ' ) 2

TÍCH PHÂN MẶT LOẠI

1

) ,

( z x y

Dxy Oxy

2 2

2 2

2

2 '

y x

x y

2 2

2

2 '

y x

y y

2 2

2

2 2

2

2 2

1

y x

dxdy y

x

y y

x

x y

x I

2 2

) 2

(

y x

dxdy y

2 0

2 2

8





 



S

dS y

Dxy  Oxy

Pt của S lúc này là z   4  x2  y2

2 2

4

'

y x

4

'

y x

dxdy y

x y

x

x I

2 / 3

4

4

cos

rdr r

3

4

1 2

r d

0 1 sin2

cos 2



S

xdS I

và không chứa 2 mặt đáy

Khi chiếu S xuống mp Oxy ta nhận

y y

Diện tích của hình lúc này là

2 2

4 4

1

z x

dxdz z

Tâm KL của mặt S là điểm

có tọa độ:

Moment quán tính đối với trục Ox,Oy, Oz với góc O là đường thẳng ∆ là:

Thí dụ: tìm trọng tâm của nữa mặt cầu tâm O(0,0,0) bán kính a với khối lượng riêng là 1 hàng số

Gọi M(x,y,z) là trọng tâm của nữa

mặt cầu tâm O(0,0,0) bán kính a

khi đó có phương trình mặt cầu là S:

x2+y2+z2=a2,z>=0 Do tính đối xứng nên x=0, y=0, ta chỉ cần tính z theo công thức:

S là diện tích nữa mặt cầu bán kính a: S=2πaa2 , và D là hình tròn bán kính a, hình chiếu của mặt cầu trên mặt fẳng xy

 Trọng tâm có tọa

độ: (0,0, )

2

a

, với hệ trục tọa độ Oxyz

Gọi M là điểm bất kỳ trên S

2 2

Xét các điểm M thuộc phía ngoài của mặt cầu

- Đối với nửa mặt cầu

trên:

hướng chứa nM

là hướng dương

- Ngược lại là hướng âm

Tích phân mặt loại 2 Xét hàm số f ( x , y , z ) xác định tại mọi

điểm

M thuộc mặt cong S đã định hướng

S S

với diện tích tương ứng là  Dk

Ta gán cho  Dk dấu cộng “+”, nếu hướng của Sk là hướng

n f M D

1

) (





TÍCH PHÂN MẶT LOẠI

2

Giới hạn của tổng tích phân khi n  

đgl tích phân mặt loại 2 của biểu

y x

y x

f ( , , )



S

dydz z

y x

f ( , , )

) , , ( x y z P

TÍCH PHÂN MẶT LOẠI

2

Nếu có 3 hàm số

) , , ( x y z Q

) , , ( x y z

R cùng x/đ tại mọi điểm

S z

y x



SRdxdy

đgl tích phân mặt loại 2 tổng quát

, và ký hiệu là

S

dxdy z

y x R dxdz

z y x Q dydz

z y x

P ( , , ) ( , , ) ( , , )

Rdxdy Qdxdz

Pdydz Rdxdy

Qdxdz Pdydz

xy

D S

dxdy y

x z y x R dxdy

z y x

dydz z

y z y x P dydz

z y x

P ( , , ) [ ( , ), , ]



S zdxdy I

dxdz z

z x y x Q dxdz

z y x

2 2

2 2

z

a z

y x

, hướng “+”

2 2

2 2

2

z

a y

x a

a

d

0

2 2

2 0

S là nửa mặt cầu dưới, ứng với z <

2

z

a y

x

Dxy

x a

dxdy y

a

d

0

2 2

dxdz y

2 2

2 2

z

a z

y x

2 2

2 2

x z

a z

y x

2 2

2 2

x z

a z

y x

 S2 mang dấu âm

z y a

a

d

0

2 2

“+”

KL: I  I1  I2  I3

) , , (x y z P

TÍCH PHÂN MẶT LOẠI

2

Mối liên hệ giữa tích phân mặt và tích phân 3 lớp

Công thức Gauss - Ostrogradski

Cho Q ( x , y , z )

) , , ( x y z

R cùng các tục ĐHR cấp 1 liên

trên tập mở chứa khối  có biên là mặt cong kín

S

S

Rdxdy Qdxdz

Pdydz I

  



S

xydxdy xzdxdz

yzdydz I

O

) 0 , 0 , 1 (

A

) 0 , 1 , 0 (

B

) 1 , 0 , 0 (

C

O A

B

C

0 )

0 0



S

dxdy z

y x

xzdxdz dydz

z y

1 1

1

1 2

1 3

xdydz I

2 2

2, với S là phía ngoài của  xác định bởi 1  x2  y2  z2  4

2 2

2

) , ,

(

z y

x

x z

y x

2

) , ,

(

z y

x

y z

y x

2

) , ,

(

z y

x

z z

y x

2

2 2

2 2

2 2

2

z y

x

x z

y x

z y

x I

 x y z  dxdydz

y x

z x

2

2 2

2 2

2 2

2

2

z y

x dxdydz

Đổi sang tọa độ cầu

sin sin

cos sin

r z

r y

0 0

sin

r

r d

d





2 2

) , , ( x y z Q

) , , ( x y z R

cùng các ĐHR cấp 1 liên tục

trên mặt cong S có biên là đường cong kín (C) , thì

)

(C

Rdz Qdy

x z

z

(

     



) (

) 3

( )

2 ( )

(

C

dz z

x dy

y z

dx x

y I

2 2

2 2

z

a z

y x

ngược chiều kim đồng hồ, nhìn từ hướng dương Oz

2 2

2

z

a y

x

, nên

0

; 2 0

; sin

a y

t a

sin

dz

tdt a

dy

tdt a

dx

2 2

2

z

a y

y z

Q

x y

P

3

3 2

D D

Thân chào các ban!

Cảm ơn các bạn đã theo dõi phần trình bày

của nhóm

Những người thực hiện:

Huỳnh Thanh HuyPhạm Huỳnh Thanh TúNguyễn Thị Tình

Huỳnh Hồ Thị Mộng TrinhTrần Quốc Thái

Vũ Văn ThuậnTrần Phúc HiềnHuỳnh Văn Hoa XuânTrong slide có sử dụng một số tài liệu của trường ĐH Công Nghệ Thông Tin