Các phương trình tích phân và ứng dụng trong vật lí

Nó gồm một khối lượng kiến thức lớn thuộc các ngành như: hàm thực, hàm phức, các phương trình vi phân, các phép tính tích phân Các kiến thức toán này nó không những cần thiết cho các bạn

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

LỜI CẢM ƠN

Lời đầu tiên, tôi xin trân trọng cảm ơn TS Hà Thanh Hùng đã tận tâm hướng dẫn, tạo mọi điều kiện thuận lợi và động viên tôi trong suốt quá trình thực hiện khóa luận này

Tôi xin trân trọng cảm ơn các thầy cô trong khoa Vật Lý đã quan tâm, giúp đỡ và tạo điều kiện thuận lợi trong suốt thời gian tôi học tập và nghiên cứu tại khoa

Tôi xin cảm ơn các thầy, cô giáo, các cán bộ của trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã tạo điều kiện thuận lợi cho tôi trong quá trình nghiên cứu

Cuối cùng, cho tôi gửi lời cảm ơn chân thành đến gia đình, bạn bè thân thiết, những người đã luôn ở bên cạnh động viên và giúp đỡ tôi hoàn thành khóa luận này

Hà Nội, tháng 4 năm 2017

Sinh viên

Nguyễn Thị Hoàn

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan khóa luận tốt nghiệp này là do bản thân thực hiện có

sự hỗ trợ từ giáo viên hướng dẫn và không sao chép các công trình nghiên cứu của người khác Các dữ liệu thông tin thứ cấp sử dụng trong khóa luận là

BẢNG DANH MỤC CÁC TỪ VIẾT TẮT

MỤC LỤC

MỞ ĐẦU 1

1 Lý do chọn đề tài 1

2 Mục đích nghiên cứu 2

3 Đối tượng, phạm vi nghiên cứu 2

4 Nhiệm vụ nghiên cứu 2

5 Phương pháp nghiên cứu 2

6 Cấu trúc khóa luận 3

NỘI DUNG 4

CHƯƠNG 1: CÁC LOẠI PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN 4

1.1 Phương trình tích phân 4

1.1.1 Định nghĩa về phương trình tích phân 4

1.1.2 Các khái niệm cơ bản 4

1.1.3 Xây dựng phương trình tích phân từ phương trình vi phân 8

1.2 Các loại phương trình tích phân 9

1.3 Các nghiệm quen thuộc của phương tình tích phân 10

1.3.1 Phương trình tích phân có nhân phân tách 10

1.3.2 Các phép biến đổi tích phân 12

1.3.3 Các phép biến đổi vi phân 16

1.4 Chuỗi Neumann 17

1.5 Lý thuyết Fredholm 19

1.6 Lý thuyết Schmidt–Hilbert 21

CHƯƠNG 2: ỨNG DỤNG TRONG VẬT LÍ 24

2.1 Ứng dụng của phương trình tích phân loại 1 24

2.2 Ứng dụng của phương trình tích phân loại 2 24

2.2.1 Phương trình thuần nhất 24

2.2.2 Phương trình không thuần nhất 26

2.3 Lý thuyết fredholm 31

2.4 Lý thuyết Hilbert-Schmidt 32

KẾT LUẬN 34

TÀI LIỆU THAM KHẢO 36

1

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Toán học là một ngành khoa học không những nó phục vụ cho chính

nó, mà nó đặc biệt trở thành một công cụ hữu ích cho việc phát triển các ngành khoa học khác, trong đó có vật lý học Tính chất cơ bản của vật lý học

là tính thực nghiệm Nhưng muốn trình bày những định luật định lượng của vật lý học một cách chính xác ta thường phải sử dụng phương pháp toán học Phương pháp toán học được sử dụng từ lâu trong vật lý

Những quy luật đơn giản của vật lý đã được cơ học cổ điển giải quyết gần như trọn vẹn Nhưng những quy luật vi mô, vĩ mô dưới tác dụng của nhiều trường khác nhau thì nó lại hoàn toàn bất lực Cùng với điều đó là sự phát triển mạnh mẽ của toán học cả về bề rộng và bề sâu Dẫn tới sự ra đời của một ngành vật lý mới vật lý lý thuyết

Người ta dùng phương pháp toán học để tìm ra những quy luật mới Những quy luật tổng quát hơn những quy luật đã biết, đoán trước được mối quan hệ giữa những hiện tượng vật lý mà thực tế chưa quan sát được Nó tìm được những quy luật tổng quát nhất, phản ánh được bản chất vật lý của nhiều hiện tượng xét một cách tổng quát nhất

Những phương pháp toán học dùng trong vật lý học hiện đại thì rất phong phú và đa dạng Nó gồm một khối lượng kiến thức lớn thuộc các ngành như: hàm thực, hàm phức, các phương trình vi phân, các phép tính tích phân Các kiến thức toán này nó không những cần thiết cho các bạn sinh viên để tiếp thu, thực hành cũng như nghiên cứu đối với các môn học khác trong khi học tại trường, mà còn là các công cụ toán hữu ích cho công tác của họ sau khi ra trường

2

Bước đầu khám phá và đi sâu vào các phương trình tích phân cũng như

ứng dụng của nó trong vật lý Đề tài: “Các phương trình tích phân và ứng dụng trong vật lý ” cũng là một trong số những công cụ toán có nhiều ứng

dụng quan trọng trong vật lý Nó giúp chúng ta giải quyết các bài toán vật lý một cách đơn giản hơn Vì vậy khi chọn đề tài này tôi muốn đi sâu vào nghiên cứu, tìm hiểu các phương trình tích phân dùng trong vật lý nói chung và vật lý

lý thuyết nói riêng

2 Mục đích nghiên cứu

- Nâng cao kiến thức toán học và sử dụng chúng một cách linh hoạt trong vật lý

- Hiểu rõ bản chất của phép tính tích phân

- Nhận dạng một số ứng dụng của phép tính tích phân trong vật lý

- Ứng dụng của phép tính tích phân để giải một số bài toán vật lý

- Từ các bài toán được ứng dụng trên khái quát lên thành các kinh nghiệm nhận biết khi nào thì sử dụng phép tính tích phân để giải một số bài toán

3 Đối tượng, phạm vi nghiên cứu

- Đối tượng: các phương trình tích phân

- Phạm vi nghiên cứu: đề tài này ta chủ yếu nghiên cứu về các phương trình tích phân và ứng dụng của nó trong vật lý

4 Nhiệm vụ nghiên cứu

- Giới thiệu về các phương trình tích phân

- Phân loại và đưa ra phương pháp giải các dạng phương trình tích phân

- Ứng dụng của phương trình tích phân trong vật lý

5 Phương pháp nghiên cứu

- Vận dụng các kiến thức về tích phân và các phép biến đổi tích phân, phép biến đổi vi phân để nghiên cứu ứng dụng vào vật lý

3

6 Cấu trúc khóa luận

Ngoài phần Mở đầu, Tài liệu tham khảo, phần Nội dung của khóa luận bao gồm:

PHẦN I: MỞ ĐẦU

PHẦN II: NỘI DUNG

Chương 1: Các loại phương trình tích phân

Chương 2 Ứng dụng trong Vật lý

PHẦN III: KẾT LUẬN

TÀI LIỆU THAM KHẢO

4

NỘI DUNG CHƯƠNG 1: CÁC LOẠI PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN

1.1 Phương trình tích phân

1.1.1 Định nghĩa về phương trình tích phân

Khi nghiên cứu một hệ vật lý, chúng ta thường phải xác định các tính chất hoặc các đại lượng để thể hiện các quy luật vận động của hệ Mỗi một

tính chất hoặc đại lượng thường được biểu thị bằng một hàm y theo các các biến độc lập x Như vậy hàm y(x) là các hàm cần tìm trong các hệ vật lý Do các điều kiện liên kết trong các hệ vật lý hàm cần tìm y(x) thường xuất hiện

trong các dấu tích phân, phương trình chứa các hàm cần tìm như vậy gọi là phương trình tích phân

Trong chương này, chúng ta sẽ nghiên một số phương pháp giải của phương trình vi phân Cần phải nhấn mạnh là không phải tất cả các phương trình tích phân đều có thể giải một cách rõ ràng bằng phương pháp giải tích Hầu hết các phương trình tích phân dạng phức tạp phải cần giải bằng phương pháp tính số để tìm nghiệm gần đúng Các phương pháp cơ bản được nêu ra ở đây được sử dụng cho các trường hợp đơn giản, tuy nhiên cũng có thể áp dụng để định hướng cho việc giải các phương trình phức tạp hơn

Các phương pháp được đưa ra ở đây bao gồm:

i) Làm thế nào để đưa phương trình vi phân thành phương trình tích phân và nghiên cứu cách giải các dạng chung nhất của phương trình tích phân tuyến tính

ii) Tìm nghiệm dưới dạng chuỗi vô hạn của các phương trình tích phân với nhân có tính Hermite xác định từ đặc tính đối xứng của hệ vật lý

1.1.2 Các khái niệm cơ bản

- Phương trình tích phân tuyến tính

- Nhân của phương trình tích phân

Phương trình tích phân tuyến tính có dạng

( ) ( ) ( ) ( , ) y(z)dz

b

a

Trong đó cận trên của tích phân có thể là biến số hoặc cố định; hàm

f(x), K(x,z) đã biết; y x( ) là hàm cần tìm,  là giá trị thực hoặc phức hoặc tham số khác không

Hàm K(x,z) được gọi là nhân của phương trình tích phân

Nhân K(x,z) được gọi là L2 – nhân nếu nhân K(x,z) thỏa mãn các điều

Phương trình (1.1.5) được gọi là phương trình thuần nhất của (1.1.4)

 Nếu cận trên là biến số x, g(x) = 0 thì (1.1.2) trở thành

Phương trình (1.1.8) được gọi là phương trình thuần nhất của (1.1.7)

Trong tất cả các trường hợp, nếu f (x) = 0 phương trình được gọi là

thuần nhất, nếu ngược lại thì không thuần nhất ( f(x)0)

- Hàm riêng và trị riêng của phương trình tích phân

Số  thỏa mãn phương trình (1.1.5) với y(x)0 được gọi là giá trị riêng của nhân K(x,z) Hàm y x( ) ứng với giá trị riêng của  thỏa mãn

phương trình (1.1.5) được gọi là hàm riêng ứng với trị riêng  của nhân

K(x,z)

- Nhân phân ly biến số (Nhân suy biến)

Nhân K(x,z) được gọi là nhân suy biến nếu K(x,z) là L2 – nhân và được viết dưới dạng

Nếu hạch của phương trình tích phân có thể được viết theo hàm của

hiệu số x - z theo hai đối số thì được gọi là nhân dịch chuyển

Ví dụ: y x( ) f x( )   K x( z y z dz) ( ) ,



    thì K x( z) là nhân dịch chuyển

1.1.3 Xây dựng phương trình tích phân từ phương trình vi phân

Phương trình tích phân xuất hiện trong nhiều trường hợp, bởi vì chúng

ta luôn có thể đưa phương trình vi phân về dạng phương trình tích phân bằng các biến đổi đơn giản Việc này có thể giúp chúng ta thuận tiện hơn trong việc tìm nghiệm của các phương trình tích phân Khi đó, để có nghiệm cụ thể chúng ta chỉ cần áp dụng thêm điều kiện biên của bài toán

Để minh họa, chúng ta chọn một trường hợp đơn giản nhất là xem xét phương trình vi phân cấp hai:

trong đó f(x, y) có thể là hàm của x và y nhưng không phải của y’(x) Do đó

phương trình (1.1.10) đại diện cho một lớp lớn của các phương trình vi phân tuyến tính và phi tuyến tính cấp hai

Chúng ta có thể biến đổi (1.1.10) từ phương trình tích phân tương ứng

bằng cách lấy tích phân bậc 1 đối với biến x

1 0

'( ) ( , ( ))

x

y x  f z y z dzc

1.2 Các loại phương trình tích phân

Từ (1.1.12), phương trình vi phân đơn giản như là (1.1.10) có thể dẫn đến phương trình tích phân tương ứng là phi tuyến tính Tuy nhiên, phương trình tích phân tuyến tính, có dạng tổng quát:

( ) ( ) ( ) ( , ) y(z)dz

b

a

g x y x  f x K x z (1.2.1) Trong đó cận trên của tích phân có thể là biến số hoặc cố định; hàm

f(x), K(x,z) đã biết; y x( ) là hàm cần tìm,  là giá trị thực hoặc phức hoặc

tham số khác không Hàm K(x,z) được gọi là nhân của phương trình tích

phân

10

Trong thực tế, được biết với các trường hợp đặc biệt của (1.2.1), được

gọi bằng tên riêng Thứ nhất, nếu g(x) = 0 thì không rõ hàm y(x), hàm y chỉ

xuất hiện dưới dấu tích phân, và (1.2.1) được gọi là phương trình tích phân

tuyến tính loại một Ngoài ra, nếu g(x) = 1, do đó hàm y xuất hiện hai lần,

một lần bên trong tích phân và một lần bên ngoài thì (1.2.1) được gọi là

phương trình tích phân tuyến tính loại hai Trong cả hai trường hợp, nếu f (x)

= 0 phương trình được gọi là thuần nhất, nếu ngược lại thì không thuần nhất

Phân biệt các loại phương trình tích phân khác nhau bằng dạng của

phép lấy tích phân bởi giới hạn a và b Nếu giới hạn này là hằng số thì

phương trình được gọi là phương trình Fredholm Tuy nhiên, nếu các giới hạn

trên b = x (tức là nó là biến số) thì phương trình được gọi là phương trình

Volterra; phương trình như vậy là tương tự với một với giới hạn cố định

nhưng theo đó nhân K(x,z) = 0 cho z > x Cuối cùng, lưu ý rằng bất kỳ

phương trình mà một trong hai (hoặc cả hai) của giới hạn phép lấy tích phân

là vô hạn, theo đó K(x,z) trở nên vô hạn trong khoảng biến thiên của phép lấy

tích phân, được gọi là phương trình tích phân kỳ dị

1.3 Các nghiệm quen thuộc của phương tình tích phân

1.3.1 Phương trình tích phân có nhân phân tách

Trong trường hợp chắc chắn, nó rất đặc biệt có thể là có thể để đạt được các nghiệm quen thuộc của phương trình tích phân Tuy nhiên, người đọc nên nhận ra, khi đối mặt với phương trình tích phân, nói chung nó sẽ không giải được bằng phương pháp đơn giản giới thiệu trong phần này nhưng phải thay vào đó được giải bằng phương pháp lặp, như những phương pháp được nêu trong phần chuỗi Neumann

Để giải các phương trình tích phân đơn giản nhất là phương trình Fredholm với nhân phân ly được theo các biến số (hay suy biến) Một nhân có thể tách ra nếu nó có dạng

nó, hàm i( )x có thể được đem ra ngoài tích phân trên z để đạt được

Trong ví dụ ở trên, chúng tôi thấy (1.3.5) có nghiệm duy nhất (hữu hạn)

nếu λ thỏa mãn điều kiện để mẫu số của c 1 và c 2 khác không

1.3.2 Các phép biến đổi tích phân

Nếu nhân của phương trình tích phân có thể được viết là hàm của hiệu

số x - z theo hai đối số thì được gọi là nhân dịch chuyển Phương trình tích

phân có nhân như vậy, và mà cũng có phép lấy tích phân giới hạn - ∞ đến ∞,

có thể giải bằng việc sử dụng biến đổi Fourier

Nếu chúng ta xét phương trình tích phân sau với phép thay thế nhân,

Thay vào đó, nếu phương trình tích phân (1.3.6) có giới hạn phép lấy

tích phân 0 và x (phương trình Volterra) thì nghiệm của nó có thể được tìm

thấy, trong đó bằng cách tương tự, sử dụng định lý phép nhân chập cho biến đổi Laplace Ta thấy

( )( )

trong đó s là biến số phép biến đổi Laplaxơ Thường thì ta có thể sử

dụng từ điển của biến đổi Laplace đưa ra trong bảng 1.1 để đảo ngược

phương trình này và tìm ra nghiệm y(x) Tuy nhiên nói chung đánh giá về

phép biến đổi tích phân Laplaxơ ngược là khó khăn, vì (theo nguyên tắc) nó đòi hỏi phép lấy tích phân chu tuyến

Bảng 1.1: Phép biến đổi Laplace tiêu chuẩn Các phép biến đổi có giá trị

(các phép biến đổi đang được công nhận) [3]

15

Một số ví dụ của việc sử dụng biến đổi Fourier trong giải phương trình tích phân, nói đến phương trình có giới hạn phép lấy tích phân - ∞ đến ∞ và dạng của nhân:

Nếu chúng ta bây giờ lấy biến đổi Fourier của (1.3.9) nhưng tiếp tục

biểu thị biến độc lập bởi x, ta được

y x  f x   y x (1.3.10) Thế (1.3.10) vào (1.3.9) ta được

 ;điều này dễ dàng chứng tỏ để được giá trị riêng của phương trình

thuần nhất tương ứng (theo đó f (x) ≡ 0)

Gần đúng tương tự với ở trên có thể là lấy để giải phương trình với

nhân có dạng K(x,y) = cos(x, y) hoặc sinxy, hoặc bằng cách xét tích phân trên

y trong mỗi một trường hợp như phần thực hay là phần ảo của biến đổi

16

Fourier tương ứng hay là bằng cách sử dụng Fourier cosin hay sin là biến đổi trực tiếp

1.3.3 Các phép biến đổi vi phân

Các nghiệm quen thuộc đến phương trình Volterra đôi khi được đạt được bằng lấy vi phân phương trình để đạt được phương trình vi phân tương ứng, có thể là dễ giải hơn

Ví dụ: Giải phương trình tích phân

2 0

4

c x

y(x) ≈ y0(x) = f(x), trong đó y 0 (x) là viết tắt của ‘cấp 0’ các nghiệm gần đúng (và không

được nhầm lẫn với hàm riêng )

Thay thế nghiệm gần đúng này dưới dấu tích phân trong phương trình ban đầu, ta có phép gần đúng:

b a

Từ biểu thức nhân của nghiệm, ta thấy nhân của nghiệm sẽ hội tụ khi λ

đủ nhỏ Thực tế, chuỗi của nhân nghiệm sẽ hội tụ trong miền nào đó của |λ|

nếu trong miền K( x, z ) bị chặn Điều kiện đó tương ứng là:

Lời giải:

R(x, z ; λ) được viết như chuỗi luỹ thừa vô hạn trong λ Nghiệm này là có giá

trị cung cấp chuỗi vô hạn hội tụ

20

Tương tự như vậy, nghiệm gần đúng của phương trình tích phân dùng chuỗi vô hạn được tìm thấy bằng Fredholm Ở đây ta sẽ không sao chép lại bài giải của Fredholm, nhưng chỉ đơn thuần trình bày kết quả chúng ta cần

Thực chất, lý thuyết Fredholm cung cấp công thức giải cho nhân R(x, z ; λ)

trong (1.4.3) theo quan điểm tỉ lệ hai chuỗi vô hạn :

trong đó hàm D n (x, z) và hằng số dn được tìm thấy từ quan hệ phép truy

toán như sau Ta bắt đầu với

0( , ) ( , )

D x z K x z và d0 =1 (1.5.4) trong đó K ( x, z ) là nhân của phương trình tích phân ban đầu (1.4.1)

Hệ số bậc cao của λ trong (1.5.3) và (1.5.2) là thì đạt được từ hai phép quan