Phương trình vi phân cao cấp và ứng dụng trong vật lí

Mục đích nghiên cứu Khóa luận bao gồm 2 chương: chương 1 của khóa luận tôi sẽ trình bày tổng quát về phương trình vi phân cấp cao phân dạng và đưa ra lời giải tổng quát cho một số dạng

LỜI CẢM ƠN

Tôi xin gửi lời cảm ơn đến tất cả thầy giáo và cô giáo Khoa Vật lí trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã tận tình giảng dạy giúp đỡ tôi trong suốt thời gian theo học tại trường và đặc biệt tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy Hà Thanh Hùng người trực tiếp hướng dẫn tôi đã tận tình chỉ bảo giúp đỡ tôi hoàn thiện đề tài khóa luận tốt nghiệp này

Mặc dù đã có rất nhiều cố gắng nhưng do lần đầu làm công tác nghiên cứu khoa học cũng như hạn chế về kinh nghiệm và kiến thức nên không tránh khỏi những thiếu sót Tôi rất mong nhận được sự góp ý của thầy cô và các bạn đọc để khóa luận được hoàn thiện hơn

Tôi xin chân thành cảm ơn

Hà Nội, tháng 4 năm 2017

Sinh viên

Nguyễn Thị Linh

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan dưới sự hướng dẫn của thầy giáo Hà Thanh Hùng khóa luận của tôi được hoàn thành không trùng với bất kì đề tài nào khác Các

dữ liệu thông tin thứ cấp sử dụng trong khóa luận là có nguồn gốc và trích dẫn

MỤC LỤC

PHẦN MỞ ĐẦU 1

1 Lý do chọn đề tài 1

2 Mục đích nghiên cứu 1

3 Nhiệm vụ nghiên cứu 1

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu 1

5 Phương pháp nghiên cứu 2

6 Bố cục của khóa luận 2

PHẦN NỘI DUNG 3

CHƯƠNG 1: PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP CAO 3

1.1 Phương trình vi phân tuyến tính với hệ số là hằng số 6

1.1.1 Hàm bù y x 6 c  1.1.2 Nghiệm riêng y p x 10

1.1.3 Cấu trúc nghiệm tổng quát 13

1.2 Phương trình vi phân tuyến tính với hệ số là biến số 14

1.2.1 Phương trình vi phân tuyến tính Legendre và Euler 15

1.2.2 Phương trình vi phân chính xác 18

1.3 Phương trình vi phân cấp cao thuần nhất 20

1.3.1 Phương trình thuần nhất đẳng cấp 20

1.3.2 Phương trình thuần nhất chỉ với x hoặc chỉ với y 22

1.4 Phương trình vi phân có nghiệm là hàm luỹ thừa 24

1.5 Phương trình vi phân tổng quát 24

1.5.1 Phương trình vi phân không có biến phụ thuộc 25

1.5.2 Phương trình vi phân không có biến độc lập 26

CHƯƠNG 2 NG D NG C PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP CAO TRONG V T L 29

2.1 Phép biến đổi Laplace 29

2.2 Hàm Green 32

2.3 Phương trình vi phân thuần nhất chỉ với x hoặc y 34

2.4 Phương trình vi phân có hệ số là hằng số 35

KẾT LU N 38

TÀI LIỆU THAM KHẢO 39

Phương trình vi phân trong Toán học có vai trò đặc biệt quan trọng trong Vật lý Tuy nhiên kiến thức về phương trình vi phân cấp cao còn chưa

rõ ràng và khá khó hiểu đối với người học Để giúp người học hiểu rõ hơn những kiến thức về phương trình vi phân cấp cao cũng như vai trò của phương trình vi phân cấp cao trong Vật lý tôi đã quyết định chọn đề tài:

“PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP CAO VÀ ỨNG DỤNG TRONG VẬT LÝ”

2 Mục đích nghiên cứu

Khóa luận bao gồm 2 chương: chương 1 của khóa luận tôi sẽ trình bày tổng quát về phương trình vi phân cấp cao phân dạng và đưa ra lời giải tổng quát cho một số dạng phương trình vi phân đặc biệt, còn chương 2 sẽ trình bày về ứng dụng của phương trình vi phân cấp cao trong Vật lý

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

1 Giới thiệu tổng quát về phương trình vi phân cấp cao

2 Phân loại và đưa ra phương pháp giải các dạng phương trình vi phân cấp cao

3 ng dụng của phương trình vi phân cấp cao trong vật lý

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

- Đề tài này chủ yếu nghiên cứu về một số dạng phương trình vi phân cấp cao và ứng dụng của nó trong Vật lý

2

5 Phương pháp nghiên cứu

- Đọc sách và tham khảo tài liệu

- Phương pháp phân tích, tổng hợp

- Phương pháp đàm thoại trao đổi ý kiến với giáo viên

6 Bố cục của khóa luận

Ngoài phần Mở đầu, Tài liệu tham khảo, phần Nội dung của khóa luận bao gồm:

Chương 1: Phương trình vi phân cấp cao

Chương 2: ng dụng của phương trình vi phân cấp cao trong Vật lý

3

PHẦN NỘI DUNG

CHƯƠNG 1: PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP CAO

Phương trình vi phân cấp cao là phần được mở rộng nghiên cứu tiếp theo của các phương trình vi phân thông thường cấp một, việc giải các phương trình vi phân cấp cao được dựa chủ yếu trên cơ sở từ các phương trình vi phân cấp một

Phương trình vi phân tuyến tính cấp cao được tập trung với ba khía cạnh chính:

i) Phương trình vi phân tuyến tính với hệ số là hằng số

ii) Phương trình vi phân tuyến tính với hệ số là biến số

iii) Một số phương pháp giải tổng quát các phương trình vi phân tuyến

tính và không tuyến tính

Sau đây, chúng ta bắt đầu với một số các khái niệm cơ bản của phương trình vi phân tuyến tính cấp cao Các phương trình vi phân thông thường là

các phương trình có chứa các đạo hàm toàn phần của hàm cần tìm y theo biến

số x, mà không chứa các đạo hàm riêng phần Phương trình vi phân cấp cao là

các phương trình vi phân thông thường có chứa các đạo hàm từ cấp hai trở lên

của hàm y(x)

Trong thực tế, để mô tả các hệ vật lý bằng ngôn ngữ toán học, chúng ta thường gặp các phương trình vi phân cấp cao một cách rất tự nhiên, đặc biệt

là các phương trình vi phân cấp hai

Do vậy, trước tiên chúng ta quan tâm đến các phương trình vi phân cấp hai trước, trên cơ sở đó chúng ta sẽ tiếp tục mở rộng với các phương trình vi

phân cấp n (n>2)

Một phương trình vi phân thông thường cấp cao, được đưa ra dưới dạng tổng quát:

n tham số tùy ý và để xác định cụ thể n tham số này, chúng ta cần n điều kiện

biên

Để giải phương trình (1), chúng ta cần tìm nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất tương ứng, còn gọi là phương trình bổ sung, tức là tìm nghiệm của phương trình:

Nghiệm của phương trình (2), được đưa ra trên cơ sở chúng ta biết

được n nghiệm riêng độc lập tuyến tính của (2)

Giả sử, chúng ta có n nghiệm riêng độc lập tuyến tính của (2), ký hiệu

1 2

(n 1) (n 1) 1

(x) c(x) p(x)

Phương trình (9), chính là nghiệm tổng quát của phương trình (1), đây cũng là phương pháp chung để sử dụng tìm nghiệm cho các phương trình vi phân tuyến tính cấp cao Tuy nhiên, với các phương trình vi phân phi tuyến tính cấp cao thì không thể áp dụng phương pháp trên để tìm nghiệm tổng

6

quát, việc tìm nghiệm còn phức tạp hơn nhiều và thông thường, chúng ta phải dựa vào đặc điểm từng phương trình cụ thể để tìm nghiệm tương ứng

1.1 Phương trình vi phân tuyến tính với hệ số là hằng số

Phương trình vi phân tuyến tính có hệ số là hằng số có dạng:

Với các hệ số a a0, , ,1 a là các hằng số thực Phương trình dạng này là n

rất phổ biến trong các ngành khoa học vật lý và kỹ thuật, và nghiệm của nó rơi vào hai phần như đã thảo luận trong phần trước, nghĩa là hàm bù y x và c tích phân riêng y p x Nếu trong (1.1) f x 0 thì chúng ta không cần phải tìm tích phân riêng, và hàm bù là một nghiệm tổng quát

i Toàn bộ nghiệm thực khác nhau

Trong trường hợp này, n nghiệm riêng của (1.2) là expm x với m1,n Bằng cách tính Wronskian ta dễ dàng chứng minh được nếu tất cả các m là

ii Toàn bộ nghiệm khác nhau nhưng có một số nghiệm phức

Nếu một trong những nghiệm của phương trình đặc trưng (1.3) là

i

   , thì liên hợp phức  i của nó cũng là một nghiệm Như vậy ứng với mỗi cặp nghiệm phức liên hợp này ta xây dựng được hai nghiệm thực độc lập tuyến tính của phương trình (1.2) là excosx e, xsinx Trong trường hợp này, ta có thể viết được hệ nghiệm cơ bản của (1.2) như sau:

iii Phương trình có một số nghiệm bội

Nếu nghiệm nào đó của phương trình đặc trưng có bội 2thì bằng cách

xây dựng nghiệm như các phần i và ii ta không thể xây dựng đủ n nghiệm độc

lập tuyến tính của (1.2) Cụ thể, chẳng hạn nghiệm 1 bội k, còn các nghiệm còn lại là đơn thì bằng cách xây dựng như trên ta chỉ được n k 1nghiệm độc lập tuyến tính của (1.2) Do đó chúng ta phải tìm thêm k 1nghiệm là độc lập tuyến tính nữa Thế trực tiếp vào ( 1.2) ta nhận thấy các hàm

, , ,

xe x e x e  cũng là nghiệm, và bằng cách tính Wronskian dễ dàng thấy các nghiệm cùng một họ, và nó bổ sung vào k 1 nghiệm độc lập tuyến tính thiếu ở trên Do đó hàm bù được tính bằng cách lấy

Cho nên mặc dù e là nghiệm của (1.8), chúng ta phải tìm một nghiệm x

nữa để cho phương trình là độc lập tuyến tính với e x

Suy ra xe cũng là một nghiệm x

Các hàm e xe lập nên hệ nghiệm cơ bản của phương trình x, x

Hàm bù được tính bằng cách lấy tổ hợp tuyến tính của hệ nghiệm

c

y x  c c x e

Phương pháp giải: Đặt vế phải của phương trình vi phân bằng 0 (nếu

trưng (1.3)) Giải các phương trình đặc trưng ta tìm được n nghiệm của

cho bởi (1.5) hoặc (1.6), hoặc phần mở rộng (1.7)

1.1.2 Nghiệm riêng y p x

Không có phương pháp nào nói chung để tìm nghiệm riêng y p x

nhưng khi cho phương trình vi phân tuyến tính với hệ số hằng số và vế phải đơn giản, y p x có thể được tìm thấy qua kiểm tra hay là bằng giả thiết dạng tham số hóa tương tự với f x Phương pháp đó gọi là phương pháp hệ số  bất định

11

Phương pháp hệ số bất định: Nếu f x có dạng đặc biệt (chỉ chứa đa  

thức, số mũ, hay là số hạng sin và cosin) ta giả thiết hàm cơ sở cho y p x

trong từng dạng của f x tuy nhiên trong   y p x có chứa một số tham số bất định Sau đó thế hàm cơ sở này vào (1.2), từ đây có thể tìm được tham số và suy ra y p x Hàm f x có những dạng đặc biệt (khá thông dụng) như sau  

Cần lưu ý rằng phương pháp này không thể thành công nếu số hạng bất

kỳ trong hàm cơ sở cũng chứa trong hàm bù Trong trường hợp như vậy ta

cần phải nhân hàm cơ sở với bội số nguyên bé nhất của x thì lúc này hàm cơ

sở sẽ không chứa số hạng đã xuất hiện trong hàm bù Hệ số bất định trong hàm cơ sở có thể được thay thế vào (1.1)

12

hàm Green, biến thiên hằng số, và thay đổi biến phụ thuộc dùng kiến thức về hàm bù

Tuy nhiên, vì phương pháp này cũng được áp dụng cho các phương trình với hệ số là biến số, ta sẽ thảo luận về chúng trong phần 1.2

y x  c c x e

Trong hàm bù có chứa e , x xe x

Ta cần nhân be với bội số nguyên nhỏ nhất của x sao cho kết quả x

không xuất hiện trong y x c 

Do đó ta có:

x p

x e

y x 

13

Phương pháp giải: Nếu vế phải của phương trình vi phân chỉ chứa các

hàm f x có dạng đặc biệt đã đề cập ở phần đầu của tiểu mục này thì thay thế  các hàm cơ sở thích hợp cho y p x , từ đó cố định tham số bất định

Tuy nhiên, nếu vế phải của phương trình không theo các dạng đặc biệt này thì một trong các phương pháp tổng quát là phương pháp biến thiên tham

số

1.1.3 Cấu trúc nghiệm tổng quát

Như đã nói ở phần trước, các nghiệm tổng quát của phương trình vi phân (1.1) được tìm thấy bằng cách lấy tổng hàm bù và bất kỳ nghiệm riêng nào

Để minh hoạ thêm các tài liệu thảo luận trong hai phần 1.1.1 và 1.1.2,

ta sẽ bắt đầu từ việc tìm nghiệm tổng quát cho ví dụ mới

Ví dụ: Tìm nghiệm tổng quát của phương trình

Tuy nhiên, ta thấy hàm cơ sở này chứa đựng số hạng sin2x và cos2x, cả

hai số hạng này đều đã xuất hiện trong hàm bù (1.11)

Do đó chúng ta phải nhân (1.12) với bội số nguyên nhỏ nhất của x để

bảo đảm rằng không một số hạng nào xuất hiện trong y x c 

Vậy nên ta nhân (1.12) với x, từ đó rút ra hàm cơ sở

ax bx cx x dx ex  fx x (1.13) Thay vào (1.9) để cố định các hằng số xuất hiện trong (1.13), ta tìm được nghiệm riêng

  3cos 2 2sin 2 cos 2

1.2 Phương trình vi phân tuyến tính với hệ số là biến số

Không có phương pháp tổng quát để giải phương trình có hệ số là biến

số Tuy nhiên, có một số trường hợp phương trình có nghiệm duy nhất là có thể

1.2.1 Phương trình vi phân tuyến tính Legendre và Euler

Phương trình tuyến tính của Legendre có dạng

n n

16

phương trình này có thể giải được bằng phương pháp của 1.1

Trường hợp đặc biệt của phương trình tuyến tính Legendre, với  1

và  0 là phương trình Euler :

 

n n

Phương trình đặc trưng này có thể giải được

Giả sử phương trình đặc trưng có n nghiệm thực khác nhau:

17

Cách 1

Thế: xe trồi rút gọn phương trình cho e t

Ta thu được phương trình với hệ số là hằng số như sau:

Phương pháp giải: Nếu phương trình vi phân cấp cao dạng Legendre

(1.2.1) thì thế x  e t Sau đó ta thu được phương trình tương tự với hệ

số là hằng số có thể giải bằng phương pháp của 1.1

Nếu phương trình vi phân bậc cao dạng Euler (1.2.3) có vế phải khác 0 thì ta thế xe t từ đó thu được phương trình tương tự với hệ số là hằng số

18

Tuy nhiên, nếu f x 0 trong (1.2.3) thì ta có thể giải phương trình

bằng cách thế yx Từ đó suy ra phương trình đại số có nghiệm trong giá trị cho phép của , nghiệm tổng quát là đồng chất tuyến tính của hàm này

1.2.2 Phương trình vi phân chính xác

Đôi khi một phương trình vi phân có thể chỉ là đạo hàm đơn giản của phương trình vi phân cấp thấp hơn Nếu phương trình thuộc trường hợp này thì được gọi là phương trình vi phân chính xác

Phương trình vi phân tuyến tính bậc n có dạng

Trong đó dấu phẩy chỉ phép lấy vi phân với x Nếu (1.2.8) thỏa mãn thì

phép lấy tích phân dẫn đến phương trình vi phân bậc thấp hơn

Nếu phương trình này có thể giải thì ta có thể giải được phương trình ban đầu

Nếu quá trình trên dẫn đến phương trình chính xác thì việc phân tích có thể lặp đi lặp lại để hạ bậc phương trình đó

Ví dụ: Giải phương trình

2 2

1 x d y 3x dy y 1

Lời giải

Phương pháp giải: Đối với phương trình vi phân tuyến tính cấp cao

dạng (1.2.6) để kiểm tra xem nó có chính xác hay không ta sử dụng phương trình (1.2.8) Nếu phương trình chưa chính xác thì nhân thêm một hàm bất kì

20

thích hợp để nó trở thành phương trình chính xác Hàm có tính chất như vậy gọi là thừa số tích phân

Một phương trình là chính xác có vế trái như đạo hàm (1.2.7) và bằng cách mở rộng lấy đạo hàm này và so sánh với vế trái của phương trình vi phân cấp cao, xác định hàm b m x trong (1.2.7)

Sau đó lấy tích phân phương trình để rút ra phương trình vi phân khác

có cấp thấp hơn có thể giải được hoặc rút gọn hơn nữa nếu phương trình vi phân chính xác hoặc có thể thực hiện như vậy

1.3 Phương trình vi phân cấp cao thuần nhất

1.3.1 Phương trình thuần nhất đẳng cấp

Từ việc nghiên cứu phương trình vi phân đẳng cấp cấp một ta có thể

khái quát hóa đến phương trình vi phân tổng quát cấp n

Phương trình vi phân đẳng cấp cấp n là phương trình trong đó mỗi số hạng có số chiều như nhau khi cho y và dy một trọng số m, x và dx trọng số 1 thì đạo hàm thứ n của y đối với x sẽ có trọng số m trong y và -n trong x Với

số chiều của mỗi số hạng bằng tổng trọng số của các biến phụ thuộc, biến độc lập và các trọng số vi phân

Trong trường hợp đặc biệt m=1, số chiều của các số hạng trong phương

trình vi phân là như nhau khi đó phương trình trở thành phương trình vi phân thuần nhất (tránh nhầm lẫn với phương trình vi phân tuyến tính có vế phải bằng 0)

Nếu phương trình là phương trình vi phân đẳng cấp thì ta thay thế biến phụ thuộc yv m x(nếu phương trình là phương trình vi phân thuần nhất thì thế yvx)

Sau đó ta thay biến độc lập t

xe thì thu được phương trình mới chỉ

chứa biến độc lập t dưới dạng d/dt