Trạng thái cơ bản ngưng tụ bose einstein hai thành phần phân tách mạnh với điều kiện biên robin

Einstein sau đó mở rộng ý tưởng của Bose cho hệ hạt vật chất và chứng minh được rằng khi làm lạnh các nguyên tử boson đến nhiệt độ rất thấp thì hệ này t ch tụ lại hay ngưng tụ trong trạn

TRẦN THỊ THANH NGA

TRẠNG THÁI CƠ BẢN NGƢNG TỤ BOSE - EINSTEIN

HAI THÀNH PHẦN PHÂN TÁCH MẠNH

VỚI ĐIỀU KIỆN BIÊN ROBIN

KHÓA LUẬN TÔT NGHIỆP ĐẠI HỌC

HÀ NỘI, 2017

LỜI CẢM ƠN

Trước tiên em xin dành lời cảm ơn chân thành và sâu sắc nhất đến

TS.Nguyễn Văn Thụ - người thầy hướng dẫn đã tận tình chỉ bảo và tạo mọi điều

kiện thuận lợi nhất giúp đỡ em trong suốt quá trình thực hiện khoá luận này

Em cũng xin bày tỏ lời lòng biết ơn chân thành đến những thầy cô giáo đã giảng dạy em trong bốn năm qua, đặc biệt là các thầy cô trong Khoa Vật lý cùng các bạn sinh viên trong quá trình học tập và trau dồi kiến thức tại trường Đại học

Sư phạm Hà Nội 2 đã giảng dạy và cho em nhiều kiến thức trong học tập, nghiên cứu khoá luận cũng như công việc sau này

Trong quá trình nghiên cứu vì thời gian có hạn và bước đầu làm quen với phương pháp nghiên cứu khoa học nên đề tài không tránh khỏi những thiếu sót

Vì vậy em rất mong nhận được sự đóng góp của các quý thầy cô và các bạn để

đề tài này được hoàn thiện hơn

Em xin chân thành cảm ơn

Hà Nội, ngày 17 tháng 04 năm 2017

Sinh viên

Trần Thị Thanh Nga

LỜI CAM ĐOAN

Khoá luận tốt nghiệp “Trạng thái cơ bản của ngưng tụ Bose-Einsstein hai thành phần phân tách mạnh với điều kiên biên Robin” được hoàn thành dưới sự

hướng dẫn tận tình của TS.Nguyễn Văn Thụ

Tôi xin cam đoan đề tài này là kết quả nghiên cứu của riêng tôi và không trùng với bất kì khoá luận nào khác

Hà Nội, ngày 17 tháng 04 năm 2017

Sinh viên

Trần Thị Thanh Nga

MỤC LỤC

MỞ ĐẦU 1

1 Lý do chọn đề tài 1

2 Mục đ ch nghiên cứu 2

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu 2

4 Nhiệm vụ nghiên cứu 2

5 Phương pháp nghiên cứu 2

6 Đóng góp của đề tài 2

CHƯƠNG 1 LÝ THUYẾT CHUNG VỀ NGƯNG TỤ BOSE-EINSTEIN 3

1.1 Hệ hạt đồng nhất 3

1.1.1 Nguyên lí đồng nhất 3

1.1.2 Các trạng thái đối xứng và phản đối xứng 4

1.1.3 Nguyên lí Pauli và hàm sóng của hệ tương tác yếu 6

1.2 Thống kê Bose-Einsstein 7

1.3 Tình hình nghiên cứu về ngưng tụ Bose-Einsstein 17

1.4 Thực nghiệm về ngưng tụ Bose-Einstein 21

1.4.1 Ngưng tụ Bose- Einstein đầu tiên của nguyên tố erbium 21

1.4.2 Loại ánh sáng mới tạo đột phá về vật lý 22

1.4.3 Các nhà vật lý khẳng định sự tồn tại của trạng thái ngưng tụ polartion 24

CHƯƠNG 2 TRẠNG THÁI CƠ BẢN CỦA NGƯNG TỤ BOSE-EINSTEIN HAI THÀNH PHẦN PHÂN TÁCH MẠNH VỚI ĐIỀU KIỆN BIÊN ROBIN 28

2.1 Phương trình Gross-Pitaevskii 28

2.1.1 Phương trình Gross- Pitaevskii phụ thuộc vào thời gian 28

2.1.2 Phương trình Gross- Pitaevskii không phụ thuộc vào thời gian 29

2.2 Gần đúng parabol kép (Double parabola approximation - DPA) 32 2.3 Trạng thái cơ bản của ngưng tụ Bose-Einstein hai thành phần phân tách mạnh trong gần đúng parabol kép, giải phương trình với điều kiện biên Robin 34

KẾT LUẬN 40 TÀI LIỆU THAM KHẢO 41

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Trước đây, t ai nghĩ rằng có thể tạo ra được ngưng tụ Bose - Einstein và chất ngưng tụ này lại hứa hẹn có nhiều ứng dụng trong khoa học và công nghệ Ngưng tụ Bose – Einstein là một công trình khoa học nổi tiếng của Einstein được tạo ra đầu tiên trên thế giới (BEC- Bose- Einstein Condensation) từ những nguyên tử lạnh năm 1995

Ngưng tụ Bose- Einstein là một trạng thái vật chất của kh boson loãng bị làm lạnh đến nhiệt độ rất gần độ 0oK tuyệt đối (hay rất gần giá trị 0oK hay -

273oC) Dưới những điều kiện này, một tỉ lệ lớn các boson cùng tồn tại ở trạng thái lượng tử trở lên rõ rệt ở mức vĩ mô Những hiệu ứng này được gọi là hiện tượng lượng tử mức vĩ mô

Trạng thái vật chất này lần đầu tiên được Bose- Einsstein tiên đoán về sự tồn tại trong những năm 1924- 1925 Bose đầu tiên gửi một bài báo đến Einstein về thống kê lượng tử của lượng tử ánh sáng Einstein sau đó mở rộng ý tưởng của Bose cho hệ hạt vật chất và chứng minh được rằng khi làm lạnh các nguyên tử boson đến nhiệt độ rất thấp thì hệ này t ch tụ lại (hay ngưng tụ) trong trạng thái lượng tử thấp nhất có thể và tạo nên trạng thái mới của vật chất

Với việc tạo ra trạng thái ngưng tụ Bose – Einstein, có ý nghĩa lớn trong vật

lý như giải th ch được nhiều hiện tượng vật lý siêu dẫn, siêu chảy, Với mong muốn được nghiên cứu và tìm hiểu sâu hơn về trạng thái ngưng tụ Bose –

Einstein tôi chọn đề tài “ Trạng thái cơ bản của ngƣng tụ Bose – Einstein hai thành phần phân tách mạnh với điều kiện biên Robin“ làm đề tài nghiên cứu

của mình

2 Mục đ ch nghiên c u

Trên cơ sở lý thuyết về ngưng tụ Bose – Einstein nghiên cứu trạng thái cơ bản của ngưng tụ Bose – Einstein hai thành phần phân tách mạnh và điều kiện biên Robin trong vật lý thống kê và cơ học lượng tử

CHƯƠNG 1

LÝ THUYẾT CHUNG VỀ NGƯNG TỤ BOSE-EINSTEIN

1.1 Hệ hạt đồng nhất

1.1.1 Nguyên lí đồng nhất

Chúng ta hãy nghiên cứu một hệ N hạt chuyển động phi tương đối t nh Trong

trường hợp này toán tử Hamilton có thể viết dưới dạng:

(1.1)

trong đó là toán tử tương tác giữa các hạt, nó là hàm toạ độ của tất cả các hạt;

là toán tử đặc trưng cho tương tác spin-quỹ đạo, tương tác giữa các spin của

các hạt và thế năng của trường ngoài; là toán tử xung lượng; m là khối lượng

Nếu các hạt có các đặc trưng như điện tích, khối lượng, spin,…không phân

biệt được với nhau thì chúng ta có một hệ N hạt đồng nhất Trong một hệ như

thế, làm thế nào có thể phân biệt được hai hạt với nhau? Trong vật lý học cổ điển đối với trường hợp tương tự người ta có thể phân biệt các hạt theo các trạng thái của chúng, nghĩa là nêu ra các tọa độ và xung lượng của từng hạt Nhưng biện pháp này không thể áp dụng được trong cơ học lượng tử Chẳng hạn hai electron

ở thời điểm đầu có thể phân biệt được bằng cách đặt chúng ở hai hố thế khác nhau, cách nhau bởi một “rào thế”, thì do hiệu ứng đường hầm, theo thời gian, các electron có thể trao đổi các trạng thái cho nhau và việc phân biệt hai electron với nhau sẽ mất hết ý nghĩa

Tính không phân biệt được các hạt đồng nhất theo các trạng thái trong cơ học lượng tử dẫn tới nguyên lý về t nh đồng nhất:

Trong hệ các hạt đồng nhất chỉ tồn tại những trạng thái không thay đổi khi đổi chỗ các hạt đồng nhất cho nhau

1.1.2 Các trạng thái đối xứng và phản đối xứng

Ta k hiệu toán tử hoán vị hạt i và j với nhau là ij và k hiệu trạng thái của hệ N hạt đồng chất là (1,…,i,…,j,…,N,t) ≡ (i,j) Nếu thế

; ; (1.3) Phương trình cho hàm riêng và trị riêng của toán tử ij

Chú ý đến (1.4)

Từ đây suy ra trị riêng của toán tử là là λ=

Thành thử các hàm riêng của toán tử hoán vị được chia làm hai lớp:

a) Lớp các hàm đổi dấu khi hoán vị một cặp hạt bất kì

ij

tương ứng với trị riêng λ=

b) Lớp các hàm không đổi dấu khi hoán vị một cặp hạt bất kì

tương ứng với trị riêng λ=

Các hàm (1.5) được gọi là các hàm phản đối xứng, các hàm (1.6) được gọi là các hàm đối xứng

T nh đối xứng và phản đối xứng của một hệ hạt là t ch phân chuyển động Thật vậy, vì không phụ thuộc tường minh vào thời gian ( , nên:

,

Từ đây (đpcm)

Các th nghiệm đã chứng tỏ rằng, t nh chất đối xứng và phản đối xứng của các hàm sóng liên quan đến t nh chất nội tại của các hạt Các hạt có các hàm sóng đối xứng được gọi là các hạt Bose hay các Boson, chúng tuân theo thống kê Bose-Einstein Các hạt có hàm sóng phản đối xứng được gọi là các hạt Fermi hay các Fermion, tuân theo thống kê Fermi-Dirac Các boson là các hạt có spin nguyên (photon, -meson, K-meson,…) Các fermion là các hạt có spin bán nguyên (electron, các nucleon,…)

1.1.3 Nguyên lí Pauli và hàm sóng của hệ tương tác yếu

Đối với các fermion có một nguyên l cấm do Pauli đưa ra Nguyên l này được phát biểu như sau:

Nếu có một bộ 4 đại lượng động lực (L 1 ,L 2 ,L 3 ,S z ) bất kì đủ để đặc trưng cho trạng thái của một hạt, thì trong hệ fermion không thể có hai hạt có trạng thái được đặc trưng bởi 4 số (L 1 ,L 2 ,L 3 ,S z ) giống nhau

Nguyên l này được rút ra từ t nh phản đối xứng của hàm sóng của các

fermion Thật vậy, giả sử trong hệ có hai hạt i và j ở trong hai trạng thái giống

nhau

Theo giả thiết

, cho nên

Ở đây là toán tử Hamilton cho hạt thứ Ɩ (Ɩ=1,2,…,N), là tập hợp các số

lượng tử đủ để đặc trưng cho trạng thái của hạt l Khi đó các hàm riêng của toán

tử của cả hệ (tương ứng với năng lượng sẽ là các tổ hợp tuyến

Đối với các hệ hạt đồng nhất, chúng ta không cần biết cụ thể hạt nào ở trạng thái

nào mà chỉ cần biết trong mỗi trạng thái đơn hạt có bao nhiêu hạt

Xuất phát từ công thức chính tắc lượng tử [2],

phương diện vật lý ứng với cùng một giá trị E đó ch nh là số mới vì số hạt k

trong hệ không phải là bất biến nên tương tự như trường hợp thống kê cổ điển thay thế cho phân bố chính tắc lượng tử ta có thể áp dụng phân bố chính tắc lớn lượng tử hay phân bố Gibbs suy rộng

Phân bố chính tắc lớn lượng tử có dạng

(1.11)

trong đó , Ω là thế nhiệt động chính tắc lớn,  là thế hóa

Sở dĩ có thừa số xuất hiện trong công thức (1.11) là vì có kể đến t nh đồng nhất của các hạt và t nh không phân biệt của các trạng thái mà ta thu được do hoán vị các hạt

Ta k hiệu

(1.12)

Khi đó (1.11) được viết lại như sau

(1.13)

Từ đây ta có hai nhận xét về công thức (1.13) như sau:

Một là vế phải của (1.13) có thể coi là hàm của các n nên ta có thể đoán l

nhận công thức đó như là xác suất để cho có n hạt nằm trên mức 0 0,n l hạt nằm trên mức ,l nghĩa là, đó là xác suất chứa đầy Do đó nhờ công thức này ta có thể tìm được số hạt trung bình nằm trên các mức năng lượng

(1.14)

Hai là đại lượng xuất hiện vì ta kể đến khả năng xuất hiện các trạng thái vật lý mới hoán vị (về tọa độ) các hạt Đối với hệ boson và hệ fermion, tức là hệ được mô tả bằng hàm sóng đối xứng và phản đối xứng, thì các phép hoán

vị đều không đưa đến một trạng thái vật lý mới nào cả, bởi vì khi đó hàm sóng của

hệ sẽ chỉ hoặc không đổi dấu, hoặc đổi dấu nghĩa là diễn tả cùng một trạng thái lượng tử Do đó đối với các hạt boson và hạt fermion ta có

Nhưng trong thống kê Maxwell-Boltzmann, khi mà các hạt là khác biệt nhau về

phương diện hoán vị tọa độ (tức là khi các hạt hoán vị có thể xuất hiện trạng thái mới), ta có

(1.15)

Trong phân bố Maxwell – Boltzmann tất cả các phép hoán vị khả dĩ của tọa độ của các hạt (tức ) đều sẽ cho các trang thái mới, trừ các phép hoán vị của các tọa độ của các hạt có cùng một năng lượng l Do đó số tổng cộng các trạng thái khác nhau về phương diện Vật lý sẽ bằng số hoán vị tổng cộng !N chia cho số

hoán vị trong các nhóm có cùng năng lượng tức là chia cho n n0! ! 1 Khi đó:

(1.16)

thay giá trị của vào (1.12) ta thu được (1.15) Để t nh trị trung bình của các số lấp đầy (số hạt trung bình nằm trên mức năng lượng khác nhau) ta gắn cho đại

lượng trong công thức (1.13) chỉ số l, tức là ta sẽ coi hệ ta xét hình như không

phải chỉ có một thế hóa học mà ta có cả một tập hợp thế hóa học Và cuối phép tính ta cho

Tiến hành phép thay thế như trên ta có thể viết điều kiện chuẩn hóa như sau

(1.17)

với

p k (1.28) khi đó (1.21) có thể được viết dưới dạng

m V





Vì các hạt có thể có các định hướng spin khác nhau nên số trạng thái khả dĩ ứng

với cùng một giá trị của spin s của hạt g2s1 Do đó, số các mức năng lượng trong khoảng    d là

.2

m Vg



 (1.30) Theo (1.26) số hạt trung bình có năng lượng trong khoảng    d là

  2 33

2

.2

0.

  (1.33) Thực vậy, số hạt trung bình dn  chỉ có thể là một số dương, do đó, theo (1.31), điều kiện đó chỉ thỏa mãn khi mẫu số ở (1.31) luôn luôn dương (nghĩa là khi   0, để cho exp  





  luôn luôn lớn hơn 1 với mọi giá trị của  )

Tiếp theo chúng ta có thể chứng minh rằng,  giảm dần khi nhiệt độ tăng lên Thực vậy, áp dụng qui tắc lấy đạo hàm các hàm ẩn vào (1.32) ta có:

0 0

0

0

11

1

1

kT kT

kT

kT

d d

e

N T

d

d e

Nhưng do (1.32) nên     0, do đó biểu thức dưới dấu tích phân ở vế phải

(1.34) luôn luôn dương với mọi giá trị của , vì vậy 0

 của hàm  ta thấy khi nhiệt độ giảm thì  tăng (từ giá trị âm

tăng đến giá trị lớn hơn “nhưng vẫn là âm”) và tới nhiệt độ T nào đó 0  sẽ đạt giá trị cực đại bằng không max 0

x dx e

N T

He [2], ngay cả với khối lượng riêng của chất lỏng hêli vào cỡ

120kg/m3 ta được T0 2,190K Tuy nhiên, sự tồn tại nhiệt độ T0 0 có ý nghĩa rất quan trọng Để hiểu ý nghĩa của nó ta xét khoảng nhiệt độ 0 T T0 Khi giảm nhiệt độ xuống tới T thì thế hóa học 0  tăng tới giá trị max 0, mà

1

x kT

e e

chỉ có một phần số hạt N có thể phân bố theo các mức năng lượng một cách

tương ứng với công thức (1.26), tức là

Các hạt còn lại N N, cần phải được phân bố như thế nào đó khác đi, chẳng hạn

như tất cả số đó nằm trên mức năng lượng thấp nhất, nghĩa là chúng hình như nằm

ở một pha khác mà người ta quy ước gọi là pha ngưng tụ

Như vậy ở các nhiệt độ thấp hơn T , một phần các hạt của khí bose sẽ nằm ở 0

mức năng lượng thấp nhất (năng lượng không) và các hạt còn lại sẽ được phân

bố trên các mức khác theo định luật /1

1

e   Hiện tượng mà ta vừa mô tả, trong

đó một số hạt của khí bose chuyển xuống mức “năng lượng không” và hai phần

của khí bose phân bố khác nhau theo năng lượng được gọi là sự ngưng tụ Bose

Ở nhiệt độ không tuyệt đối (T 0) tất cả các hạt bose sẽ nằm ở mức không

1.3 Tình hình nghiên c u về ngƣng tụ Bose-Einsstein

Ngưng tụ Bose-Einstein là một hiện tượng lượng tử kì lạ đã được quan sát thấy ở khí loãng lần đầu tiên vào năm 1995 Einstein đã tổng quát hóa lý thuyết của Bose thành kh l tưởng của hệ hạt đồng chất nguyên tử hay phân tử, mà số lượng được bảo toàn Cùng thời gian đó, dự đoán với nhiệt độ đủ thấp, các hạt sẽ nằm trong cùng trạng thái lượng tử thấp nhất của hệ Hiện tượng đó gọi là ngưng

tụ Bose-Einsstein (BEC), xảy ra với các hạt có tổng spin nguyên

Cho đến nay, trên khắp thế giới có tổng cộng 13 nguyên tố đã được làm cho ngưng tụ Mười trong số những ngưng tụ này đã được tạo ra bởi mười nhóm nghiên cứu quốc tế khác nhau [3]

Năm 1938, Fritz London đề xuất trạng thái BEC như là một cơ chế giải thích cho tính siêu chảy của 4 He cũng như t nh siêu dẫn ở nhiệt độ thấp của một số vật

liệu

Năm 1995, kh ngưng tụ đầu tiên đã được tạo ra bởi nhóm của Eric Cornell và Carl Wieman ở phòng thí nghiệm JILA thuộc Viện Công nghệ Tiêu chuẩn Quốc gia (NIST) tại Đại học Colorada ở Boulder, khi họ làm lạnh khí nguyên tử Rubidi đến nhiệt độ 170 nanokelvin (nK) Cũng trong thời gian này, Wolfgang Ketterle ở Học viện Công nghệ Massachusetts tạo ra được ngưng tụ Bose – Einstein đối với nguyên tử natri và duy trì được hệ 2000 nguyên tử này trong thời gian lâu cho phép nghiên cứu những tính chất của hệ Vì vậy mà Cornell, Wieman, Ketterle được nhận giải Nobel Vật lý năm 2001

Đầu những năm 1970 tại phòng thí nghiệm nhiệt độ thấp ở Đại học Cornell, Lee, Osheroff và Richardron đã phát hiện thấy rằng một đồng vị của hêli (He) là hêli-3 có thể trở thành siêu lỏng tại một nhiệt độ chỉ khoảng hai phần nghìn độ trên không độ tuyệt đối Chất lỏng lượng tử siêu lỏng này khác hẳn với chất lỏng lượng tử siêu lỏng mà người ta đã phát hiện thấy vào những năm 1930 ở nhiệt độ khoảng hai độ (cao hơn một nghìn lần) trong một đồng vị khác của hêli là hêli-4 Chất lỏng lượng tử mới (hêli-3) có những tính chất đặc biệt chẳng hạn như các định luật lượng tử của vật lý vi mô thi thoảng cũng trực tiếp chi phối dáng điệu của vật lý vĩ mô Nguyên tử hêli-4 là một Bose và chúng tuân theo thống kê Bose-Einsstein Trong điều kiện nào đó, chúng ngưng tụ ở trạng thái có năng lượng nhỏ nhất quá trình chuyển pha trong đó xảy ra và được gọi là sự ngưng tụ Bose-Einsstein Các nguyên tử hêli-3 tuân theo thống kê Fermi-Dirac và thực ttees không bị ngưng tụ ở trạng thái năng lượng thấp nhất Do đó, sự siêu lỏng không xảy ra trong hêli-3 giống như hêli-4, nghĩa là hêli-3 không thể hóa lỏng ở nhiệt độ