Trạng thái cơ bản ngưng tụ bose einstein hai thành phần phân tách yếu với điều kiện biên robin

Mục đích nghiên cứu Trên cơ sở lý thuyết về ngưng tụ Bose - Einstein nghiên cứu các trạng thái cơ bản của của ngưng tụ Bose - Einstein hai thành phần phân tách yếu với điều kiện biên R

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Người hướng dẫn khoa học:

TS Nguyễn Văn Thụ

HÀ NỘI, 2017

LỜI CẢM ƠN

Trước khi trình bày nội dung của khóa luận, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc nhất tới TS Nguyễn Văn Thụ, người đã định hướng chọn đề tài và tận tình hướng dẫn em để em có thể hoàn thành khóa luận này

Em cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới các thầy cô đã giảng dạy

em trong suốt bốn năm qua, các thầy cô giáo giảng dạy chuyên nghành Vật lý lý thuyết và Vật lý toán cùng toàn thể các thầy cô trong Khoa Vật lý Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, đã giảng dạy và trang bị cho em những kiến thức cơ bản trong học tập, nghiên cứu khóa luận cũng như công việc sau này

Cuối cùng, em xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè đã động viên, giúp đỡ và tạo điều kiện về mọi mặt trong quá trình học tập để em hoàn thành khóa luận này Trong quá trình nghiên cứu vì thời gian có hạn và bước đầu làm quen với phương pháp nghiên cứu khoa học nên đề tài không thể tránh khỏi những thiếu xót Vì vậy, em rất mong nhận được sự đóng góp của các quý thầy

cô và các bạn để đề tài này được hoàn thiện hơn

Em xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, ngày 18 tháng 4 năm 2017

Sinh viên

HÀ THỊ LY

LỜI CAM ĐOAN

Khóa luận tốt nghiệp “Trạng thái cơ bản ngưng tụ Bose – Einstein hai thành phần phân tách yếu với điều kiện biên Robin” được hoàn thành dưới sự hướng dẫn nhiệt tình và nghiêm khắc của TS Nguyễn Văn Thụ

Tôi xin cam đoan đề tài này là kết quả nghiên cứu của tôi và không trùng với bất kì kết quả nghiên cứu của tác giả nào khác Trong khi nghiên cứu tôi đã

kế thừa những thành tựu của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn

Hà Nội, ngày 18 tháng 4 năm 2017

Sinh viên

HÀ THỊ LY

MỤC LỤC

MỞ ĐẦU 1

1 Lý do chọn đề tài 1

2 Mục đích nghiên cứu 2

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu 2

4 Nhiệm vụ nghiên cứu 2

5 Phương pháp nghiên cứu 2

CHƯƠNG 1 TỔNG QUAN CÁC NGHIÊN CỨU VỀ NGƯNG TỤ BOSE – EINSTEIN 4

1.1 Hệ hạt đồng nhất 4

1.2 Thống kê Bose - Einstein 5

1.3 Tình hình nghiên cứu về ngưng tụ Bose - Einstein 14

1.4 Thực nghiệm về ngưng tụ Bose – Einstein 17

1.4.1 Ngưng tụ Bose – Einstein đầu tiên của nguyên tố erbium 17

1.4.2 Loại ánh sáng đột phá về vật lý 19

1.4.3 Các nhà Vật lý khẳng định sự tồn tại của trạng thái ngưng tụ polartion 21

1.4.4 Chất siêu dẫn mới 24

CHƯƠNG 2 TRẠNG THÁI CƠ BẢN NGƯNG TỤ BOSE – EINSTEIN HAI THÀNH PHẦN PHÂN TÁCH YẾU VỚI ĐIỀU KIỆN BIÊN ROBIN 26 2.1 Phương trình Gross – Pitaevskii 26

2.1.1 Phương trình Gross – Pitaevskii phụ thuộc vào thời gian 26

2.1.2 Phương trình Gross-Pitaevskii không phụ thuộc vào thời gian 27

2.2 Gần đúng parabol kép (Double parabola approximation - DPA) 30

2.3 Trạng thái cơ bản trong gần đúng parabol kép, giải phương trình với điều kiện biên Robin 32

KẾT LUẬN 37 TÀI LIỆU THAM KHẢO 38

nhưng ông lại được trao giải Noben vật lý năm

1921 cho những cống hiến của ông đối với vật lý lý thuyết, và đặc biệt cho sự khám phá ra định luật của hiệu ứng quang điện

Khi bước vào sự nghiệp của mình Einstein đã nhận ra được cơ học Newton không còn có thể thống nhất các định luật của cơ học cổ điển với các định luật của trường điện từ Từ đó ông đã phát triển thuyết tương đối đặc biệt, mở rộng nguyên lí tương đối cho cả trường hấp dẫn Ông tiếp tục nghiên cứu các bài toán của cơ học thống kê và lý thuyết nguyên tử, trong đó đưa ra những giải thích về lý thuyết và sự chuyển động của các hạt

Ý tưởng về BEC (Bose - Einstein condesation) bắt đầu từ năm 1924 khi nhà lý thuyết người Ấn Độ Satyendra Nath Bose suy ra định luật Planck cho bức xạ của vật đen khi coi photon như một chất khí của nhiều hạt đồng nhất Satyendra Nath Bose chia sẻ ý tưởng của mình với Einstein và hai nhà khoa học đã tổng quát hóa lý thuyết của Bose cho một khí lý tưởng các nguyên tử

và tiên đoán rằng các nguyên tử bị làm đủ lạnh, bước sóng của chúng trở thành lớn đến mức chồng lên nhau Các nguyên tử mất nhận dạng các hạt nhân và tạo nên một trạng thái lượng tử vĩ mô hay nói cách khác là một siêu nguyên tử- tức là BEC Mãi đến năm 1980 khi kỹ thuật laser đã đủ phát triển

để làm siêu lạnh các nguyên tử đến nhiệt độ rất thấp thì BEC mới được thực hiện

Chính vì lý do này mà em chọn đề tài “ Trạng thái cơ bản của ngưng

tụ Bose- Einstein hai thành phần phân tách yếu với điều kiện biên Robin” làm đề tài nghiên cứu của mình

2 Mục đích nghiên cứu

Trên cơ sở lý thuyết về ngưng tụ Bose - Einstein nghiên cứu các trạng thái cơ bản của của ngưng tụ Bose - Einstein hai thành phần phân tách yếu với điều kiện biên Robin

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

 Các phương trình Gross- Pitaevskii

 Nghiên cứu các trạng thái cơ bản của ngưng tụ Bose - Einstein hai thành phần phân tách yếu với điều kiện biên Robin

4 Nhiệm vụ nghiên cứu

Nghiên cứu các trạng thái cơ bản trong ngưng tụ Bose Einstein hai thành phần phân tách yếu với điều kiện biên Robin trên cơ sở thống kê Bose- Einstein, phương trình Gross- Pitaevskii

5 Phương pháp nghiên cứu

 Đọc tài liệu có liên quan

3

 Sử dụng các kiến thức trong Vật lý thống kê, cơ học lượng tử và các phương pháp giải tích toán học

 Sử dụng gần đúng parabol kép

 Giải phương trình và về hình bằng phần mềm Mathematica

 Phương pháp đàm thoại trao đổi với giáo viên

4

CHƯƠNG 1 TỔNG QUAN CÁC NGHIÊN CỨU VỀ NGƯNG TỤ BOSE – EINSTEIN 1.1 Hệ hạt đồng nhất

Xét một hệ N hạt chuyển động phi tương đối tính Trong trường hợp

này toán tử Hamilton có thể viết dưới dạng

N i

Hàm sóng của phương trình Schrodinger

Nếu các hạt có các đặc trưng như điện tích, khối lượng, spin,…không

phân biệt được với nhau thì chúng ta có một hệ N hạt đồng nhất Trong một

hệ như thế, làm thế nào có thể phân biệt được hai hạt với nhau? Trong vật lý học cổ điển đối với trường hợp tương tự người ta có thể phân biệt các hạt theo các trạng thái của chúng, nghĩa là nêu ra các tọa độ và xung lượng của từng hạt Nhưng biện pháp này không thể áp dụng được trong cơ học lượng tử Chẳng hạn hai electron ở thời điểm đầu có thể phân biệt được bằng cách đặt chúng ở hai hố thế khác nhau, cách nhau bởi một rào thế, thì do hiệu ứng đường hầm, theo thời gian, các electron có thể trao đổi các trạng thái cho nhau và việc phân biệt hai electron với nhau sẽ mất hết ý nghĩa

Tính không phân biệt được các hạt đồng nhất theo các trạng thái trong cơ

5

học lượng tử dẫn tới nguyên lý về tính đồng nhất:

“Trong hệ các hạt đồng nhất chỉ tồn tại những trạng thái không thay đổi khi đổi chỗ các hạt đồng nhất cho nhau”[1]

Dựa vào tính chất nội tại của các hạt người ta chia hệ hạt đồng nhất thành hai nhóm cụ thể là:

+ Hệ fermion: hệ này bao gồm các hạt fermi, đó là các hạt có spin bán

Do hệ boson tuân theo thống kê Bose – Einstein nên người ta đã áp dụng thống kê Bose – Einstein tìm được tính chất điển hình của boson là ngưng tụ Bose – Einstein trong đó nhiều hạt giống nhau đóng vai trò như nhau như một hạt, điều mà các fermion nằm tại các vị trí khác nhau không làm được

1.2 Thống kê Bose - Einstein

Đối với các hệ hạt đồng nhất, chúng ta không cần biết cụ thể hạt nào ở

trạng thái nào mà chỉ cần biết trong mỗi trạng thái đơn hạt có bao nhiêu hạt

Xuất phát từ công thức chính tắc lượng tử [2],

trong đó g k là độ suy biến

Nếu hệ gồm các hạt không tương tác thì ta có

ở đây, l là năng lượng (trị riêng của toán tử Haminton) của một hạt riêng lẻ

của hệ, n là số chứa đầy tức là số hạt có cùng năng lượng l l(số hạt nằm trên

cùng mức năng lượng

Số hạt trong hệ có thể nhận giá trị từ 0  với xác suất khác nhau Độ

suy biến g k trong (1.3) sẽ tìm được bằng cách tính số các trạng thái khác

nhau về phương diện Vật lý ứng với cùng một giá trị E k, đó chính là số các

hoán vị (về phương diện tọa độ) của hạt tương ứng với các trạng thái mới (về

phương diện vật lí) Vì số hạt trong hệ không phải là bất biến nên tương tự

như trường hợp thống kê cổ điển thay thế cho phân bố chính tắc lượng tử ta

có thể áp dụng phân bố chính tắc lớn lượng tử hay phân bố Gibbs suy rộng

Phân bố chính tắc lớn lượng tử có dạng

7

Từ đây ta có hai nhận xét về công thức (1.7) như sau:

Một là vế phải của (1.7) có thể coi là hàm của các n l nên ta có thể đoán

nhận công thức đó như là xác suất để cho có n0 hạt nằm trên mức 0,n l hạt

nằm trên mức l, nghĩa là, đó là xác suất chứa đầy Do đó nhờ công thức này

ta có thể tìm được số hạt trung bình nằm trên các mức năng lượng

(1.8)

Hai là, sở dĩ đại lượng G n n 0, 1,  xuất hiện vì ta kể đến khả năng xuất

hiện các trạng thái vật lý mới hoán vị (về tọa độ) các hạt Đối với hệ boson và hệ

fermion, tức là hệ được mô tả bằng hàm sóng đối xứng và phản đối xứng, thì các

phép hoán vị đều không đưa đến một trạng thái vật lý mới nào cả, bởi vì khi đó

hàm sóng của hệ sẽ chỉ hoặc không đổi dấu, hoặc đổi dấu nghĩa là diễn tả cùng

một trạng thái lượng tử Do đó đối với các hạt boson và hạt fermion ta có

Nhưng trong thống kê Macxoen – Bonxoman, khi mà các hạt là khác biệt

nhau về phương diện hoán vị tọa độ (tức là khi các hạt hoán vị có thể xuất hiện

Trong phân bố Maxwell – Boltzmann tất cả các phép hoán vị khả dĩ của

tọa độ của các hạt có cùng một năng lượng l Do đó số tổng cộng các trạng

thái khác nhau về phương diện vật lý sẽ bằng số hoán vị tổng cộng N chia !

! !

k

N g

n n

 (1.10)

thay giá trị của g k vào (1.6) ta thu được (1.9) Để tính trị trung bình của các

số chứa đầy (số hạt trung bình nằm trên mức năng lượng khác nhau) ta gắn cho đại lượng  trong công thức (1.7) chỉ số l , tức là ta sẽ coi hệ ta xét hình

như không phải chỉ có một thế hóa học  mà ta có cả một tập hợp thế hóa học l Và cuối phép tính ta cho l 

Tiến hành phép thay thế như trên ta có thể viết điều kiện chuẩn hóa như sau

k

n Z

Theo quan điểm lượng tử, các hạt boson chứa trong thể tích V có thể

xem như các sóng dừng de Broglie Vì vậy có thể xác định dN  bằng cách

p m

11

  22 33

.2

m V





Vì các hạt có thể có các định hướng spin khác nhau nên số trạng thái khả

dĩ ứng với cùng một giá trị của spin s của hạt g 2s1 Do đó, số các mức năng lượng trong khoảng    d là

  2 2 33

.2

m Vg



 (1.24) Theo (1.20) số hạt trung bình có năng lượng trong khoảng    d là

0

  (1.27) Thực vậy, số hạt trung bình dn  chỉ có thể là một số dương, do đó, theo (1.25), điều kiện đó chỉ thỏa mãn khi mẫu số ở (1.25) luôn luôn dương (nghĩa

là khi 0, để cho exp  

12

0 0

0

0

11

1

1

kT kT

kT

kT

d d

e

N T

d

d e

Nhưng do (1.26) nên   0, do đó biểu thức dưới dấu tích phân ở vế

phải (1.28) luôn luôn dương với mọi giá trị của , vì vậy 0

x dx e

N T

1

x kT

mkT Vg

e e

14

nhận vật lý một cách đặc biệt Khi T T0 thì N Nchỉ ra rằng số hạt toàn

phần N chỉ có một phần số hạt N có thể phân bố theo các mức năng lượng

một cách tương ứng với công thức (1.20), tức là

hình như nằm ở một pha khác mà người ta quy ước gọi là pha ngưng tụ

Như vậy ở các nhiệt độ thấp hơn T , một phần các hạt của khí bose sẽ 0

nằm ở mức năng lượng thấp nhất (năng lượng không) và các hạt còn lại sẽ

được phân bố trên các mức khác theo định luật

/

11

1.3 Tình hình nghiên cứu về ngưng tụ Bose - Einstein

Ngưng tụ Bose – Einstein là một trạng thái vật chất của khí boson loãng

bị làm lạnh đến nhiệt độ rất gần độ không tuyệt đối (hay rất gần giá trị 0 K hay -2730C) Dưới những điều kiện này, một tỉ lệ lớn các boson tồn tại ở trạng thái lượng tử thấp nhất, tại điểm mà các hiệu ứng lượng tử trở lên rõ rệt ở mức vĩ mô Những hiệu ứng này được gọi là hiện tượng lượng tử mức vĩ mô Hiện tượng này được dự đoán bởi Einstein vào năm 1925 cho các nguyên tử với spin toàn phần có những giá trị nguyên Dự đoán này dựa trên ý tưởng về một phân bố lượng tử cho các photon được đưa ra bởi Bose trước đó một năm

để giải thích phổ phát xạ và hấp thụ của các vật đen tuyệt đối Einstein sau đó

Cho đến nay, trên khắp thế giới có tổng cộng 13 nguyên tố đã được làm cho ngưng tụ Mười trong số những ngưng tụ này đã được tạo ra bởi mười nhóm nghiên cứu quốc tế khác nhau [4]

Năm 1938, Fritz London đề xuất trạng thái BEC như là một cơ chế giải thích cho tính siêu chảy của cũng như tính siêu dẫn ở nhiệt độ thấp của một số vật liệu

Năm 1995, khí ngưng tụ đầu tiên đã được tạo ra bởi nhóm của Eric Cornell và Carl Wieman ở phòng thí nghiệm JILA thuộc Viện Công nghệ Tiêu chuẩn Quốc gia (NIST) tại Đại học Colorada ở Boulder, khi họ làm lạnh khí nguyên tử Rubidi đến nhiệt độ 170 nanokelvin (nK) Cũng trong thời gian này, Wolfgang Ketterle ở Học viện Công nghệ Massachusetts tạo ra được ngưng tụ Bose – Einstein đối với nguyên tử natri và duy trì được hệ 2000 nguyên tử này trong thời gian lâu cho phép nghiên cứu những tính chất của hệ Vì vậy mà Cornell, Wieman, Ketterle được nhận giải Nobel Vật lý năm 2001

Ở nhiệt độ phòng khí boson và khí fermi đều phản ứng rất giống nhau, giống hạt cổ điển tuân thủ theo gần đúng thống kê Maxwell - Boltzman (bởi

cả thống kê Bose – Einstein và thống kê Fermi – Dirac đều tiệm cận đến thống kê Maxwell - Boltzman) Có thể khẳng định rằng ở nhiệt độ thấp khí bose có tính chất khác hẳn khí fermi (chẳng hạn như khí điện tử tự do trong

16

kim loại) Thật vậy, vì các hạt boson không chịu sự chi phối của nguyên lý cấm Pauli nên ở nhiệt độ không tuyệt đối tất cả các hạt đều có năng lượng 0

  , do đó trạng thái cơ bản của tất cả chất khí là trạng thái có E 0 Còn đối với khí fermi thì khác, ở nhiệt độ 0

0

T  K các hạt lần lượt chiếm các trạng thái có năng lượng từ 0 đến mức fermi, do đó năng lượng của cả hệ khác không (E 0)

Việc áp dụng thống kê Bose – Einstein vào hệ hạt có spin nguyên hay spin bằng không (ví dụ như các photon, các mezon, các nguyên tử trong đó các electron và nucleon là chẵn, …) được gọi là các hạt boson hay khí bose

Hình 1.1: Trạng thái ngưng tụ Bose-Einstein của các boson, trong trường hợp này là các nguyên tử Rubidi Hình vẽ là phân bố tốc độ chuyển động của các nguyên tử theo từng vị trí Màu đỏ chỉ nguyên tử chuyển động nhanh, màu xanh và trắng chỉ nguyên tử chuyển động chậm Bên trái là trước khi xuất hiện ngưng tụ Bose – Einstein Ở giữa là ngay sau khi ngưng tụ Bên phải là trạng thái ngưng tụ xuất hiện rõ hơn Ở trạng thái ngưng tụ, rất nhiều nguyên tử có cùng vận tốc và vị trí (cùng trạng thái lượng tử) nằm ở đỉnh màu trắng

(Ảnh: Wikipedia)

Ngưng tụ Bose – Einstein theo quan điểm vĩ mô là tập hợp các hạt có spin nguyên (các boson) trong trạng thái cơ bản tại nhiệt độ thấp và mật độ cao, đã được quan sát trong một vài hệ vật lý Bao gồm khí nguyên tử lạnh và

17

vật lý chất rắn chuẩn hạt Tuy nhiên, đối với khí bose là phổ biến nhất Bức xạ của vật đen (bức xạ trong trạng thái cân bằng nhiệt trong một hố thế) không diễn ra sự chuyển pha, bởi vì thế hóa của các photon bị triệt tiêu và khi nhiệt

độ giảm, các photon không xuất hiện trong hố thế Các nghiên cứu về mặt lý thuyết đã coi số photon bảo toàn trong các quá trình nhiệt, tiếp theo sử dụng tán xạ Compton cho khí điện tử, hoặc tán xạ photon – photon trong mô hình cộng hưởng phi tuyến để tìm điều kiện tạo thành ngưng tụ Bose – Einstein Trong một số thí nghiệm gần đây, người ta đã tiến hành nghiên cứu với khí photon hai chiều trong trạng thái lấp đầy của các vi hốc Ở đây, người ta đã

mô tả lại ngưng tụ Bose – Einstein cho các photon Dạng của vi hốc quyết định cả thế giam cầm và sự không ảnh hưởng bởi khối lượng các photon, làm cho hệ tương đương với một hệ khí hai chiều Khi tăng mật độ của photon, ta thấy dấu hiệu của ngưng tụ Bose – Einstein, năng lượng photon phân bố chủ yếu ở trạng thái cơ bản, chuyển pha xuất hiện phụ thuộc vào cả giá trị khả dĩ

và dạng hình học của hốc thế được dự đoán từ trước

1.4 Thực nghiệm về ngưng tụ Bose – Einstein

1.4.1 Ngưng tụ Bose – Einstein đầu tiên của nguyên tố erbium

Đội nghiên cứu của Francesca Ferlaino tại trường Đại học Innsbruck là nhóm đầu tiên tạo ra thành công một ngưng tụ của nguyên tố lạ erbium

Các chất khí lượng tử siêu lạnh có những tính chất đặc biệt mang lại một

hệ lí tưởng để nghiên cứu những hiện tượng vật lý cơ bản Với việc chọn erbium, đội nghiên cứu đứng đầu là Francesca Ferlaino thuộc Viện Vật lý thực nghiệm, Đại học Innsbruck, đã chọn một nguyên tố rất lạ, đó là vì những tính chất đặc biệt của nó mang lại những khả năng mới và hấp dẫn để nghiên

cứu những câu hỏi cơ bản trong lĩnh vực vật lý lượng tử

“Erbium tương đối nặng và có từ tính mạnh Những tính chất này dẫn tới một trạng thái lưỡng cực cực độ của các hệ lượng tử”, Ferlaino cho biết