Phương trình vi phân cấp một và ứng dụng trong vật lí

Nghiệm tổng quát general solutions của phương trình vi phân là hàm của biến , kí hiệu là , được xác định bằng các đặc điểm của phương trình vi phân.. Nghiệm tổng quát này thông thường c

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Người hướng dẫn khoa học: TS HÀ THANH HÙNG

LỜI CẢM ƠN

Để hoàn thành tốt đề tài này, trước tiên em xin bày tỏ lòng cảm ơn sâu sắc tới các thầy cô trong khoa Vật lý, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã động viên giúp đỡ em trong suốt quá trình thực hiện đề tài Đặc biệt, em xin trân thành cảm ơn thầy HÀ THANH HÙNG đã tạo điều kiện tốt nhất và chỉ bảo tận tình để em có thể hoàn thành tốt đề tài khóa luận này

Mặc dù đã cố gắng, xong do điều kiện về thời gian và kiến thức có hạn nên những vấn đề trình bày trong đề tài không tránh khỏi những thiếu sót Vì vậy, em rất mong nhận được nhưng ý kiến đóng góp của các thầy cô và các bạn trong khoa

Em xin chân thành cảm ơn !

Hà Nội, ngày 27 tháng 4 năm 2017

Sinh viên

Đoàn Thị Hiền

LỜI CAM ĐOAN

Khóa luận của em được hoàn thành dưới sự hướng dẫn tận tình của thầy HÀ THANH HÙNG cùng với sự cố gắng của bản thân em Trong quá trình nghiên cứu và thực hiện khóa luận em có tham khảo tài liệu của một số tác giả (đã nêu trong mục tài liệu tham khảo)

Em xin cam đoan những kết quả trong khóa luận là kết quả nghiên cứu của bản thân em không trùng với kết quả của tác giả khác Nếu sai em xin hoàn toàn chịu trách nhiệm

Hà Nội, ngày 27 tháng 4 năm 2017

Sinh viên

Đoàn Thị Hiền

MỤC LỤC

MỞ ĐẦU 1

1 Lí do chọn đề tài 1

2 Mục đích nghiên cứu 1

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu 2

4 Nhiệm vụ nghiên cứu 2

5 Phương pháp nghiên cứu 2

6 Cấu trúc khóa luận 2

NỘI DUNG 4

CHƯƠNG 1: PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP MỘT 4

1.1 Khái niệm về phương trình vi phân cấp một 4

1.2 Nghiệm tổng quát của phương trình vi phân cấp một 6

1.3 Các dạng phương trình vi phân cấp một thường gặp 8

1.3.1 Phương trình vi phân cấp một, bậc một 8

1.3.2 Phương trình vi phân cấp một, bậc cao 25

CHƯƠNG 2: ỨNG DỤNG CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP MỘT 33

2.1 Ứng dụng của phương trình phân li biến số 33

2.2 Ứng dụng của phương trình vi phân tuyến tính cấp một 34

2.3 Ứng dụng của phương trình Becnuly 37

2.4 Ứng dụng của phương trình vi phân cấp một, bậc cao 39

KẾT LUẬN 42

TÀI LIỆU THAM KHẢO 43

Sự phát triển của toán học tuy có những bước thăng trầm ở từng thời điểm lịch sử, song những kết quả mà nó đạt được rực rỡ nhất vào thế kỉ XX

do sự phát triển của ngành giải tích toán học Với sự ra đời của ngành giải tích hàm thì những bài toán trong thực tế cuộc sống, vật lý, khoa học, được giải quyết nhanh gọn chính xác

Ngành giải tích toán học nghiên cứu nhiều lĩnh vực như: các lớp hàm liên tục, khả vi, phương trình vi phân Mỗi lĩnh vực đều có tầm quan trọng riêng trong việc nghiên cứu và ứng dụng Trong đó, phương trình vi phân là một phần cơ bản của giải tích Có thể nghiên cứu từng phần để tìm thấy cái hay của môn học này vào trong thực tế cũng như trong các môn học khoa học khác Phương trình vi phân có nhiều ứng dụng như: giải toán dao động lò xo, con lắc đơn,

Chính vì thế em đã chọn đề tài: “ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP MỘT VÀ ỨNG DỤNG TRONG VẬT LÝ” để thực hiện khóa luận tốt nghiệp của mình

2 Mục đích nghiên cứu

Đề tài này nhằm nghiên cứu, trình bày một số ứng dụng của phương trình vi phân cấp một trong vật lý

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

- Đối tượng nghiên cứu: Ứng dụng của phương trình vi phân cấp một trong vật lý

- Phạm vi nghiên cứu: Phương trình vi phân cấp một và ứng dụng của phương trình vi phân cấp một trong vật lý

4 Nhiệm vụ nghiên cứu

- Nghiên cứu về các dạng của phương trình vi phân cấp một

- Sử dụng phương trình vi phân cấp một để xây dựng và giải thích một

số bài toán trong vật lý

5 Phương pháp nghiên cứu

- Phương pháp vật lý lý thuyết

6 Cấu trúc khóa luận

CHƯƠNG 1 : PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP MỘT

1.1 Khái niệm của phương trình vi phân cấp một

1.2 Nghiệm tổng quát của phương trình vi phân cấp một

1.3 Các dạng phương trình vi phân cấp một thường gặp

1.3.1 Phương trình vi phân cấp một, bậc một

1.3.1.1 Phương trình phân li biến số

1.3.1.2 Phương trình vi phân toàn phần

1.3.1.3 Phương trình vi phân tuyến tính

1.3.1.4 Phương trình vi phân thuần nhất

1.3.1.5 Phương trình đẳng cấp

1.3.1.6 Phương trình Becnuly

1.3.1.7 Phương trình Miscelaneous

1.3.2 Phương trình vi phân cấp một, bậc cao

1.3.2.1 Phương trình có thể giải ra nghiệm

1.3.2.2 Phương trình có thể giải ra nghiệm

1.3.2.3 Phương trình có thể giải ra nghiệm

1.3.2.4 Phương trình Clairaut’s

CHƯƠNG 2 : ỨNG DỤNG CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP MỘT

2.1 Ứng dụng của phương trình phân li biến số

2.2 Ứng dụng của phương trình vi phân tuyến tính cấp một

2.3 Ứng dụng của phương trình Becnuly

2.4 Ứng dụng của phương trình vi phân cấp một, bậc cao

NỘI DUNG CHƯƠNG 1 : PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP MỘT

1.1 Khái niệm về phương trình vi phân cấp một

Trong phần này, chúng ta tìm hiểu để chính xác hóa các khái niệm cơ bản của phương trình vi phân Phương trình vi phân là thuật ngữ dùng để chỉ các phương trình có chứa đạo hàm Trong toán học, đạo hàm của các hàm nhiều biến nói chung thường tồn tại ở hai dạng là đạo hàm toàn phần và đạo hàm riêng phần Do vậy, chúng ta dùng thuật ngữ phương trình vi phân thông thường ( ordinary differential equations ( ODEs )) để chỉ các phương trình vi phân không chứa đạo hàm riêng phần Ở dạng đơn giản nhất các phương trình

vi phân thông thường mô tả mối quan hệ giữa một biến phụ thuộc, thường gọi

là , và một biến độc lập, thường gọi là Nghiệm của phương trình vi phân được tìm dưới dạng là một hàm của biến độc lập , thường kí hiệu là ( ) Phương trình vi phân được phân loại thành các dạng khác nhau, dựa vào các đặc tính chung của nó Một đặc điểm quan trọng thường được sử dụng để phân loại các phương trình vi phân là cấp ( order ) của phương trình vi phân Cấp của một phương trình vi phân là cấp cao nhất của đạo hàm trong đó có phương trình vi phân ấy Do đó nếu một phương trình vi phân thông thường ( ODEs ) chỉ chứa

mà không có đạo hàm cấp cao hơn được gọi là phương trình vi phân cấp một Theo đó, nếu một phương trình vi phân thông thường ( ODEs ) chứa đạo hàm cấp cao nhất là

được gọi là phương trình vi phân cấp hai

Một đặc điểm khác cũng thường được sử dụng để phân loại phương trình

vi phân là bậc ( dergee ) của phương trình vi phân Bậc của một phương trình

vi phân là mũ của đạo hàm cao nhất có trong phương trình vi phân Khi xác

định bậc của một phương trình vi phân phải chú ý là viết phương trình vi phân

ấy dưới dạng hợp lý, tức là số mũ của các đạo hàm phải là số nguyên

Theo đó, giả sử ta có phương trình vi phân:

(

) Đây là phương trình vi phân cấp ba và bậc hai, bởi vì khi viết dưới dạng hợp lý hóa, phương trình trên chứa số (

) Nghiệm tổng quát (general solutions) của phương trình vi phân là hàm của biến , kí hiệu là ( ), được xác định bằng các đặc điểm của phương trình vi phân Nghiệm tổng quát này thông thường chứa các hằng số tích phân, các hằng số tích phân sẽ được xác định khi chúng ta áp dụng các điều kiện biên cho phương trình vi phân ban đầu Chẳng hạn với phương trình vi phân cấp một, chúng ta luôn có thể xác định được hằng số tích phân khi chọn khi Việc này sẽ khó khăn hơn nếu ta thực hiện với phương trình

vi phân cấp , biểu thức nghiệm sẽ chứa hằng số tích phân và để xác định các hằng số tích phân này cần phải điều kiện biên Khi các hằng số tích phân được xác định chính xác từ các điều kiện biên và thay vào công thức nghiệm tổng quát, tương ứng chúng ta sẽ có nghiệm cụ thể ( particular solution ) của phương trình vi phân Một số phương trình vi phân bậc hai trở lên còn có các nghiệm kỳ dị ( singular solutions ), các nghiệm này có dạng khác với nghiệm tổng quát và thường được tìm ra dựa trên các đặc điểm của từng phương trình vi phân

Phương trình vi phân cấp một có dạng tổng quát

( ) trong đó hàm được xác định trong miền

hoặc từ (1) ta giải ra được

(1)

( ) hay

( )

Ta được phương trình vi phân cấp một đã giải ra đạo hàm

Ta cũng có thể viết phương trình vi phân cấp một đã giải ra đạo hàm dưới dạng:

( ) ( )

1.2 Nghiệm tổng quát của phương trình vi phân cấp một

Nghiệm tổng quát của phương trình vi phân thông thường (ODEs) được đưa ra dưới dạng:

( ) Trong đó, mỗi bộ số ̅̅̅̅̅ cho ta một nghiệm riêng của phương trình vi phân

Việc biết trước nghiệm tổng quát rất quan trọng giúp chúng ta hiểu rõ hơn bản chất của các phương trình vi phân Chẳng hạn, chúng ta có nghiệm tổng quát của một phương trình vi phân:

Do đó, nghiệm tổng quát trên là của phương trình vi phân cấp 2

Một cách trực quan, nghiệm của phương trình vi phân cấp n sẽ chứa n tham số độc lập Để tìm nghiệm chính xác của phương trình vi phân cấp n, chúng ta cần n phương trình mô tả mối liên hệ giữa đạo hàm các cấp của hàm cần tìm với biến số độc lập x Điều này liên quan đến các ảnh

hưởng bên ngoài tác động lên hệ mà chúng ta xét, hay nói cách khác là các điều kiện biên

Phương trình vi phân cấp n sẽ có nghiệm cụ thể nếu chúng ta có n điều kiện biên Các điều kiện biên này có nhiều các xác định khác nhau: i) Xác định giá trị của y tại n giá trị khác nhau của x, ii) xác định giá trị của y cùng với giá trị của (n-1) đạo hàm trong số n đạo hàm (

 Có nghiệm đúng phương trình vi phân với mọi giá trị cụ thể của hằng

số C

 Với bất kỳ điều kiện ban đầu nào ( khi , tức ( ) ), ta cũng có thể tìm được giá trị sao cho hàm số ( ) thỏa mãn điều kiện ban đầu cho trước ấy Ở đây ta phải giả thiết rằng các giá trị

và thuộc về miền biến thiên của các biến và , trong đó điều kiện của định lý tồn tại duy nhất của nghiệm được thỏa mãn

Nghiệm của phương trình vi phân cấp một xác định đơn giản hơn, bởi

vì chỉ cần một điều kiện biên

( ) ( ) Trong đó ( ) ( ) ( ) là các hàm của cả hai biến x và y Hai dạng trên của phương trình được coi là tương đương nếu ta đặt ( )

( )

( ) Với các cách viết này, các phương trình vi phân cấp một, bậc một được dùng để mô tả rất tốt các hệ vật lý, đồng thời cũng giúp cho việc tìm nghiệm thuận lợi và dễ dàng hơn Sau đây chúng ta sẽ nghiên cứu một số

Cách giải

Giả sử ( ) , ta có thể viết lại (1.1) dưới dạng:

( ) ( ) Lấy tích phân 2 vế của phương trình ta được:

(1.1)

(1.2)

∫ ( ) ∫ ( )

Từ đó,chúng ta có thể tìm được sự phụ thuộc của hàm y theo biến số x

Ví dụ

Giải phương trình :

Vế phải của phương trình (1.3) có thể tách thành ( ), ta có thể viết lại dưới dạng

Lấy tích phân 2 vế phương trình (1.4) ta được:

∫ ∫ tức là

( ) hay

những hàm số liên tục, khả vi, thỏa mãn hệ thức :

(1.3)

(1.4)

(2.1)

trong đó

( )

và do đó tích phân tổng quát của nó là

( ) giả sử rằng vế trái của (2.1) là vi phân toàn phần của một hàm số ( ) nào

đó, tức là

( ) ( )

khi đó

( )

( ) Lấy vi phân hệ thức thứ nhất theo , hệ thức thứ hai theo , ta đƣợc

Giả sử các đạo hàm hạng hai liên tục thì ta có:

nghĩa là đẳng thức (2.2) là điều kiện cần để cho vế trái của (2.1) là vi phân toàn phần của một hàm số ( )

(2.2)

(2.3)

Chứng minh rằng đẳng thức (2.2) là điều kiện đủ để cho vế trái của (2.1) là vi phân toàn phần của một hàm số ( ), nghĩa là nếu đẳng thức (2.2) đƣợc thỏa mãn thì vế trái của (2.1) là vi phân toàn phần của một hàm số ( )nào đó

Từ hệ thức

( )

ta có ∫ ( ) ( )

trong đó , là hoành độ của một điểm tùy ý trong miền tồn tại của nghiệm Khi lấy tích phân theo , ta xem là hằng số và vì vậy hằng số tích phân tùy ý có thể phụ thuộc Ta chọn hàm số ( ) sao cho hệ thức thứ hai trong (2.3) đƣợc thỏa mãn Muốn vậy, ta lấy vi phân hai vế của đẳng thức sau cùng này theo và kết quả có đƣợc bằng ( ):

∫

( ) ( )

Vì nên ta có thể viết: ∫ ( )

tức là | ( ) ( );

hay ( ) ( ) ( ) ( )

do đó ( ) ( )

hay

( ) ∫ ( ) Như vậy, hàm số ( )sẽ có dạng

∫ ( ) ∫ ( )

Ví dụ

Giải phương trình

Đặt

khi đó

cho nên

∫ ( ) ( ) trong đó ( ) là một hàm số của chưa được xác định

Lấy vi phân hệ thức trên theo và chú ý rằng

ta được

( )

do đó

( ) ( ) ( ) Tích phân tổng quát của phương trình đã cho là

Hằng số tích phân sẽ được xác định cụ thể khi chúng ta có điều kiện biên

1.3.1.3 Phương trình vi phân tuyến tính

Định nghĩa

Phương trình vi phân tuyến tính cấp một là phương trình có dạng:

( ) ( ) trong đó ( ) và ( ) là những hàm số liên tục của ( hoặc là hằng số )

Cách giải

Tìm nghiệm của phương trình (3.1) dưới dạng tích của hai hàm số của

( ) ( ) (3.2) Một trong hai hàm số này có thể lấy tùy ý, hàm số kia sẽ được xác định dựa trên phương trình (3.1)

Lấy vi phân hai vế của (3.2), ta có

Thay vào (3.1) ta có

(3.1)

hay

( )

Ta chọn hàm số sao cho

Phân li biến số trong phương trình vi phân (3.4) với hàm số , ta được

Lấy tích phân

∫ hay ∫

Vì ta chỉ cần tìm một nghiệm nào đó khác không của phương trình (3.4), nên

ta lấy hàm số ( ) bằng :

( ) ∫ trong đó ∫ là một nguyên hàm tùy ý

Vì ( ) và

, từ (3.3) ta được

( ) ( ) hay

( ) ( )

do đó

∫ ( )

( ) Thay vào (3.2) cuối cùng ta được

(3.3)

(3.4)

( ) *∫ ( )

( ) + hay

khi đó

Thay (3.6) vào phương trình (3.5) ta được

( ) (

)

( )

Ta có phương trình để xác định :

tức là

do đó

( ) ( )Thay biểu thức của vào (3.7), ta có phương trình xác định của u :

( )

Như vậy, tích phân tổng quát của phương trình đã cho có dạng

( )

( )

Họ có được là nghiệm tổng quát Với bất kì điều kiện ban đầu ( ) nào cho trước, trong đó , bao giờ ta cũng có thể chọn sao cho nghiệm riêng tương ứng thỏa mãn điều kiện ban đầu ấy Thí dụ, nghiệm riêng thỏa mãn điều kiện khi , có thể tìm được như sau

( )

( ) Nghiệm riêng phải tìm là:

( ) trong đó ( ) liên tục và là hàm thuần nhất bậc không

Cách giải

Theo giả thiết ( ) ( )

(4.1)

Đặt

Ta được

( ) ( ) Khi đó phương trình (4.1) có dạng

( ) Đặt , ta có

Do đó

( ) Đây là phương trình vi phân với biến số phân li được

( ) hay

( )

Lấy tích phân

( ) ∫

Ví dụ

Giải phương trình

Đặt , khi đó

(4.2)

Nên

Phân li biến số, ta được

( )

Lấy tích phân

| | | | | | hay

| | với là hằng số bất kì và nó có thể được xác định cụ thể khi chúng ta có điều kiện biên

( ) ( )

ở đây phương trình thống nhất theo số chiều nếu và được cho bởi trọng

số , còn và được quy ước trọng số là 1 Bằng cách quy ước như vậy, thì nếu thế ta được phương trình phân li

(5.1)

Cách giải

Đưa phương trình (5.1) về dạng ( ) ( )

Cho và có trọng số , và có trọng số 1, viết ra tổng các lũy thừa trong các số hạng Sau đó, nếu tìm được giá trị của m để các tổng này bằng nhau, thế vào phương trình ban đầu ta được phương trình phân li Lấy tích phân phương trình phân li và thay bởi ta được nghiệm

Ví dụ

Giải phương trình

( ) Phương trình trên được viết lại là

( ) Cho và có trọng số , và có trọng số 1, tổng các lũy thừa trong mỗi số hạng của vế trái lần lượt là , 0 và Chúng bằng nhau nếu tức là .Thế , với kết quả là

ta được

Phương trình này là phương trình phân li và lấy tích phân ta được

Thay √ ta được nghiệm