Buổi 6 HƯỚNG DẪN GIẢI TOÁN VỀ DÃY SỐKIẾN THỨC: - Lập công thức truy hồi của dãy số cho bới công thức tổng quát.. - Áp dụng giải một số dạng khác.. Tính tích của 10 số hạng đầu của dãy..
Trang 1Buổi 6 HƯỚNG DẪN GIẢI TOÁN VỀ DÃY SỐ
KIẾN THỨC:
- Lập công thức truy hồi của dãy số cho bới công thức tổng quát
- Áp dụng giải một số dạng khác
NỘI DUNG.
I TÍNH SỐ HẠNG THỨ N CỦA DÃY SỐ:
1) Dãy số cho bởi công thức số hạng tổng quát: un = f(n), n ∈ N * trong đó f(n) là biểu thức của n cho trước.
Ví dụ 1 Cho dãy n
2n 1 U
2n 1
+
=
− a) Viết 6 số hạng đầu của dãy b) Tìm xem 1 2
17 là số hạng thức mấy
Giải.
PP1: Nhập công thức (FX 570MS)
b / c
a) ấn tiếp
b / c
2
3
=
b / c
2
5
=
b / c
7
=
b / c
9
=
b / c
11
=
Vậy 1 2
17 là số hang thứ 9
Cách 2 (Tất cả các máy) Khai báo A = 0, B = 0; A ← A + 1; B ← (2A+1)/(2A-1)
b/c
a) ấn liên tiếp r = ta được U0, , U6
b) ấn liên tiếp r = ta thấy A = 9 thì B = 1 2
17 vậy 1 2
17 là số hạng thứ 9
Cách 3 (Sử dụng hàm Calc 570MS, 570ES).
b/c
a) CALC 0 = ấn liên tiếp = = lần ta được U0, , U6
b) ấn liên tiếp = = ab / c ta thấy A = 9 thì B = 1 2
17 vậy 1 2
17 là số hạng thứ 9
Trang 2Ví dụ 2 Cho dãy Un 2n n1
2
−
= a) Tính U , U , U2 4 8 của dãy b) Tìm xem 2047
2048 là số hạng thức mấy
Giải
b / c
a) ấn tiếp
b / c
4
=
b / c
16
=
b / c
255 U
256
=
Vậy 2047
2048 là số hạng thứ 11
Ví dụ 3: Tính 10 số hạng đầu của dãy số (un) cho bởi:
u
5
Giải:
- Ta lập quy trình tính un như sau:
- Sử dụng Calc tính CALC 1 = và lặt lại cho đến 10
Ta được kết quả: u1 = 1, u2 = 1, u3 = 2, u4 = 3, u5 = 5, u6 = 8, u7 = 13, u8 = 21,
u9 = 34, u10 = 55
2) Dãy số cho bởi hệ thức truy hồi dạng: 1
n+1 n
u = a
u = f(u ) ; n N*∈
trong đó f(un) là biểu thức của un cho
trước
Ví dụ 1: Tìm 20 số hạng đầu của dãy số (un) cho bởi:
1
n
n 1
n
+
=
+
Giải:
Cách 1.- Lập quy trình bấm phím tính các số hạng của dãy số như sau:
1 = (u1)
( ANS + 2 ) ÷ ( ANS + 1 ) = (u2)
= =
- Ta được các giá trị gần đúng với 9 chữ số thập phân sau dấu phảy:
u1 = 1 u8 = 1,414215686
u2 = 1,5 u9 = 1,414213198
u3 = 1,4 u10 = 1,414213625
u4 = 1,416666667 u11 = 1,414213552
u5 = 1,413793103 u12 = 1,414213564
Trang 3u6 = 1,414285714 u13 = 1,414213562
u7 = 1,414201183 u14 = = u20 = 1,414213562
Cách 2 (570MS, ES)
b/c
Lặp lại = liên tục
Ví dụ 2: Cho dãy số được xác định bởi:
( )3
3 1
3 n
n 1
=
Tìm số tự nhiên n nhỏ nhất để un là số nguyên
Giải:
- Lập quy trình bấm phím tính các số hạng của dãy số như sau:
SHIFT 3 3 = (u1)
= = (u4 = 3)
Vậy n = 4 là số tự nhiên nhỏ nhất để u4 = 3 là số nguyên
Ví dụ 3 Cho dãy 1
n 1 n
=
Tính U U , U , U1, 2 3 4 và S4 =U1+U2+U3+U ; P4 4 =U U U U1 2 3 4
Giải
Cách 1 (FX 570MS, Vn 570MS)
Khai báo A =1, B =3, C = 0 (tổng), D = 1 (tích)
A = A+1; B = 2A; C = C+B; D = D.B
=
ấn liên tiếp phím = như sau
A
B
2 C
2 D
2
=
=
=
=
Vậy ta có S4 = 45, P4 = 5184
Cách 2 (FX 570MS, Vn 570MS)
Khai báo A = 2A; C = C+A; D = D.A (A giá trị U, C: tổng, D : tích)
CALC (Máy hỏi A?) 3 = = (Kết quả A = U2 = 6)
Trang 4(Máy hỏi C? C = C + A = 3) 3 = = (Kết quả C = S = 6)
(Máy hỏi D? D = DA = 3) 3 = = (Kết quả D = P = 18)
Lặp lại = = =
Ví dụ 4: Cho dãy số 3n
1 n 1
1
+
a) Lập trình ấn phím tính Un 1+
b) Tính U , U , U30 31 32
Giải.
n 1
U
b / c
b / c 3 b / c
=
+
ấn = liên tục ta tính được Un+1
b) ấn = liên tục 10 lần ta thấy trên màn hình có giá trị 0.347296355 ấn tiếp = không thay đổi Vậy
30 31 32
U =U =U = 0.347296355
3) Dãy số cho bởi hệ thức truy hồi dạng: 1 2
u = a, u b
u = A u + Bu + C ; n N*
=
Ví dụ 1: Cho dãy số được xác định bởi: 1 2
n
u = 1, u 2
u = 3u + 4u + 5 ; n N*
=
∈ Hãy lập quy trình tính un
Cách 1 Tính trên các máy
Lặp lại ∆ = ta được dãy: 15, 58, 239, 954, 3823, 15290, 61167, 244666, 978671
Cách 2 (FX 570MS, Vn 570MS)
1 SHIFT STO A 2 SHIFT STO B
3 + 4 ALPHA A + 5 SHIFT STO A
3 + 4 ALPHA B + 5 SHIFT STO B
SHIFT COPY
∆
Lặp lại = =
Cách 3 (FX 570MS, Vn 570MS)
1 SHIFT STO A 2 SHIFT STO B
Lặp lại = =
Cách 4 (FX 570MS, Vn 570MS)
Trang 5ALPHA A ALPHA = 3 ALPHA B + 4 ALPHA A + 5 ALPHA :
CALC (Máy hỏi B?) 2 = (Máy hỏi A?) 1 =
Lặp lại = = =
Ví dụ 2: Cho dãy số Un xác định bởi: U1=U2=1, Un+2= Un+1+ 2Un Tính tích của 10 số hạng đầu của dãy Thuật toán: Nhập biểu thức sau vào màn hình máy tính ( fx570MS, fx570ES):
CALC máy hỏi: B? Bấm 1 = A? Bấm 1 = C? Bấm 1 =
Lặp lại = = =
Trong đó X là số hạng thứ A, B là các giá trị của dãy số; D là tích của các số hạng
Ví dụ 3 Cho dãy 1 2
n n 2 n 1
Viết 7 số hạng đầu và tính tổng S7,P7 của 7 số hạng đó
HD: Nhập các biểu thức A = 3A – 2B:C=C+A:D=DA:B=3B-2A:C=C+B:D=DB
CALC máy hỏi: A? Bấm 3 = B? Bấm 2 = C? Bấm 5 = D? Bấm 6 =
Lặp lại = = =
Ví dụ 4 Cho U1 = -3, U2 = 7, Un+1 = Un + Un-1
a) Lập tình tính Un+1 theo Un, Un-1
b) Tính U3,U4, U7
c) Tính chính xác đến 5 chữ số và điền vào bảng sau:
2
1
U
U
3
2
U
U
4 3
U U
5 4
U U
6 5
U U
7 6
U U
Giải.Tính trên FX570MS
a)
( ) 3 SHIFT STO A 7 SHIFT STO B
−
Lặp lại = = =
Trang 6ALPHA C ALPHA = ALPHA B ÷ ALPHA A ALPHA :
Lặp lại = = =
4) Dãy số cho bởi hệ thức truy hồi với hệ số biến thiên dạng:
1 n+1
u = a
u = f n u , n ; n N*
Ví dụ 1 : Cho dãy số được xác định bởi:
1
n n+1
u = 0
n
u = u +1 ; n N*
n+1
Hãy lập quy trình tính un
Cách 1
Lặp lại ∆ =
Cách 2 (570 MS)
Lặp lại = =
ta được dãy: 1, 1, 3, 2, 5, 3, 7,
Cách 3 (Fx 570 MS, Vn 570MS)
CALC máy hỏi: M? Bấm 1 = A? Bấm 0 =
Lặp lại = = =
Ví dụ 2: Cho dãy số Un xác định bởi: U1=1, Un+1=5Un-2n Tính U20 và tổng của 20 số hạng đầu tiên Thuật toán: Nhập biểu thức sau vào màn hình máy tính (fx 570MS, fx 570ES):
A=5A-2X:
C= C+A:
X=X+1
Bấm CALC máy hỏi:
A? Bấm 1=
X? Bấm 1=
C? Bấm 1=
Lặp lại ===
= = =
Trang 7Ví dụ 3(TTT số 36) Cho dãy xác định bởi U1 =1, U2 =3, Un =3Un 1− khi n chẳn và Un =4Un 1− +2Un 2−
khi n lẻ
a) Lập trình ấn phím liên tục tính Un
b) Tính U , U , U , U , U10 11 12 14 15
Cách 1
3 4 5
Lặp lại dãy phím trên bằng cách ấn =
Cách 2 (Fx 570 MS, Vn 570MS).
1 SHIFT STO A 3 SHIFT STO B
3 ALPHA A SHIFT STO B
1 SHIFT STO A 3 SHIFT STO B
3 SHIFT STO B
×
ấn = liên tục ta có : U10 =115248; U11=537824; U12=1613472; U14=22588608; U15 =105413804
Cách 3 Tính trên FX570MS, ES
=
CALC Máy hỏi: B? bấm 3 = A? bấm 1 =
ấn = liên tục ta có : U10 =115248; U11=537824; U12=1613472; U14=22588608; U15 =105413804
II TÌM SỐ HẠNG TỔNG QUÁT CỦA DÃY SỐ.
1 Phương pháp quy nạp:
- Lập quy trình trên MTBT để tính một số số hạng của dãy số
- Tìm quy luật cho dãy số, dự đoán công thức số hạng tổng quát
- Chứng minh công thức tìm được bằng quy nạp
Ví dụ 1: Tìm a2004 biết:
1
n
n 1
n(n 1) (n 2)(n 3)
a 0
=
Giải:
- Trước hết ta tính một số số hạng đầu của dãy (an), quy trình sau:
- Ta được dãy: 1, 7 , 27 11 13 9, , , ,
6 20 50 15 14 8
- Từ đó phân tích các số hạng để tìm quy luật cho dãy trên:
a1 = 0; a2 = 1 5 1.5
20= 40 =4.10; a4 = 27 3.9
50=5.10
Trang 8
⇒ dự đoán công thức số hạng tổng quát: n
(n 1)(2n 1) a
10(n 1)
=
+
* Chứng minh n 1
n(2n 3) a
10(n 2)
+
+
=
+
+
Vậy n 1
n(2n 3)
a
10(n 2)
+
+
=
+
⇒ 2004
2003.4009
a
20050
=
n
n 2 n 1
a 1, a 3
a + 2a + a 1; n N
= − + ∈ Chứng minh rằng số A = 4an.an+2 + 1 là số chính phương
Giải: - Tính một số số hạng đầu của dãy (an) bằng quy trình:
∆
= =
- Ta được dãy: 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55,
- Tìm quy luật cho dãy số:
1
1(1 1)
a 1
2
+
= = ; 2
2(2 1)
a 3
2
+
= = ; 3
3(3 1)
a 6
2
+
= = ; 4
4(4 1)
a 10
2
+
= = ; 5
5(5 1)
a 15
2
+
= =
Dự đoán công thức số hạng tổng quát: n
n(n 1) a
2
+
=
* Chứng minh n 2
(n 2)(n 3) a
2
Ta có n 2 n 1 n (n 1)(n 2) n(n 1) 1 2n2 6n 4 n2 n 2 n2 5n 6
a + =2a + − + =a 1 2 + + − + + = + + − − + = + +
n 2
(n 2)(n 3)
a
2
- Từ đó: A = 4an.an+2 + 1 = n(n + 1)(n + 2)(n + 3) +1 = (n2 + 3n + 1)2
⇒ A là một số chính phương
Cách giải khác: Từ kết quả tìm được một số số hạng đầu của dãy,ta thấy:
- Với n = 1 thì A = 4a1.a3 + 1 = 4.1.6 + 1 = 25 = (2a2 - 1)2
- Với n = 2 thì A = 4a2.a4 + 1 = 4.3.10 + 1 = 121 = (2a3 - 1)2
- Với n = 3 thì A = 4a3.a5 + 1 = 4.6.15 + 1 = 361 = (2a4 - 1)2
Từ đó ta chứng minh A = 4an.an+2 + 1 = (2an+1 - 1)2 (*)
2 Phương pháp phương trình đặc trưng:
Ví dụ Cho dãy Un 2+ = Un 1+ + Un,U0 = U1 = 1 Tìm số hạng tổng quát của dãy số
B1 Lập phương trình đặc trưng, Giải phương trình, tìm nghiệm đặc trưng
Trang 9+ Lập phương trình: Thay u bởi x, n bởi 0, chuyển chỉ số thành số mũ
n 2 n 1 n n 2 n 1 n 0 2 0 1 0
U + = U + + U ⇒ x + = x + + x ⇒ x + = x + + x ⇒ x = + x x ⇒ x − − = x 1 0 + Giải phương trình: x1 1 5; x2 1 5
+ Nghiệm tổng quát phương trình đặc trưng: n n n
n 1 1 2 2 k k
x = c x + c x + + c x (x , x , , x1 2 k là nghiệm pt đặc trưng)
B2 Tìm số hạng tổng quát: Thay x bởi u, giải tìm c
0
1
1
5 1
2 5
+ =
=
n
U
Trang 10BÀI TẬP GIẢI TOÁN TRÊN MÁY TÍNH CẦM TAY (01-11-2013)
2 3
n = 1; 2; 3 …
a) Tính 8 số hạng đầu tiên của dãy số này b.Lập công thức truy hồi để tính un+2 theo un+1 và un
b) Lập một quy trình tính un trên máy casio c Tìm tất cả các số tự nhiên n để un chia hết cho 3
Bài 2 Cho dãy số bởi công thức : ( ) (n )n
n
13+ 3 - 13- 3
U =
2 3 với n = 1, 2, 3, ……, k, …
a Tính U1, U2,U3,U4,U5,U6,U7,U8 b Lập công thức truy hồi tính Un+1theo Un và Un-1
c Lập quy trình ấn phím liên tục tính Un+1theo Un và Un-1
Bài 3 Cho dãy số với số hạng tổng quát được cho bởi công thức: ( ) (n )n
n
13+ 3 - 13- 3
U =
2 3
a Tính U1; U2; U3; U4 b Chứng minh rằng : n 1 n 1
n
U
26
=
c Lập quy trình bấm phím tính Un+1 Tính U8 - U5
Bài 4: Cho dãy số a1 = 3; an + 1 =
3
3 n
1 a
+
a Lập quy trình bấm phím tính an + 1 b Tính an với n = 2, 3, 4, , 10
Bài 5: Cho dãy số x1 = 1
3
n n
x
a) Hãy lập quy trình bấm phím tính xn + 1 Tính x30 ; x31 ; x32
Bài 6: Cho dãy số 1
4 1
n n
n
x x
x
+
+
= + (n ≥ 1) a) Lập quy trình bấm phím tính xn + 1 với x1 = 1 và tính x100
b) Lập quy trình bấm phím tính xn + 1 với x1 = -2 và tính x100
Bài 7: Cho dãy số
2
1
n n
n
x x
x
+
+
= + (n ≥ 1) a) Cho x1 = 0,25 Viết quy trình ấn phím liên tục để tính các giá trị của xn + 1 Tính x100
Bài 8: Cho dãy số x1 =0,5, + +
+
2
* n
n 1 2
n
- Viết quy trình bấm phím liên tục tính xn+1 theo xn - Tính x5; x10
Bài 9: Cho dãy số x10 =1, +
+
+
+
2
*
n 1
n 1
x 1 Hãy tính x1 ; x5
Bài 10 Dãy số {xn} xác định như sau: x0 = 3, n 1 n
n
x
+
−
= + , n = 1;2;3;…
a Lập qui trình ấn phím để tính xn và tính x3 ; x6 ; x9 ; x12 b Tính x2009
Bài 11 Cho dãy xác định bởi U1 =1, U2 =3, Un =3Un 1− khi n chẳn và Un =4Un 1− +2Un 2− khi n lẻ.
a) Lập trình ấn phím liên tục tính Un b) Tính U , U , U , U , U10 11 12 14 15
Bài 12 Dãy số {un} xác định như sau: u1 = 1 ; u2 = 2
n
u
+
ví i n lÎ
ví i n ch¼n
a Lập qui trình tính un b Tính u5; u10; u15; u20