HƯỚNG DẪN GIẢI TOÁN VỀ ĐA THỨCKIẾN THỨC: - Tính giá trị biểu thức - Tìm thương và dư trong phép chia đa thức cho ax + b NỘI DUNG... - Trước tiên thực hiện phép chia Px=q1xx-c+r0 theo sơ
Trang 1Buổi 5 HƯỚNG DẪN GIẢI TOÁN VỀ ĐA THỨC
KIẾN THỨC:
- Tính giá trị biểu thức
- Tìm thương và dư trong phép chia đa thức cho ax + b
NỘI DUNG.
4 Tìm điều kiện tham số củaP x( ) thỏa mãn một điều kiện nào đó:
Ví dụ 1: Cho đa thức P(x) = x3 + ax2 + bx + c
a) Tìm a, b, c biết rằng khi x lần lượt nhận các giá trị 1,2 ; 2,5 ; 3,7 thì P(x) có giá trị tương ứng là 1994,728 ; 2060,625 ; 2173,653
b) Tìm số dư r của phép chia đa thức P(x) cho 12x – 1
c) Tìm giá trị của x khi P(x) có giá trị là 1989
Giải:
a) Thay lần lượt các giá trị x = 1,2 ; x =2,5 ; x=3,7 vào đa thức P(x) = x3+ax2+ c
ta được hệ
= + +
= + +
= + +
2123 7
, 3 69 , 13
2045 5
, 2 25 , 6
1993 2
, 1 44 , 1
c b a
c b a
c b a
Giải hệ phương trình ta được a =10 ; b =3 ; c = 1975
b) Số dư của phép chia P(x) =x3+10x2+3x+1975 cho 2x+5 chính là giá trị P(-2,5) của đa thức P(x) tại x=-2,5 ĐS ; 2014,375
c) Giải phương trình P(x) =x3+10x2+3x+1975= 1989 hay x3+10x2+3x-14 =0
x=1 ; x= - 9,531128874 ; x= -1,468871126
Ví dụ 2: Cho P(x) = x3 + ax2 + bx - 1
1) Xác định số hữu tỉ a và b để x =
5 7
5 7 +
− là nghiệm của P(x);
2) Với giá trị a, b tìm được hãy tìm các nghiệm còn lại của P(x)
Giải: x = 6- 35⇒ b = x ax
x− 2 −
1
=6+ 35-(6- 35)2 - a(6- 35) (a+13) = b+6a+65 = 0 ⇒ a = -13 ; b =13 ⇒ P(x) =x3-13x2+13x-1
(x-1)(x2-12x+1) = 0 ⇒ x = 1 ; x ≈ 0,08392 và x ≈ 11,916
Ví dụ 3: Xác định các hệ số a, b, c của đa thức P(x) = ax3 + bx2 + cx – 2007 để sao cho P(x) chia hết cho (x – 13) có số dư là 2 và chia cho (x – 14) có số dư là 3
Hướng dẫn:
Ta có : P(x) = Q(x)(x – a) + r ⇒ P(a) = r
Vậy P(13) = a.133 + b.132 + c.13 – 2007 = 1
P(3) = a.33 + b.32 + c.3 – 2007 = 2
P(14) = a.143 + b.142 + c.14 – 2007 = 3
Tính trên máy và rút gọn ta được hệ ba phương trình :
2197 169 13 2008
27 9 3 2009
2744 196 14 2010
Tính trên máy được : a = 3,693672994 ≈ 3,69
b = –110,6192807 ≈ –110,62
c = 968,2814519 ≈ 968,28
Trang 25 Phân tích đa thức theo bậc của đơn thức
Áp dụng n-1 lần dạng toán 2 ta có thể phân tích đa thức P(x) bậc n theo x-c: P(x)=r0+r1(x-c)+r2 (x-c)2+…+rn(x-c)n
Ví dụ 1 Phân tích x4 – 3x3 + x – 2 theo bậc của x – 3
- Trước tiên thực hiện phép chia P(x)=q1(x)(x-c)+r0 theo sơ đồ Horner để được q1(x) và r0 Sau đó lại tiếp tục tìm các qk(x) và rk-1 ta được bảng sau:
1 -3 0 1 -2 x4-3x2+x-2
3 1 0 0 1 1 q1(x)=x3+1, r0 = 1
3 1 3 9 28 q2(x)=x3+3x+1,r1=28
3 1 6 27 q3(x)=x+6, r0 = 27
3 1 9 q4(x)=1=a0, r0 = 9 Vậy x4 – 3x3 + x – 2 = 1 + 28(x-3) + 27(x-3)2 + 9(x-3)3 + (x-3)4
6 Phân tích đa thức thành nhân tử
Ví dụ: Phân tích đa thức P(x) a - 6a + 27a - 54a +32 = 4 3 2 thành thừa số
Alpha A ^ 4 − 6 Alpha A Shift x − 6 Alpha A Shift x
2
27 Alpha A x 54 Alpha A 32 Alpha 0
Shift Slove 1 = Shift Slove ⇒ A 1 =
Mode Mode Mode 1 w 3
1 = − 5 = 22 = − 32 = = = ⇒ = x 2
2 P(x) (x 1)(x 2)(x - 3x + 16) = − −
7 Tính giá trị của đa thức khi biết một số giá trị khác của đa thức
Ví dụ 1: Cho đa thức f(x) bậc 3 biết rằng khi chia f(x) cho (x - 1), (x - 2),(x - 3) đều được dư là 6
và f(-1) = -18 Tính f(2005) = ?
Giải:
- Đặt f(x) = ax3 + bx2 + cx + d
- Từ giả thiết, ta có: f(1) = f(2) = f(3) = 6 và có f(-1) = -18
Ta có hệ phương trình:
a b c d 6 8a 4b 2c d 6 27a 9b 3c d 6
+ + + = + + + = + + + =
− + + = −
- Giải hệ tìm được a = 1, b = -6, c = 11, d = 0 Ta có f(x) = x3 - 6x2 + 11x
Từ đó tính được f(2005) =
Ví dụ 2 Cho đa thức P(x) = x5 + ax4 + bx3 + cx2 + dx + e
Biết P(1) = 1; P(2) = 4; P(3) = 9; P(4) = 16; P(5) = 25 Tính P(6); P(7); P(8); P(9) = ?
H.Dẫn:
Bước 1: Đặt Q(x) = P(x) + H(x) sao cho:
+ Bậc H(x) nhỏ hơn bậc của P(x)
+ Bậc của H(x) nhỏ hơn số giá trị đã biết của P(x), trong bài bậc H(x) nhỏ hơn 5, nghĩa là:
Trang 3Q(x) = P(x) + a1x4 + b1x3 + c1x2 + d1x + e
Bước 2: Tìm a1, b1, c1, d1, e1 để Q(1) = Q(2) = Q(3) = Q(4) = Q(5) = 0, tức là:
+ + + + + =
⇒ a1 = b1 = d1 = e1 = 0; c1 = -1
Vậy ta có: Q(x) = P(x) - x 2
Vì x = 1, x = 2, x = 3, x = 4, x = 5 là nghiệm của Q(x), mà bậc của Q(x) bằng 5 có hệ số của x5
bằng 1 nên:
Q(x) = P(x) - x2 = (x -1)(x - 2)(x - 3)(x - 4)(x - 5)
⇒ P(x) = (x -1)(x - 2)(x - 3)(x - 4)(x - 5) + x2
Từ đó tính được: P(6) = ; P(7) = ; P(8) = ; P(9) =
Ví dụ 3: Cho P(x) = x5 + ax4 + bx3 + cx2 + dx + f
Biết P(1) = 1, P(2) = 4, P(3) = 9, P(4) = 16, P(5) = 25
Tính P(6), P(7), P(8), P(9)
Giải:
Ta có P(1) = 1 = 12; P(2) = 4 = 22 ; P(3) = 9 = 32 ; P(4) = 16 = 42 ; P(5) = 25 = 52
Xét đa thức Q(x) = P(x) – x2
Dễ thấy Q(1) = Q(2) = Q(3) = Q(4) = Q(5) = 0
Suy ra 1; 2; 3; 4; 5 là nghiệm của đa thức Q(x)
Vì hệ số của x5 bằng 1 nên Q(x) có dạng: Q(x) = (x – 1)(x – 2)(x – 3)(x – 4)(x – 5)
Vậy ta có Q(6) = (6 – 1)(6 – 2)(6 – 3)(6 – 4)(6 – 5) = P(6) - 62
Hay P(6) = 5! + 62 = 156
Q(7) = (7 – 1)(7 – 2)(7 – 3)(7 – 4)(7 – 5) = P(7) – 72
Hay P(7) = 6! + 72 = 769
Ví dụ 4 Cho đa thức P(x) = x4 + ax3 + bx2 + cx + d
Biết P(1) = 1; P(2) = 3; P(3) = 6; P(4) = 10 Tính A= P(5) 2P(6)P(7)− =?
H.Dẫn:
- Giải tương tự, ta có: P(x) = (x -1)(x - 2)(x - 3)(x - 4) + x(x 1)2+
- Từ đó tính được: A=P(5) 2P(6)P(7)− =
8 Xây dựng công thức tính tổng bằng đa thức.
Ví dụ 1:
a Đặt S = 1.2 + 2.3 + 3.4 + … + n(n + 1) Tính S(100) và S(2009).
b Đặt P(n) = 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + … + n(n + 1)(n+2).Tính P(100) và P(2009).
HD
a Đặt g(x) x(x 1) x= + = +2 x
Ta có: S(1) = g(1) = 1.2; S(2) = g(2) = 2.3; ; S(n) = g(n) = n.(n+1)
Trang 4- Tìm đa thức f(x) bậc 3 biết: g(x) f (x) f (x 1)= − −
Ta có: S(1) = 1.2 = g(1) = f(1) – f(0); S(2) = 2.3 = g(2) = f(2) – f(1); ;
S(n) = n.(n+1) = g(n) = f(n) – f(n-1) Vậy S = g(1) + g(2) + + g(n) = f(n) – f(n-1)
- Đặt f (x) ax +bx +cx+d= 3 2
g(x) f (x) f (x 1)= − − ⇔x2+ =x ax + bx + cx + d - a(x-1) - b(x-1) - c(x-1) - d3 2 3 2
2
2
x x 3ax - (3a + 2b)x + (a - b + c)
1 a
2
3
⇔
=
=
Vậy f (x) 1x3 x2 2x
= + + , Suy ra S f (n) f (0) 1n3 n2 2n
b Tương tự bài b, S 1n4 3n3 11n2 3n
9 Tính tổng các hệ số đa thức bậc n.
Ví dụ 1: Cho f (x) x= 2010 + +(k 1)x2009+(2k 1)x+ 2008+ + (2009k 1)x (2010k 1)+ + +
với k R∀ ∈ Tính f (1 k)− .
HD
Ta biết đa thức f(x) có nghiệm x0 thì f(x0) = 0 hay f(x) : (x - x0) dư 0
Dùng lược đồ Hooc-ne cho đa thức f(x) ta có
Như vậy f(x) : (x – (1-k) dư 2011 hay f(1 - k) = 2011
Ví dụ 2 Biết rằng (2 + x + 2x3)15 = a0 +a1x + a2x2 + a3x3 + … + a45x45
Tính S1 = a1 +a2 +a3 + … + a45 ; S2 = a0 +a2 +a4 + … + a44
HD: Đặt P(x)= đa thức đã cho Có S1 = P(1) - P(0) = 5 15 − 2 15;
có 5 14 = 6103515625 ;515625.5 = 2578125
6130.5.10 6= 30515000000 Cộng lại ta có S1 =
15
( 1) ( 1) 1
P − = − = − ; S2 = 1( (1) ( 1))
2 P + −P
Ví dụ 3 Cho đa thức Q(x) = (3x2 + 2x – 7)32 Tính chính xác đến đơn vị:
a) Số dư của phép chia Q(x) cho x – 1 b) Tổng các hệ số của đa thức Q2(x)
HD b Tổng các hệ số của đa thức Q(x) là giá trị của đa thức tại x = 1 Gọi tổng các hệ số của đa thức là A, ta có : A = Q(1) = ( 3+2-7)64 = 264 Để ý rằng : 264 = ( )32 2
2 = 4294967296 2 Đặt 42949 =
X, 67296 = Y, ta có : A = ( X.105 +Y)2 = X2.1010 + 2XY.105 + Y2 Tính trên máy kết hợp với giấy
ta có:
X2.1010 = 1 8 4 4 6 1 6 6 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
Ví dụ 4 Giả sử có biểu thức:
T(x) = 1 + x = a + a x + a x + a x + a + x + a x
Trang 5Tính chính xác giá trị của biểu thức :
H - 2a = + 2 a − 2 a + 2 a - 2 a + + 2 a 2 a − + 2 a
Ví dụ 5 a) Tìm phần dư khi chia đa thức: x100−2x51+1 cho x2 − 1
b) Cho đa thức 5 2
f = + +x x có năm nghiệm x x x x x1; ; ; ;2 3 4 5
Ký hiệu p( )x = x2 −81 hãy tìm P = p( )x1 p( )x2 p( )x3 p(x4) p( )x5
a
b
Trang 6BÀI TẬP GIẢI TOÁN TRÊN MÁY TÍNH CẦM TAY (NGÀY 25/10/2013)
Bài tập 1: Cho đa thức P x( ) = −x 3x5 4+4x 5x3− 2+6x m Viết phương trình ấn phím để: +
a) Tìm số dư r trong phép chia P(x) cho ( x – 3,5 ) khi m = 2005
b) Tìm giá trị m để đa thức P(x) chia hết cho x – 3,5
c) Tìm giá trị m để đa thức P(x) có nghiệm x = 3
Bài tập 2: Cho biết đa thức P(x) = x4 + mx3 – 55x2 + nx – 156 chia hết cho x – 2 và x – 3 Hãy tìm giá trị của m, n rồi tính tất cả các nghiệm của đa thức
Bài tập 3 Cho hai đa thức sau: f(x) = x4 + 5x3 - 4x2 + 3x + a và g(x) = -3x4 + 4x3 - 3x2 + 2x + b Tìm điều kiện của a và b để hai đa thức f(x) và g(x) có nghiệm chung
Bài tập 4: Khi chia đa thức 2x4 +8x3 -7x2 +8x -12 cho đa thức x – 2 ta được thương là đa thức Q(x) có bậc là 3 Hãy tìm hệ số của x2 trong Q(x) ?
Bài tập 5: Cho đa thức P x x ax( ) = +5 4+bx cx dx e3+ 2+ + và cho biết P(1) = 1, P(2) = 7,
P(3) = 17, P(4) = 31, P(5) = 49 Tính P(6), P(7), P(8), P(9), P(10) và P(11) ?
Bài tập 6: Cho P(x) = x4 + ax3 + bx2 + cx + d Biết P(1) = 5, P(2) = 7, P(3) = 9, P(4) = 11
a Tìm a, b, c, d Tính ( )15 ( 12)
15 20
Bài tập 7:
a Phân tích biểu thức sau ra ba thừa số: a4 – 6a3 + 27a2 – 54a + 32
b Từ kết quả câu trên suy ra rằng biểu thức n4 – 6n3 + 272 – 54n + 32 luôn là số chẵn với mọi số nguyên n
Bài tập 8: Chia P(x) = x81 + ax57 + bx41 + cx19 + 2x + 1 cho x – 1 được số dư là 5 và chia cho x – 2 được số dư là -4 Hãy tìm cặp (M,N) biết rằng Q(x) = x81 + ax57 + bx41 + cx19 + Mx + N chia hết cho (x-1)(x-2)
Bài tập 9: Cho P(x) = ax17 + bx16 + cx15 + + m, biết P(1) = 1; P(2) = 2; ; P(17) = 17 Tính P(18)
Bài tập 10: Cho P(x) là đa thức với hệ số nguyên có giá trị P(21) = 17; P(37) = 33.
Biết P(N) = N + 51 Tính N?
Bài tập 11: Cho đa thức Q(x) = ( 3x2 + 2x – 7 )64 Tính tổng các hệ số của đa thức chính xác đến đơn vị
Bài tập 12: Cho x1000 + y1000 = 6,912; x2000 + y2000 = 33,76244 Tính A = x3000 + y3000
Bài tập 13: Tìm nghiệm gần đúng của phương trình:
a) 3x3 + 2,435x2 + 4,29x + 0,58 = 0 b) 3x3+2,735x2+4,49x+0,98 = 0
Bài tập 14: a) Tìm một nghiệm gần đúng của phương trình : x9 + x – 7 = 0
c) Tìm các số tự nhiên thoả mãn phương trình x2 + 2y2 = 2377