Hướng dẫn sử dụng casio FX570 để giải toán bà 4

HƯỚNG DẪN GIẢI TOÁN VỀ ĐA THỨCKIẾN THỨC: - Tính giá trị biểu thức - Tìm thương và dư trong phép chia đa thức cho ax + b NỘI DUNG... Chứng tỏ Px là số nguyên với mọi x nguyên... Tương tự

Buổi 4 HƯỚNG DẪN GIẢI TOÁN VỀ ĐA THỨC

KIẾN THỨC:

- Tính giá trị biểu thức

- Tìm thương và dư trong phép chia đa thức cho ax + b

NỘI DUNG.

I Tính giá trị của biểu thức:

Bài 1: Cho đa thức P(x) = x15 -2x12 + 4x7 - 7x4 + 2x3 - 5x2 + x - 1

Tính P(1,25); P(4,327); P(-5,1289); P(13

4)

H.Dẫn:

- Lập công thức P(x)

- Tính giá trị của đa thức tại các điểm: dùng chức năng CALC

- Kết quả: P(1,25) = ; P(4,327) =

P(-5,1289) = ; P(13

4) =

Bài 2: Tính giá trị của các biểu thức sau:

P(x) = 1 + x + x2 + x3 + + x8 + x9 tại x = 0,53241 Q(x) = x2 + x3 + + x8 + x9 + x10 tại x = -2,1345

H.Dẫn:

- áp dụng hằng đẳng thức: an - bn = (a - b)(an-1 + an-2b + + abn-2 + bn-1) Ta có:

P(x) = 1 + x + x2 + x3 + + x8 + x9 = ( 1)(1 2 9) 10 1

Từ đó tính P(0,53241) =

Tương tự:

Q(x) = x2 + x3 + + x8 + x9 + x10 = x2(1 + x + x2 + x3 + + x8) = 2 9 1

1

x x x

−

−

Từ đó tính Q(-2,1345) =

Bài 3: Cho đa thức P(x) = x5 + ax4 + bx3 + cx2 + dx + e Biết P(1) = 1; P(2) = 4; P(3) = 9; P(4) = 16; P(5) = 25 Tính P(6); P(7); P(8); P(9) = ?

H.Dẫn:

Bước 1: Đặt Q(x) = P(x) + H(x) sao cho:

+ Bậc H(x) nhỏ hơn bậc của P(x)

+ Bậc của H(x) nhỏ hơn số giá trị đã biết của P(x), trongbài bậc H(x) nhỏ hơn 5, nghĩa là: Q(x) = P(x) + a1x4 + b1x3 + c1x2 + d1x + e

Bước 2: Tìm a1, b1, c1, d1, e1 để Q(1) = Q(2) = Q(3) = Q(4) = Q(5) = 0, tức là:

1 0

+ + + + + =









⇒ a1 = b1 = d1 = e1 = 0; c1 = -1

Vậy ta có: Q(x) = P(x) - x 2

Vì x = 1, x = 2, x = 3, x = 4, x = 5 là nghiệm của Q(x), mà bậc của Q(x) bằng 5 có hệ số của

x5 bằng 1 nên: Q(x) = P(x) - x2 = (x -1)(x - 2)(x - 3)(x - 4)(x - 5)

⇒ P(x) = (x -1)(x - 2)(x - 3)(x - 4)(x - 5) + x2

Từ đó tính được: P(6) = ; P(7) = ; P(8) = ; P(9) =

Bài 4: Cho đa thức P(x) = x4 + ax3 + bx2 + cx + d Biết P(1) = 5; P(2) = 7; P(3) = 9; P(4) = 11 Tính P(5); P(6); P(7); P(8); P(9) = ?

H.Dẫn:

- Giải tương tự bài 3, ta có: P(x) = (x -1)(x - 2)(x - 3)(x - 4) + (2x + 3) Từ đó tính được: P(5) = ; P(6) = ; P(7) = ; P(8) = ; P(9) =

Bài 5: Cho đa thức P(x) = x4 + ax3 + bx2 + cx + d Biết P(1) = 1; P(2) = 3; P(3) = 6; P(4) = 10 Tính (5) 2 (6) ?

(7)

A

P

−

H.Dẫn:

- Giải tương tự bài 4, ta có: P(x) = (x -1)(x - 2)(x - 3)(x - 4) + ( 1)

2

x x+

Từ đó tính được:

(5) 2 (6)

(7)

A

P

−

Bài 6: Cho đa thức f(x) bậc 3 với hệ số của x3 là k, k ∈ Z thoả mãn:

f(1999) = 2000; f(2000) = 2001 Chứng minh rằng: f(2001) - f(1998) là hợp số

H.Dẫn:

* Tìm đa thức phụ: đặt g(x) = f(x) + (ax + b) Tìm a, b để g(1999) = g(2000) = 0

⇔19992000a b a b+ +20002001 0=0⇔a b= −11

* Tính giá trị của f(x):

- Do bậc của f(x) là 3 nên bậc của g(x) là 3 và g(x) chia hết cho:

(x - 1999), (x - 2000) nên: g(x) = k(x - 1999)(x - 2000)(x - x0)

⇒ f(x) = k(x - 1999)(x - 2000)(x - x0) + x + 1

Từ đó tính được: f(2001) - f(1998) = 3(2k + 1) là hợp số

Bài 7: Cho đa thức f(x) bậc 4, hệ số của bậc cao nhất là 1 và thoả mãn: f(1) = 3; P(3) = 11; f(5) =

27 Tính giá trị A = f(-2) + 7f(6) = ?

H.Dẫn:

- Đặt f(x) = x4 + ax3 + bx2 + cx + d

- Đặt g(x) = f(x) + ax2 + bx + c Tìm a, b, c sao cho g(1) = g(3) = g(5) = 0 ⇒ a, b, c là nghiệm của hệ phương trình:

3 0

a b c

+ + + =



 + + + =





⇒ bằng MTBT ta giải được:

1 0 2

a b c

=−



 =



 =−



⇒ g(x) = f(x) - x2 - 2

- Vì f(x) bậc 4 nên g(x) cũng có bậc là 4 và g(x) chia hết cho (x - 1), (x - 3), (x - 5), do vậy: g(x) = (x - 1)(x - 3)(x - 5)(x - x0) ⇒ f(x) = (x - 1)(x - 3)(x - 5)(x - x0) + x2 + 2

- f(-2) = (-3)(-5)(-7)(-2-x0) + 4 + 2 = 210 + 105x0 + 6 = 216 + 105x0

- 7f(6) = 7.5.3.1(6-x0) + 36 + 2 = 630 - 105x0 + 38 = 668 - 105x0

- Ta tính được: A = f(-2) + 7f(6) = 216 + 105x0 - 668 - 105x0 = 884

Bài 8: Cho đa thức f(x) bậc 3 Biết f(0) = 10; f(1) = 12; f(2) = 4; f(3) = 1.

Tìm f(10) = ? (Đề thi HSG CHDC Đức)

H.Dẫn:

- Giả sử f(x) có dạng: f(x) = ax3 + bx2 + cx + d Vì f(0) = 10; f(1) = 12; f(2) = 4; f(3) = 1 nên:

10

12

d

a b c d

=



 + + + =



 + + + =





lấy 3 phương trình cuối lần lượt trừ cho phương trình đầu và giải hệ gồm 3 phương trình ẩn a, b,

c trên MTBT cho ta kết quả: 5; 25; 12; 10

a= b= − c= d =

⇒ 5 3 25 2

f x = x − x + x+ ⇒ f(10) =

Bài 9: Cho đa thức f(x) bậc 3 biết rằng khi chia f(x) cho (x - 1), (x - 2), (x - 3) đều được dư là 6 và

f(-1) = -18 Tính f(2005) = ?

H.Dẫn:

- Từ giả thiết, ta có: f(1) = f(2) = f(3) = 6 và có f(-1) = -18

- Giải tương tự như bài 8, ta có f(x) = x3 - 6x2 + 11x

Từ đó tính được f(2005) =

Bài 10: Cho đa thức 1 9 1 7 13 5 82 3 32

( )

a) Tính giá trị của đa thức khi x = -4; -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3; 4

b) Chứng minh rằng P(x) nhận giá trị nguyên với mọi x nguyên

Giải:

a) Khi x = -4; -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3; 4 thì (tính trên máy) P(x) = 0

b) Do 630 = 2.5.7.9 và x = -4; -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3; 4 là nghiệm của đa thức P(x) nên

1

( ) ( 4)( 3)( 2)( 1) ( 1)( 2)( 3( 4)

2.5.7.9

Vì giữa 9 só nguyên liên tiếp luôn tìm được các số chia hết cho 2, 5, 7, 9 nên với mọi x nguyên thì tích: (x− 4)(x− 3)(x− 2)(x− 1) (x x+ 1)(x+ 2)(x+ 3(x+ 4) chia hết cho 2.5.7.9 (tích của các số

nguyên tố cùng nhau) Chứng tỏ P(x) là số nguyên với mọi x nguyên

II Tìm thương và dư trong phép chia hai đa thức:

Bài toán 1: Tìm dư trong phép chia đa thức P(x) cho (ax + b)

Cách giải:

- Ta phân tích: P(x) = (ax + b)Q(x) + r ⇒P b 0.Q b r

− = − +

a

−

Bài 1: Tìm dư trong phép chia P(x) = 3x3 - 5x2 + 4x - 6 cho (2x - 5)

Giải:

- Ta có: P(x) = (2x - 5).Q(x) + r ⇒ 5 0. 5 5

P = Q + ⇒ =r r P 

2

P 

 

 

Tính trên máy ta được: r = 5

2

P 

 

  =

Bài toán 2: Tìm thương và dư trong phép chia đa thức P(x) cho (x + a)

Chia đa thức a0x3 + a1x2 + a2x + a3 cho x – c ta sẽ được thương là một đa thức bậc hai Q(x) = b0x 2 + b1x + b2 và số dư r Vậy a0x3 + a1x2 + a2x + a3 = (b0x2 + b1x + b2)(x-c) + r = b0x3 + (b1-b0c)x2 + (b2-b1c)x + (r - b2c) Ta lại có công thức truy hồi Horner: b0 = a0; b1= b0c + a1; b2= b1c + a2; r = b2c + a3

Tương tự như cách suy luận trên, ta cũng có sơ đồ Horner để tìm thương và số dư khi chia đa thức P(x) (từ bậc 4 trở lên) cho (x-c) trong trường hợp tổng quát Tìm thương và dư trong phép chia đa thức P(x) cho (ax +b)

Bài 2: Tìm thương và dư trong phép chia P(x) = x7 - 2x5 - 3x4 + x - 1 cho (x + 5)

H.Dẫn: - Sử dụng lược đồ Hoocner, ta có:

* Tính trên máy tính các giá trị trên như sau:

1 × ANPHA M + 0 = (-5) : ghi ra giấy -5

× ANPHA M - 3 = (-118) : ghi ra giấy -118

× ANPHA M + 0 = (590) : ghi ra giấy 590

× ANPHA M + 0 = (-2950) : ghi ra giấy -2950

x7 - 2x5 - 3x4 + x - 1 = (x + 5)(x6 - 5x5 + 23x4 - 118x3 + 590x2 - 2950x + 14751) - 73756

Bài 3: Tìm thương và dư trong phép chia P(x) = x3 + 2x2 - 3x + 1 cho (2x - 1)

Giải:

- Thực hiện phép chia P(x) cho 1

2

x

 − 

 , ta được:

P(x) = x3 + 2x2 - 3x + 1 = 1

2

x

 − 

  Từ đó ta phân tích:

P(x) = x3 + 2x2 - 3x + 1 = 2 1

2

x

 − 

 .

1

= (2x - 1) 1 2 5 7 1

3 Xác định tham số m để đa thức P(x) + m chia hết cho nhị thức ax + b

Khi chia đa thức P(x) + m cho nhị thức ax + b ta luôn được

P(x) = Q(x)(ax+b) + m + r Muốn P(x) chia hết cho ax +b thì m + r = 0

hay m = -r = - P( b

a

− ) Như vậy bài toán trở về dạng toán 1.

Bài 1: Tìm các giá trị của m để đa thức P(x) = 2x3 + 3x2 - 4x + 5 + m chia hết cho Q(x) = 3x +2

H.Dẫn:

- Phân tích P(x) = (2x3 + 3x2 - 4x + 5) + m = P1(x) + m Khi đó:

P(x) chia hết cho Q(x) = 3x + 2 khi và chỉ khi: P1(x) + m = (3x + 2).H(x)

0

P− + = ⇒ = −m m P− 

Tính trên máy giá trị của đa thức P1(x) tại 2

3

x= − ta được m =

Bài 2: Cho hai đa thức P(x) = 3x2 - 4x + 5 + m; Q(x) = x3 + 3x2 - 5x + 7 + n Tìm m, n để hai đa

thức trên có nghiệm chung 0

1 2

x =

0

1

2

x = là nghiệm của P(x) thì m = 1

1 2

P 

−   , với P1(x) = 3x2 - 4x + 5

0

1

2

x = là nghiệm của Q(x) thì n = 1

1 2

Q  

−   , với Q1(x) = x3 + 3x2 - 5x + 7

Tính trên máy ta được: m = 1

1 2

P 

−    = ;n = 1

1 2

Q  

−    =

Bài 3: Cho hai đa thức P(x) = x4 + 5x3 - 4x2 + 3x + m; Q(x) = x4 + 4x3 - 3x2 + 2x + n

a) Tìm m, n để P(x), Q(x) chia hết cho (x - 2)

b) Xét đa thức R(x) = P(x) - Q(x) Với giá trị m, n vừa tìm chứng tỏ rằng đa thức R(x) chỉ

có duy nhất một nghiệm

H.Dẫn:

a) Giải tương tự bài 16, ta có: m = ;n =

b) P(x) M (x - 2) và Q(x) M (x - 2) ⇒ R(x) M (x - 2)

Ta lại có: R(x) = x3 - x2 + x - 6 = (x - 2)(x2 + x + 3), vì x2 + x + 3 > 0 với mọi x nên R(x) chỉ có một nghiệm x = 2

Bài 4: Chia x8 cho x + 0,5 được thương q1(x) dư r1 Chia q1(x) cho x + 0,5 được thương q2(x) dư

r2 Tìm r2 ?

H.Dẫn:

- Ta phân tích: x8 = (x + 0,5).q1(x) + r1

q1(x) = (x + 0,5).q2(x) + r2

- Dùng lược đồ Hoocner, ta tính được hệ số của các đa thức q1(x), q2(x) và các số dư r1, r2:

1

2

2

4

1 8

16

1 32

64

1 128

256 1

2

4

1 2

16

3 16

64

1 16

−

Vậy: 2

1 16

r = −

Bài 5:

a) Tìm phần dư R(x) khi chia đa thức x2010 − 6x11 + 2 12 cho 2011x2 – 2011

b) Xác định phần dư R(x) khi chia đa thức P(x) = 1+ x7 + x9 + x10 + x2010 + x2011 cho Q(x) = x3 – x Tính R (79,102011)

HD a Giả sử f(x) = x2010 − 6x11 + 2 12= (2011x2 – 2011).Q(x) +R(x)

= 2011(x – 1)(x + 1).Q(x) + ax + b ( vì đa thức chia có bậc 2)

Ta có : f(1) = a + b = 12010 – 6.111 + 212 = 4091

f(-1) = - a + b = (-1)2010 – 6.(-1)11 + 212 = 4103

⇒ a = - 6 ; b = 4097

Vậy đa thức dư trong phép chia x2010 − 6x11 + 2 12cho 2011x2 – 2011 là

R(x) = -6x + 4097

b P(x) = 1+ x7 + x9 + x10 + x2010 + x2011 = (x3 – x) T(x) + R(x)

= (x3 – x) T(x) + ax2 + bx + c

= x(x-1)(x+1) T(x) + ax2 + bx + c

Ta có: P(0) = 1 ⇔ c = 1

P(1) = 6 ⇔ a + b + c = 6 P(-1) = 6 ⇔ a - b + c = 0

Vậy a = 2, b = 3, c = 1 Vậy R(x) = 2x2 + 3x + 1

BÀI TẬP GIẢI TOÁN TRÊN MÁY TÍNH CẦM TAY (NGÀY 14/10/2013)

Bài 1 Cho đa thức g(x) 8x= 3−18x2+ +x 6

a) Tìm các nghiệm của đa thức g(x)

b) Tìm các hệ số a,b,c của đa thức bậc ba f (x) x= +3 ax2+bx c+ , biết rằng khi chia đa thức f(x) cho đa thức g(x) thì được đa thức dư là r(x) 8x= 2+4x 5+

c) Tính chính xác giá trị của f(2008)

Bài 2 Cho đa thức P(x) x= 4 +5x -4x +3x-503 2 Gọi r1 là phần dư của phép chia P(x) cho x –

2 và r2 là phần dư của phép chia P(x) cho x – 3 Tìm BCNN ( r1 , r2 ) ?

Bài 3 Xác định các hệ số a, b, c của đa thức P(x) = ax3 + bx2 + cx – 2007 để sao cho P(x) chia cho (x – 13) có số dư 1, chia cho (x-3) có số dư là 2 và chia cho (x – 14) có số dư là 3

Bài 4 Xác định các hệ số a, b, c, d và tính giá trị của đa thức

Q(x) = x5 + ax4 – bx3 + cx2 + dx – 2007 Tại các giá trị của x = 1,15 ; 1,25 ; 1,35 ; 1,45

Biết rằng khi x nhận các giá trị lần lượt 1, 2, 3, 4 thì Q(x) có các giá trị tương ứng là 9, 21, 33, 45

Bài 5 Cho f (x) x= 2010 + +(k 1)x2009+(2k 1)x+ 2008+ + (2009k 1)x (2010k 1)+ + + với

k R

∀ ∈ Tính f (1 k)−

Bài 6 Xác định phần dư R(x) khi chia đa thức P(x) = 1+ x7 + x9 + x10 + x2010 + x2011 cho Q(x) =

x3 – x Tính R (79,102011)

Bài 7 Tìm phần dư của phép chia P(x) = x2010 + x2011 + 11 cho x2 – 1

Bài 8 Đa thức P(x) = x5 + ax4 + bx3 + cx2 + dx + e biết P(1) = 11 , P(2) =14 , P(3) = 19 , P(4) =

26 , P(5) = 35 Hãy tính P(11) , P(12) , P(13) , P(14) , P(15) , P(16)

Bài 9 Biết rằng (2 + x + 2x3)15 = a0 +a1x + a2x2 + a3x3 + … + a45x45

Tính S1 = a1 +a2 +a3 + … + a45 ; S2 = a0 +a2 +a4 + … + a44

Bài 10 a Khi chia đa thức f (x) 2x + 8x - 7x + 8x - 12= 4 3 2 cho đa thức (x - 2) ta được thương là đa thức Q(x) có bậc 3 Tìm hệ số a của x2 trong đa thức Q(x) và số dư r trong phép chia

b Phân tích đa thức P(x) a - 6a + 27a - 54a +32= 4 3 2 thành nhân tử

Bài 11 Giả sử có biểu thức: ( 2)15 2 3 29 30

T(x) = 1 + x = a + a x+ a x +a x + a+ x + a x

H - 2a = + 2 a − 2 a + 2 a - 2 a + + 2 a 2 a − + 2 a

Bài 12: Cho đa thức Q(x) = (3x2 + 2x – 7)32 Tính chính xác đến đơn vị:

a) Số dư của phép chia Q(x) cho x – 1

b) Tổng các hệ số của đa thức Q2(x)

Bài 13: Cho đa thức Q(x) = ( 3x2 + 2x – 7 )64 Tính tổng các hệ số của đa thức chính xác đến đơn vị

Bài 14.a) Tìm phần dư khi chia đa thức: x100−2x51+1 cho x2 − 1

b) Cho đa thức 5 2

f = + +x x có năm nghiệm x x x x x1; ; ; ;2 3 4 5

Ký hiệu p( )x = x2 −81 hãy tìm P = p( )x1 p(x2) p( )x3 p(x4) p( )x5

Bài 15 Cho đa thức f(x) = (x2 + 3x -1)2012 Tính tổng các hệ số của các hạng tử chứa lũy thừa bậc chẵn của x