SKKN CAC SAI LAM KHI GIAI BAI TOAN DAO HAM vu thi tung chau toan

Trong quá trình giảng dạy tôi thấy rằng học sinh còn mắc phải một số sai lầm khi giải các bài toán liên quan tới đạo hàm, áp dụng các kiến thức đã học để giải các bài toán liên quan như

Sở Giáo Dục và Đào Tạo ĐakLak Trường THPT TRẦN PHÚ

- -ĐỀ TÀI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

TÊN ĐỀ TÀI

“CÁC SAI LẦM KHI GIẢI BÀI TOÁN ĐẠO HÀM”

GIÁO VIÊN : VŨ THỊ TÙNG CHÂU

TỔ : TOÁN TIN ĐƠN VỊ : TRƯỜNG THPT TRẦN PHÚ

PHẦN 1: MỞ ĐẦU

I Lý do chọn đề tài

Năm học 2010-2011, tôi được tổ chuyên môn phân công giảng dạy môn Toán tại các lớp 12A1,

12A9 Trong quá trình giảng dạy tôi thấy rằng học sinh còn mắc phải một số sai lầm khi giải các bài toán liên quan tới đạo hàm, áp dụng các kiến thức đã học để giải các bài toán liên quan như

tính đồng biến, nghịch biến, tìm GTLN-GTNN, giải pt-bpt, đồ thị hàm số Tôi lựa chọn đề tài

“CÁC SAI LẦM KHI GIẢI BÀI TOÁN ĐẠO HÀM” này với mục đích giúp các em nhìn nhận

những sai lầm thường mắc phải mà các em sẽ không tự mình khắc phục được nếu không có sự hướng dẫn của người thầy cô

Trong chương trình giải tích 12, nội dung ứng dụng đạo hàm để giải các bài toán liên quan có một vị trí đặc biệt quan trọng Là một công cụ rất "mạnh" để giải quyết hầu hết những bài toán trong các đề thi tốt nghiệp Trung học phổ thông cũng như trong các đề thi tuyển sinh Đại học, Cao đẳng

Ưu điểm của phương pháp này là rất hiệu quả và dễ sử dụng khi giải toán liên quan đến đạo hàm.Nhằm giúp học sinh nắm chắc các kiến thức về đạo hàm, có kỹ năng ứng dụng đạo hàm để giải các bài toán liên quan nên tôi đã chọn đề tài

II Mục đích nghiên cứu

- Chỉ ra cho học sinh thấy những sai lầm thường mắc phải Qua đó, học sinh hiểu đúng bản chất của vấn đề

- Bồi dưỡng cho học sinh về phương pháp, kỹ năng giải toán Qua đó học sinh nâng cao khả năng tư duy, sáng tạo

III Nhiệm vụ nghiên cứu

- Đánh giá thực tế quá trình vận dụng giải bài tập toán lên quan đến việc ứng dụng đạo hàm, giải các bài toán liên quan (Chương trình Giải tích 12 – Ban cơ bản) để có được bài giải toán hoàn chỉnh và chính xác

IV Đối tượng nghiên cứu

- Các bài toán liên quan đến đạo hàm và ứng dụng của đạo giải tích lớp 12

V Phương pháp nghiên cứu

- Phương pháp điều tra

- Phương pháp đối chứng

- Phương pháp nghiên cứu tài liệu

PHẦN 2: NỘI DUNG

CHƯƠNG I: CƠ SỞ CỦA ĐỀ TÀI

I Cơ sở lý luận

1 Nội dung chương trình ( giải tích 12 - Ban cơ bản)

Học sinh cần nắm được một số vấn đề sau đây (liên quan đến nội dung và phạm vi nghiên cứu của đề tài)

1.1 Định nghĩa về tính đơn điệu của hàm số

1.2 Tính chất của các hàm số đồng biến, nghịch biến

1.3 Công thức tính đạo hàm

1.4 Quy tắc xét tính đơn điệu của hàm số của hàm số dựa trên định lí sau

1.5 Quy tắc tìm điểm cực trị của hàm số dựa trên hai định lí sau

1.6 Giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số trên miền D

1.7 Về phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) của hàm số y = f(x)

2 Sai lầm thường gặp khi giải toán

1.1 Sai lầm trong bài toán xét tính đơn điệu của hàm số, khi không nắm vững định nghĩa về tính đơn điệu của hàm số hay không chú ý tới các điểm tới hạn của hàm số

1.2 Sai lầm trong bài toán chứng minh bất đẳng thức, khi không nhớ chính xác tính đơn điệu của hàm số để vận dụng hoặc vận dụng sai tính chất của các hàm đồng biến, nghịch biến

1.3 Sai lầm trong việc giải các bài toán liên quan tới đạo hàm, khi vận dụng sai công thức tính đạo hàm hay hiểu sai công thức lũy thừa với số mũ thực

1.4 Sai lầm trong việc giải các bài toán liên quan tới cực trị của hàm số, khi vận dụng sai về điều kiện để hàm số có cực trị hay điều kiện để hàm số đơn điệu trên khoảng (a;b)

1.5 Sai lầm trong việc giải các bài tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số trên một miền D, khi chuyển đổi bài toán không tương đương

1.6 Sai lầm trong việc giải các bài toán viết phương trình tiếp tuyến đi qua một điểm

M1(x1;y1) thuộc đồ thị (C) của hàm số

II Cơ sở pháp lý

- Dựa trên những khái niệm, định nghĩa, định lí đã học

- Dựa trên những khái niệm, định nghĩa khác có liên quan tới quá trình giải bài tập về ứng dụng của đạo hàm

CHƯƠNG II: BIỆN PHÁP THỰC HIỆN VÀ KẾT QUẢ

I Biện pháp thực hiện

Để khắc phục những khó khăn mà học sinh thường gặp phải, khi nghiên cứu đề tài tôi đã đưa

ra các biện pháp như sau:

1 Bổ sung, hệ thống những kiến thức cơ bản mà học sinh thiếu hụt

2 Rèn luyện cho học sinh về mặt tư duy, kĩ năng, phương pháp

3 Đổi mới việc kiểm tra, đánh giá

4 Giáo viên có phương pháp dạy học, hình thức dạy học sao cho phù hợp với từng loại đối

tượng học sinh, chỉ ra cho học sinh những sai làm thường mắc phải khi giải các bài toán về ứng dụng đạo hàm Hướng dẫn cho học sinh tự học, tự làm bài tập

5 Phân dạng bài tập và phương pháp giải

- Hệ thống kiến thức cơ bản

- Phân dạng bài tập và phương pháp giải

- Đưa ra các bài tập tương tự, bài tập nâng cao

II Nghiên cứu thực tế

1 Phân tích những sai lầm thông qua một số ví dụ minh họa

1.1 Sai lầm khi xét tính đơn điệu của hàm số

số.

Ví dụ minh họa 1:

Tìm m để hàm số đồng biến trên R

y = f(x) = 1 3 2

( 2) 1

3x −mx + m+ x+

Một số học sinh trình bày như sau:

y đồng biến trên R

,

2

0,

2 0

x

y x R

x mx m x R

m m m

⇔ > ∀ ∈

⇔ − + + > ∀ ∈ ⇔ ∆ <

⇔ − − <

⇔ − < <

Phân tích:

Lời giải trên có vẻ như đúng rồi, nếu ta không chú ý đến kết luận của bài toán Chú ý rằng:

' 0, ( ; )

y > ∀ ∈x a b là đk đủ để y đồng biến trên (a;b), chứ không phải điều kiện cần.Chẳng hạn y x= 3

đồng biến trên R, nhưng 2

y′ = x = khi x = 0 Nhớ rằng y = f(x) xác định trên (a;b),

( ) 0, ( ; )

f x′ ≥ ∀ ∈x a b nhưng f x′ ( ) chỉ triệt tiêu tại hữu hại điểm thuộc (a;b) thì y = f(x) đồng biến trên

(a;b)

Lời giải đúng là:

y đồng biến trên R

2

2

0,

x

y x R

x mx m x R

m m m

′

⇔ ≥ ∀ ∈

′

⇔ ∆ ≤ ⇔ − − ≤

⇔ − ≤ ≤

Ví dụ minh họa 2:

Xét tính đơn điệu của hàm số: = = −

+

1 ( )

1

x

y f x

x

Một số học sinh trình bày như sau:

Tập xác định: D =¡ \{ } - 1

2

( 1)

x

Bảng biến thiên:

x

y

Suy ra: Hàm số đồng biến trên (- ¥ -; 1) ( 1;È - +¥ )

Phân tích:

Lời giải trên có vẻ như đúng rồi, nếu ta không chú ý đến kết luận của bài toán ! Chú ý rằng: nếu hàm số y = f(x) đồng biến trên tập D thì với mọi x1, x2 thuộc D,

x1 < x2 ⇒ f(x1) < f(x2) Trong kết luận của bài toán, nếu ta lấy x1 = - 2 Î D và

x2 = 0Î D thì x1 < x2 nhưng f(x1) = 3 > - 1 = f(x2) ???

-1

+¥

- ¥

1

1

Lời giải đúng là:

Tập xác định: D =¡ \{ } - 1

2

( 1)

x

Bảng biến thiên:

x

y

Suy ra: Hàm số đồng biến trên từng khoảng (- ¥ -; 1) và ( 1;- +¥ )

1.2 Sai lầm khi giải các bài toán liên quan tới đạo hàm

Ví dụ minh họa 3:

Tính đạo hàm của hàm số

2 2

/ sin(cos )

x

a y x

b y x

=

Một số học sinh trình bày như sau:

Ta có a/

( ) ( ) ( )

( )

1

1 2

1

2 2

1 2

x x x

y x x x

x x x

x x

−

−

−

′

Ta có : b/

( ) ( )

( )

2

cos cos cos cos cos 2cos

x x

′

′ =

Phân tích:

a/ Lời giải trên có vẻ đúng, nhưng sai lầm ở đây đã vận dụng ( )x n ′ =n x. n−1 ở bài này thì mũ x là biến chứ không phải là hằng số

b/ đây là hàm hợp nên cần vận dụng triệt để quy tắc , lời giải này còn thiếu một thuừa số ở kết quả

-1

+¥

- ¥

1

1

Lời giải đúng là:

a/

2

2 2

2

2

2

ln ln( 1)

2 ln( 1)

1 2 ( 1) ln( 1)

1

x

y x x

x

x

y x x

x

′

+

′

+

b/

( )

( )

2 2

cos(cos ).2cos sin sin 2 cos cos

x x

= −

1.3 Sai lầm khi giải các bài toán liên quan tới cực trị của hàm số

kiện đủ chứ không phải là điều kiện cần.

Ví dụ minh họa 4: Cho hàm số y = f(x) = mx4 Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số đạt cực đại tại x = 0 ?

Một số học sinh trình bày như sau:

f '(x) = 4mx3 , f ''(x) = 12mx2

Điều kiện để hàm số đạt cực đại tại x = 0 là: '(0) 0

''(0) 0

f f

ïï

íï <

ïî

4 0 0

12 0 0

m m

ïï

Û í ï

<

Vậy không tồn tại giá trị nào của m để hàm số đạt cực đại tại x = 0

Phân tích:

Ta thấy, với m = - 1, hàm số y = - x4 có y ' = - 4x3 , y ' = 0 Û x = 0

Bảng biến thiên:

x

y ' +

-y

Suy ra hàm số đạt cực đại tại x = 0 (!)

Vậy lời giải trên sai ở đâu ?

Nhớ rằng, nếu x0 thỏa mãn 0 0

0

'( ) 0 ''( ) 0

f x

x

f x

íï <

ïî là điểm cực đại của hàm số, còn điều ngược lại thì chưa chắc đúng

- ¥

- ¥

0 0 0

Lời giải đúng là:

Ta có y ' = 4mx3 Để hàm số đạt cực đại tại x = 0 thì y '(x) > 0," Î - x ( h;0), với h > 0 Tức là:

3

0

mx

h x ì > ïï íï- < < ïî Þ m < 0 Thử lại, ta thấy với m < 0 là điều kiện cần tìm 1.4 Sai lầm khi giải bài toán tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số Ví dụ minh họa 5: Tìm GTLN-GTNN của hàm số y = 3 , [ 2;0] 1 x x x ∀ ∈ − + Một số học sinh trình bày như sau: Ta có y’ = 2 2 (2 3) ( 1) x x x + + Lập BBT của y với x∈ −[ 2;0] x -2 -3/2 0

y’ - - 0 + +

y

8 0

27/4

Phân tích: Chỉ cần nhìn vào BBT các em đã thăy vô lí khi x tăng từ -3/2 đến 0 thì y tăng từ 27/4

đến 0 đây là sai lầm thường gặp khi các em lập BBT các hàm số dạng phân thức mà không xet tập xác định của nó

Lời giải đúng là:

Ta có :

xlim→−1−y= +∞; limx→−1+ y= −∞

Do đó với x∈ −[ 2;0] hàm số không có GTLN và GTNN

y +∞

8 0

27/4

−∞

Ví dụ minh họa 6:

Tìm tập giá trị của hàm số

2 1

3

x

x y

+

+

=

Một số học sinh trình bày như sau:

Tập xác định là R

3

2 2

3 1 ( 1)

x y

x

− +

′ =

+

BBT

y’ + 0

-y 10

−∞ −∞

Vậy tập giá trị của y là (−∞ : 10)

Phân tích: các em mắc sai lầm khi không nắm vững định nghĩa giá trị lớn nhất (GTLN) và giá trị nhỏ nhất (GTNN) của hàm số trên một miền D Cứ tưởng lim ( )x f x

Lời giải đúng là: Ta có :

lim ( ) 1

lim ( ) 1

x

x

f x

f x

→+∞

→−∞

=

= −

Do đó tập giá trị của y sẽ là: (-1; 10)

2 Bài tập tương tự

Bài tập 1: tìm sai làm trong lời giải bài toán sau: “ tìm m để hàm số y = 2

1 1

x −mx+ nghịch biến (2; )

x

∀ ∈ +∞ .

Giải:

(2 )

2 2 2 4

x m

x mx m

x x m

m

′ = ≤ ∀ >

+

⇔ ≥ ∀ >

⇔ ≥

⇔ ≤ Hãy cho lời giải đúng

Bài tập 2: Xác định m để hàm số sau nghịch biến trên [1; +∞ )

y =

2

x

-+

Bài tập 3: Xác định m để hàm số sau nghịch biến trên (1; +∞ )

y = 1 3 2

3x − m− x − m+ x+

Bài tập 4: tính đạo hàm của các hàm số sau

a/ y = ( 2 )sin 2

96 x

x +

b/ y = sin 5x3

Bài tập 5: lập BBT của các hàm số

a/ y = 3 2 2

1

x x

x

−

+ b/ y = 3 1 + +x 3 1 −x

Bài tập 6: Xác định m để hàm số sau đạt cực trị tại x = 1:

y = 3 2 2

5 3

x mx æ ç m ö ÷ x

- + ç ç - ÷ ÷ +

Bài tập 7: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:

y = 3 2

x + x - x + trên đoạn [ - 5;5]

III Kết quả nghiên cứu

Qua nghiên cứu, ứng dụng đề tài vào thực tiễn giảng dạy tôi nhận thấy kết quả đạt được có khả

PHẦN 3: KẾT LUẬN - KIẾN NGHỊ

I – Kết luận

Trước hết, đề tài này giúp bản thân tôi tham khảo được nhiều vấn đề có ích trong giảng dạy cho học sinh của mình, đồng thời cung cấp cho các thầy cô giáo và các em học sinh như một tài

liệu tham khảo Với lượng kiến thức nhất định về đạo hàm và các ứng dụng của đạo hàm, với những kiến thức liên quan, người học sẽ có cái nhìn sâu sắc hơn về những sai lầm thường mắc phải khi giải toán Đồng thời, qua những sai lầm ấy mà rút ra cho mình những kinh nghiệm và phương pháp giải toán cho riêng mình, với học sinh thì những kiến thức về đạo hàm cũng là tương đối khó, nhất là đối với những em có lực học trung bình trở xuống Các em thường quen với việc vận dụng hơn là hiểu rõ bản chất của các khái niệm, định nghĩa, định lí cũng như những kiến thức liên quan

đã được học Đó là chưa kể sách giáo khoa hiện nay đã giảm tải nhiều nội dung khó, mang tính trừu tượng

Trong khuôn khổ của bài viết này, tôi không có tham vọng sẽ phân tích được hết những sai lầm của học sinh và cũng sẽ không tránh khỏi những sai sót Vì vậy, tôi rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của Hội đồng khoa học trường THP TRẦN PHÚ và của quý thầy cô

II – Kiến nghị

Như trên đã nói, hàm số có rất nhiều ứng dụng và một trong các ứng dụng đó là khảo sát, vẽ

đồ thị hàm số và giải các bài toán liên quan Ngoài ra, đạo hàm còn là công cụ để giải quyết nhiều dạng toán khác như giải phương trình, hệ phương trình, bất phương trình và hệ bất phương trình ; chứng minh bất đẳng thức

Chính vì lẽ đó, tôi hi vọng đề tài sẽ đóng góp một phần nhỏ bé vào việc giải các dạng toán đã nêu trên

PHẦN 4: TÀI LIỆU THAM KHẢO

1/ Sai lầm phổ biến khi giải toán- NXB Giáo dục

4/ SGK Giải Tích 12- Ban cơ bản- NXB Giáo Dục

ĐÁNH GIÁ, XẾP LOẠI CỦA TỔ CHUYÊN MÔN

ĐÁNH GIÁ, XẾP LOẠI CỦA HỘI ĐỒNG KHOA HỌC TRƯỜNG THPT TRẦN PHÚ

ĐÁNH GIÁ, XẾP LOẠI CỦA HỘI ĐỒNG KHOA HỌC SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐAKLAK