CHUONG 3 DONG LUC HOC HE CHAT DIEM VAT LY DAI CUONG

5 Phương trình chuyển động của khối tâmVậy khối tâm của hệ chuyển động như một chất điểm có khối lượng bằng tổng khối lượng của hệ và chịu tác dụng của một lực bằng tổng các ngoại lực t

Chương III

ĐỘNG LỰC HỌC

HỆ CHẤT ĐiỂM

Nội lực là lực do các phần tử bên trong hệ tác dụng lên nhau Ngoại lực là lực bên ngoài hệ tác dụng lên các phần tử bên trong hệ.

Theo ĐL Newton III thì tổng các nội lực bằng

i m v p

P dt

F P

d

0

F   p  const

d) Nếu nhưng hình chiếu của lên một

phương nào đó bằng không thì động lượng được bảo toàn theo phương đó

Ví dụ: F x = 0 thì P x = const

Ví dụ: Một khẩu đại bác không có bộ phận

chống giật, nhả đạn dưới một góc α = 45 o so với mặt phẳng nằm ngang Viên đạn có khối lượng m

= 10kg và có vận tốc ban đầu v o = 200m/s Đại

bác có khối lượng M = 500kg Hỏi vận tốc giật lùi của súng nếu bỏ qua ma sát

Giải: Ngoại lực tác dụng lên hệ gồm trọng lực và phản lực của mặt đường có phương thẳng đứng Nên hình chiếu của chúng lên phương ngang

mv V

MV mv

/ 5

, 3 cos

0 cos

Một người có khối lượng m = 60kg

đứng trên một con thuyền dài 3m có

khối lượng M = 120kg, đang đứng yên trên mặt nước yên lặng Người đó bắt đầu đi từ mũi thuyền đến chỗ lái

thuyền (đuôi thuyền) Hỏi khi người đó

đi tới chỗ lái thuyền thì thuyền đã đi

được một đoạn bao nhiêu? Bỏ qua sức cản của nước.

Áp dụng ĐLBTĐL cho hệ người và thuyền:

là vận tốc của người đối với bờ

là vận tốc của thuyền đối với bờ

Gọi là vận tốc của người so với thuyền thì:

II Khối tâm

1.Định nghĩa: Khối tâm G của hệ chất điểm là vị trí thỏa mãn hệ thức:

M i là vị trí chất điểm i

2 Vị trí khối tâm : đối với điểm O trong HQC nào

đó được xác định bởi vectơ vị trí

OG

rG 

i

i

i i

i

i i

i

i i

m

OM m

OG

G M m

OM m

OG m

G M

OM OG

M

r m r

i i G



i

r  OM M   m

Tọa độ khối tâm trong hệ tọa độ Descartes:

Khối tâm của vật rắn: chia VR ra làm các phần

tử khối lượng dm VCB coi như chất điểm:

x, y, z là tọa độ của phần tử khối lượng dm

Lưu ý:

* Với các vật đồng chất mà dạng hình học có yếu tố đối xứng thì khối tâm nằm trên các yếu tố đó.

* Trong trọng trường khối tâm trùng với trọng

tâm, tuy nhiên khái niêm khối tâm có ý nghĩa cơ bản hơn trọng tâm bởi vì trong tình trạng không trọng lực trọng tâm không còn nhưng khối tâm vẫn có.

* Trong trọng trường đồng nhất có gia tốc g thế

năng của VR bằng thế năng của khối tâm mang tổng khối lượng.

Nếu hệ S gồm hai hệ S 1 và S 2 thì:

• G, G 1, G 2 là khối tâm của S, S 1 , S 2

• m 1 , m 2 là khối lượng của S 1 , S 2

2 1

2 2

1 1

m m

OG m

OG

m OG







3) Vận tốc khối tâm

4) Gia tốc khối tâm:

M

P M

p

M

v m

M

dt

r

d m

dt

r

d v

i

i i

i i

i i

i G

P

d M dt

v d

aG  G  1 

5) Phương trình chuyển động của khối tâm

Vậy khối tâm của hệ chuyển động như một chất điểm có khối lượng bằng tổng khối lượng của hệ

và chịu tác dụng của một lực bằng tổng các ngoại lực tác dụng lên hệ đặt tại khối tâm.

F 

0



F aG  0  vG  const

Ví dụ 1: Tại ba đỉnh của một tam

giác đều cạnh a có đặt ba chất điểm, khối lượng lần lượt bằng m1, m2,

m3 Xác định khối tâm của hệ ba

chất điểm đó

Chọn hệ trục tọa độ Oxy như hình vẽ, ta có:

3 2

1

2

3 2

1

3 3 2

2 1

1

3 2

1

3 2

3 2

1

3 3 2

2 1

1

02

30

20

m m

m

a m

m m

m

y m y

m y

m y

m m

m

a m

a m

m m

m

x m x

m x

m x

Ví dụ 2: Xác định vị trí khối tâm của một sợi dây đồng

chất, khối lượng m được uốn thành một cung tròn AB tâm

O bán kính R với góc mở

Vì sợi dây đối xứng qua đường phân giác của góc AÔB nên khối tâm của nó nằm trên đường phân giác này Chọn trục Ox trùng với đường phân

giác Tọa độ khối tâm:

o o

o

o o

G

o G

R d

R x

R

x

d

R R

m dl

l

m dm

x

dm m

cos

.2

.1

Ví dụ 3: Xác định vị trí khối tâm của một hình quạt đồng chất, khối lượng

Vì hình quạt đối xứng qua đường phân giác của góc AÔB nên khối tâm của nó nằm trên đường phân giác này Chọn trục Ox trùng với đường phân giác Tọa độ khối tâm:

2

2 2

o

o

G

o R

G

o

o o

x

B

dS

Vì đĩa trên đối xứng qua đường thẳng đi qua OO’ nên khối tâm của nó nằm trên đường này, chọn trục Ox đi qua OO’ Áp dụng công thức:

X G là tọa độ khối tâm của đĩa nguyên

X G1 và m 1 là tọa độ khối tâm và khối lượng của

đĩa bị khoét

21

22

1

1

m m

x m

X G2 và m 2 là tọa độ khối tâm và khối lượng của đĩa tâm O’ bán kính r

Vì đĩa đồng chất nên khối lượng tỉ lệ với diện tích

do đó:

2

2 0

1

2 1

2 1

2 1

m

m x

m m

R m

x m

2 2

2 1

2 2

2 1

2

R r

R

r x

r R

r m

• Cho một sợi dây dài L đặt một phần trên mặt bàn

láng nằm ngang Phần còn lại có chiều dài d rũ

xuống cạnh bàn như hình vẽ Giả sử ta thả dây ở trạng thái nghĩ (coi như không có ma sát) Xác

định vận tốc của sợi dây ở thời điểm nó hoàn

toàn rời khỏi mặt bàn.

L-d

d

• Khối lượng phần dây chiều dài d rũ xuống mặt

IV Mômen quán tính

1.Định nghĩa: mômen quán tính của HCĐ đối với một trục là đại lượng định nghĩa

là mômen quán tính của chất điểm i đối với trục, r i là khoảng cách từ chất điểm i đến trục 2.Mômen QT của vật rắn đối với một trục

r là khoảng cách từ phần tử khối lượng VCB dm đến trục

i

i r I m

2

i i

I 2

3.ĐLí Steiner -Huyghen:

I là mômen QT đối với trục bất kỳ

I 0 là MMQT đối với trục đi qua

khối tâm của VR và song song

• Xác định momen quán tính của một thanh đồng

chất dài l, khối lượng m đối với các trục sau:

a) Trục đi qua điểm giữa của thanh và tạo với

a) Chia thanh thành các phần tử khối lượng dm, chiều dài dx coi như chất điểm

l l

Ví dụ : Xác định mômen quán tính của: 1) Một vành tròn ( hình trụ rỗng) đồng

chất khối lượng m, bán kính R đối

với trục đi qua tâm và thẳng góc với mặt phẳng của vành.

2) Một đĩa tròn ( hình trụ đặc) đồng

chất khối lượng m, bán kính R đối

với trục đi qua tâm và thẳng góc với mặt phẳng của đĩa.

2)

2

2

2 3

R

m

R m

Ví dụ : Xác định mômen quán tính của:

1) Một vành tròn đồng chất khối lượng

m, bán kính R đối với trục đi qua tâm

và nằm trong mặt phẳng của vành.

2) Một đĩa tròn đồng chất khối lượng m,

bán kính R đối với trục đi qua tâm và nằm trong mặt phẳng của đĩa.

1 sin

dI dm R

m

Rd R R

b) Chia đĩa thành các vành tròn bán kính r bề dày

dr, khối lượng của nó là:

2 2

2

2 0

1 2

1 4

R

mr dr

R m

R

    

3)Một đĩa bằng đồng khối lượng

Ta có:

I o, I 1 , I 2 lần lượt là MMQT của đĩa khi chưa bị khoét và mỗi phần khoét đối với trục vuông góc với đĩa và đi qua tâm O của đĩa Ta có:

Với

) ( I1 I2I

4) Tìm mômen quán tính của bản mỏng đồng chất hình chữ nhật khối lượng m, các cạnh là a và b đối với trục vuông góc với mặt

Momen QT đối với trục đi qua khối tâm và thẳng góc với mặt bảng

dx a

m bdx

ab

m dm

x dm b

dm dI

112

MMQT đối với trục đi qua một đỉnh của bảng và thẳng góc với mặt bảng Áp dụng ĐL Steiner –

Huyghen

 2 2 

2 2

3

1 4

b

a m

V Chuyển động của Vật Rắn:

1) Chuyển động tịnh tiến:

Vật rắn chuyển động tịnh tiến khi vectơ nối hai điểm M,N bất kỳ của nó không đổi trong quá trình chuyển động

Lấy đạo hàm hai vế, ta suy ra

c

MN   

Vậy các chất điểm của VR đều có cùng vectơ vận tốc và gia tốc Do đó để xác định chuyển động

tịnh tiến của VR, ta chỉ cần xác định chuyển động của một điểm trên VR, thường chọn khối tâm.

Chú ý: Trong chuyển động tịnh tiến QĐ của các

chất điểm của vật rắn có thể là các đường cong

Phương trình chuyển động tịnh tiến của VR

M là khối luợng của VR

là tổng các ngoại lực tác dụng vào VR

a M

F 

F



2 Chuyển động quay quanh một trục cố định

VR (cố thể) chuyển động quay quanh một trục cố định nếu có hai điểm đứng yên Mọi chất điểm

nằm trên đường nối hai điểm này, gọi là trục

quay của VR, cũng đứng yên Các chất điểm

không nằm trên trục quay chuyển động tròn có tâm nằm trên trục và bán kính bằng khoảng cách

từ chất điểm đến trục quay.

Khi VR quay quanh một trục cố định thì:

* Trong cùng khoảng thời gian, mọi điểm của VR đều quay được cùng một góc θ.

* Tại cùng một thời điểm, mọi điểm của VR đều

a)MMĐL của HCĐ quay quanh một trục cố

MMĐL của chất điểm i đối với điểm O, theo ĐN là:

MMĐL của HCĐ đối với điểm O:

MMĐL của HCĐ đối với trục z

Môđun của là

trong đó R i là khoảng cách từ chất điểm i đến trục quay Vì nằm trên trục z nên hình chiếu của lên trục z là:

b)Mômen ĐL của VR quay quanh một trục cố

định

Khi đó mọi chất điểm của VR đều có cùng vận tốc góc nên các đều bằng nhau và bằng nên :

với I là mômen QT của VR đối với trục quay.

Vì và cùng phương chiều nên:

i



 I I

c) Tác dụng của lực trong chuyển động quay của

VR quanh một trục cố định: Giả thiết có một lực tác dụng lên vật rắn, phân tích ra hai thành

F1  

M O

Trong đó ┴ bán kính OM nghĩa là nằm theo

tiếp tuyến của vòng tròn tâm O bán kính OM còn

nằm theo bán kính OM

Kết quả ta có:

Ta thấy rằng :

- không gây ra chuyển động quay, chỉ có tác

dụng làm vật rắn trượt dọc theo truc quay

- không gây ra chuyển động quay, chỉ có tác

dụng làm vật rắn dời khỏi trục quay.

Vậy trong chuyển động quay của một vật rắn xung quanh một trục chỉ những thành phần lực tiếp

tuyến với quỹ đạo của điểm đặt mới có tác dụng

d) Momen của lực đối với trục quay

nằm trên trục Nên:

Momen lực là đại lượng đặc trưng cho tác dụng của lực trong chuyển động quay.

Momen của lực đối với trục sẽ bằng không khi lực

đó bằng không hoặc khi lực đó đồng phẳng với

truc ∆.

( ) F ( ) Ft r F t

e)Phương trình cơ bản của VR quay quanh trục cố định

Ta có MMĐL của VR đối với trục quay:

Đây là phương trình cơ bản của VR quay quanh trục cố định

Trong đó là tổng mômen của các ngoại lực tác dụng lên vật rắn đối với trục quay, I là momen

quán tính của VR đối với trục quay.

Chú ý: Mômen lực đối với trục có trị đại số

Bài 1: Một đĩa tròn khối lượng m1 = 100kg quay với vận tốc góc ω1 = 10 vòng/phút

Một người khối lượng m2 = 60 kg đứng ở mép đĩa Hỏi vận tốc góc của đĩa khi người

đi vào đứng ở tâm đĩa.

Áp dụng ĐLBTMMĐL đối với trục cho hệ gồm đĩa và người:

phút

vòng m

m m

R m

R m

R m

I I

/ 22

2

2

1 2

1

1 1

2

1 2

2

2 1

1

2 2

2 1

2 2

1 1

Bài 2: Một thanh có chiều dài l quay

xung quanh một trục nằm ngang đi

qua một đầu thanh Lúc đầu, thanh ở

vị trí nằm ngang, sau đó được thả ra Tìm gia tốc góc của thanh lúc bắt đầu thả rơi và lúc thanh đi qua vị trí thẳng đứng

Phương trình chuyển động quay của thanh

Bài 3: Một cột đồng có chiều cao h,

a) Áp dụng ĐLBTCN:

s m

gh h

v

h g

mh I

h mg

E E

/ 2

, 12 3

3

3

1 2

1 2

1 2

2 2

2

2 1

b) Gọi x là độ cao của điểm M khi cột ở vị trí thẳng đứng

Vận tốc chạm đất của vật thả rơi tự do từ vị trí M là:

Theo đầu bài thì :

gx

v M  2

h x

h

g x

gx x

vM

3 2

3 2

3.Chuyển động song phẳng:

Chuyển động song phẳng của vật thể là chuyển

động trong đó tất cả các điểm đều di chuyển song song với một mặt phẳng cố định P nào đó

Ta xét tiết diện S của vật bị cắt bởi mặt phẳng

Oxy nào đó song song với mặt phẳng P Vì trong chuyển động song phẳng, tất cả các điểm của vật nằm trên đường thẳng vuông góc với mặt cắt S đều chuyển động như nhau, nên để xác định

chuyển động của toàn vật thể chỉ cần nghiên cứu chuyển động của mặt cắt S của vật thể trên mặt phẳng Oxy.

Giả sử mặt cắt S là tam giác với các đỉnh ban đầu

ở vị trí A, B, C trong mặt phẳng Oxy, sau khoảng

thời gian ∆t khá bé chúng chiếm các vị trí A’, B’,

C’ cũng thuộc mặt phẳng này Chuyển động của

tam giác có thể thực hiện như sau: - Tịnh tiến

tam giác từ vị trí ban đầu đến vị trí (I) sao cho A

đến trùng với A’, khi đó ABC dời đến A’B”C”.

-Quay tam giác ở vị trí (I) quanh trục qua A’ và

vuông góc với mặt phẳng hình vẽ (Oxy) đến vị trí (II) sao cho B” đến trùng với B’, khi đó C” đến

Tổng quát, người ta chứng minh được rằng:

Chuyển dịch bất kỳ của VR từ vị trí này đến vị trí khác trong khoảng thời gian khá bé, có thể thực hiện được nhờ chuyển động tịnh tiến, tương ứng với chuyển dịch của một điểm và sự quay quanh trục đi qua điểm ấy.

Điểm được chọn để lấy sự dịch chuyển của nó

làm chuyển dịch tịnh tiến gọi là điểm cực

• Xác định vân tốc của các điểm của vât rắn:

Ký hiệu A là cực, vị trí của điểm M thuộc VR:

Lấy đạo hàm theo thời gian:

Trường hợp VR có một điểm cố định thì chuyển động tức thời của VR là chuyển động quay quanh trục, trục tức thời luôn đi qua điểm cố định.

AM OA

• Ttrường hợp chuyển động của VR là chuyển động

lăn không trượt

Khi VR chuyển động lăn không trượt, mặt cắt S của VR là hình tròn thẳng góc với trục quay

Nếu chuyển động củaVR là chuyển động lăn

không trượt của một vật thể ví dụ hình trụ trên

bề mặt của một vật thể cố định khác thì:

Điểm tiếp xúc A có vận tốc tức thời bằng 0 ( V A = 0

vì các tiếp điểm của hai vật khi không trượt lên

nhau phải có cùng vận tốc, mà vật thứ hai là cố

định)

Trong chuyển động lăn không trượt, lực ma sát

không sinh công

Nếu chọn khối tâm G của VR làm điểm cực thì phương trình động lực học miêu tả chuyển động lăn không trượt của VR là:

* PTCĐTT của khối tâm G :

* PTCĐ quay quanh trục đi qua G

là tổng các ngoại lực tác dụng lên VR.

là tổng momen của các ngoại lực đối với trục

I là momen quán tính của VR đối với trục

G

a M

Vận tốc và gia tốc khối tâm trong chuyển động lăn không trượt.

VI Động năng của HCĐ

m M

3) ĐN của VR quay quanh trục cố định:

4) ĐN của VR lăn không trượt:

là ĐN chuyển động tịnh tiến của khối tâm

là ĐN chuyển động quay quanh trục qua khối tâm

VII Công và công suất của VR quay quanh trục cố định

Xét trường hợp một VR quay xung quanh một trục cố định dưới tác dụng của lực tiếp tuyến F t Công vi phân của lực tiếp tuyến là: dA = F t ds

Trong đó ds = rdα , dα là góc quay ứng với

d M dt

dA

.

P  M   

Bài 1: Trên một hình trụ đặc đồng chất có khối lượng M và bán kính R người ta quấn

một sợi chỉ mảnh Một đầu sợi chỉ có

buộc một vật có khối lượng m

Tại lúc t = 0 hệ bắt đầu chuyển động.

2

mg a

M m





Vận tốc của vật tại thời điểm t:

b) Động năng của hệ tại thời điểm t:

M m

R

mgt R

v M

m

mgt at

1 2

2 1

2

1 2

1 2

1 2

1 2

1

2 2

2

2 2

2 2

2

M m

mgt v

M m

R

v MR

mv I

mv

Bài 2: Một quả cầu đồng chất có khối lượng m và bán kính R lăn không trượt trên một mặt phẳng nghiêng tạo thành một góc α với mặt phẳng nằm ngang Tìm:

a) giá trị của hệ số ma sát sao cho sự trượt không xảy ra

b) động năng của quả cầu sau t giây kể từ lúc bắt đầu chuyển động.

PT chuyển động tịnh tiến của khối tâm:

Chiếu lên phương chuyển động của khối tâm:

PT chuyển động quay quanh trục qua KT:

a m F

N g

m   ms 

ma F

mg sin   ms 

2

2

5 2 5

ms ms

Điều kiện để vật không trượt:

b) Động năng của vật sau t giây:



 sin

7

2 sin

7

5

g F

Fms

7

2 cos

sin 7

2

2 2

2 2

2 2

2

sin 14

5 sin

7 5

10

7 5

2 2

1 2

1 2

1 2

1

t mg W

gt at

v

mv R

v mR

mv I

mv W

Bài 3: Từ đỉnh một mặt phẳng

nghiêng cao h, người ta cho một đĩa tròn lăn không trượt trên mặt

phẳng nghiêng đó Tìm vận tốc dài của đĩa ở cuối mặt phẳng nghiêng

h g

as v

g a

3

4 sin

.

sin 3

2 2 2

sin 3

VII Va chạm

Khảo sát bài toán va chạm của hai quả cầu nhỏ chuyển động trên đường thẳng nối liền hai tâm của chúng ( va chạm xuyên tâm)

Khối lượng của hai quả cầu lần lượt là m 1 và m 2 Trước va chạm chúng có vectơ vận tốc là và

v



' 2

v



Động lượng của hệ được bảo toàn nên

Chiếu lên phương chuyển động ta được

(1)

Ta xét hai trường hợp:

1.Va chạm đàn hồi: Động năng của hệ (m 1 và m 2 )

trước và sau va chạm được bảo toàn Do đó:

(2)

2 2 1

1 2

2 1

' 2 2

' 1 1 2

2 1

m   

2 ' 2 2

2 ' 1 1

2 2 2

2 1 1

2

1 2

1 2

1 2

1

v m v

m v

m v

m   

Giải hệ PT (1) và (2) ta được:

2 1

2 2

1 2

1

' 1

2 )

(

m m

v m

v m

m v

1 1 2

1 2

' 2

2 )

(

m m

v m v

m

m v









2.Va chạm mềm: Sau va chạm hai quả cầu dính vào nhau chuyển động cùng vận tốc Vậy (1) trở thành:

Trong va chạm mềm động năng không được bảo toàn mà bị giảm đi Có một phần động năng biến thành nhiệt.

v v

v1'  2' 

2 1

2 2 1

1

2 1

2 2 1

m m

v m v

m v

v m

m v

m v