Bài giản tiểu luận thuyết trình toán rời rạc chương 2 phép đếm

Nếu AB thì ất cả các tập hợp ả các tập hợp ập hợp con.. Nếu AB thì ột tập hợp ập hợp con.. ần bù của A trong B ủa tập hợp con.. Nếu AB thì ột tập hợp ểu đội học sinh gồm 10 người được xế

Ph m Ng c D ạm Ngọc Dương ọc Dương ương ng

Bùi Nguy n M nh C ễn Mạnh Cường ạm Ngọc Dương ường ng

Võ Khôi Vi t ệt

Tr ương ng Minh Châu

Đinh Văn Đ i ạm Ngọc Dương

Hoàng Thanh Huy

I – T P H P ẬP ỢP

1.1 – KHÁI NI M ỆM

Định nghĩa: trong toán học, tập hợp có thể hiểu

vô hạn các đối tượng nào đó

I – T P H P ẬP ỢP

1.1 – KHÁI NI M ỆM

Có nhiều cách để biểu diễn tập hợp

Tập hợp có thể biểu diễn bằng lời

I – T P H P ẬP ỢP

1.1 – KHÁI NI M ỆM

Tập hợp lũy thừa

Ví dụ: tập lũy thừa của tập S={1,2,3} là:

I – T P H P ẬP ỢP

1.2- CÁC PHÉP TOÁN TRÊN T P H P ẬP ỢP

a/ Hợp: hợp của A và B là tập hợp tất cả các phần tử thuộc ít nhất một trong hai tập hợp A và B

kí hiệu là A B

I – T P H P ẬP ỢP

1.2- CÁC PHÉP TOÁN TRÊN T P H P ẬP ỢP

b/ Giao: giao của hai tập hợp A và B là tập hợp tất

cả các phần tử vừa thuộc A, vừa thuộc B

kí hiệu là A B

I – T P H P ẬP ỢP

1.2- CÁC PHÉP TOÁN TRÊN T P H P ẬP ỢP

c/ Hiệu: hiệu của hai tập hợp A và B là tập hợp tất

cả các phần tử thuộc A nhưng không thuộc B

I – T P H P ẬP ỢP

1.2- CÁC PHÉP TOÁN TRÊN T P H P ẬP ỢP

d/ Hiệu đối xứng của hai tập hợp A và B là tập hợp

I – T P H P ẬP ỢP

1.2- CÁC PHÉP TOÁN TRÊN T P H P ẬP ỢP

e/ Phần bù: là hi u c a t p h p con N u AB thì ệt ủa tập hợp con Nếu AB thì ập hợp con Nếu AB thì ợp con Nếu AB thì ếm

B \ A đượp con Nếu AB thì c g i là ph n bù c a A trong Bọc Dương ần bù của A trong B ủa tập hợp con Nếu AB thì

ký hi u ệt CA

I – T P H P ẬP ỢP

1.2- CÁC PHÉP TOÁN TRÊN T P H P ẬP ỢP

Trong nhi u trều trường hợp, khi tất cả các tập hợp ườngng h p, khi t t c các t p h p ợp con Nếu AB thì ất cả các tập hợp ả các tập hợp ập hợp con Nếu AB thì ợp con Nếu AB thì

đang xét đ u là t p con c a m t t p h p ều trường hợp, khi tất cả các tập hợp ập hợp con Nếu AB thì ủa tập hợp con Nếu AB thì ột tập hợp  ập hợp con Nếu AB thì ợp con Nếu AB thì U (đượp con Nếu AB thì c

g i là ọc Dương T p vũ trập hợp con Nếu AB thì ụ), ngườngi ta thườngng xét ph n bù c a ần bù của A trong B ủa tập hợp con Nếu AB thì

m i t p ỗ Bá Hưng ập hợp con Nếu AB thì A, B, C, đang xét trong t p ập hợp con Nếu AB thì U, khi đó ký

hi u ph n bù không c n ch rõ ệt ần bù của A trong B ần bù của A trong B ỉ rõ  U mà ký hi u đ n ệt ơng

gi n là ả các tập hợp CA,CB, ho c ,   ặc ,  

´𝐴={𝑥∨𝑥∉ 𝐴 }

I – T P H P ẬP ỢP

1.2- CÁC PHÉP TOÁN TRÊN T P H P ẬP ỢP

Hằng đẳng thức tập hợp

I – T P H P ẬP ỢP

1.2- CÁC PHÉP TOÁN TRÊN T P H P ẬP ỢP

Hằng đẳng thức tập hợp

I – T P H P ẬP ỢP

1.2- CÁC PHÉP TOÁN TRÊN T P H P ẬP ỢP

Chứng minh tập hợp bằng nhau

Tức là (đpcm)

II HOÁN V ,T H P VÀ CH NH H P Ị,TỔ HỢP,CHỈNH HỢP Ổ HỢP,CHỈNH HỢP ỢP ỈNH HỢP ỢP

CÔNG TH C NH TH C NEWTON ỨC NHỊ THỨC NEWTON Ị,TỔ HỢP,CHỈNH HỢP ỨC NHỊ THỨC NEWTON

2.1 Hoán vị

Bài toán :

Trong gi h c môn Giáo d c qu c phòng, m t ờng ọc Dương ụ ốc phòng, một ột tập hợp 

ti u đ i h c sinh g m 10 ng ểu đội học sinh gồm 10 người được xếp thành ột tập hợp  ọc Dương ồm 10 người được xếp thành ường i đ ượp con Nếu AB thì c x p thành ếm

m t hàng d c H i có bao nhiêu cách x p? ột tập hợp  ọc Dương ỏi có bao nhiêu cách xếp? ếm

Có bao nhiêu cách s p ắng

x p???? ếm

2.1 HOÁN VỊ,TỔ HỢP,CHỈNH HỢP

 Tr l i: ả các tập hợp ờng

 Đ nh nghĩa hoán v ị ị :

Cho t p h p ập hợp con Nếu AB thì ợp con Nếu AB thì A g m ồm 10 người được xếp thành n ph n t ần bù của A trong B ử

khác nhau(n>0).Khi s p x p ph n t ắng ếm ần bù của A trong B ử này theo m t th t ột thứ tự ứ tự ự , ta đ ượp con Nếu AB thì c m t ột tập hợp 

Các cách x p 10 ng ếm ường i vào hàng là m t ột tập hợp 

hoán vị c a 10 ng ủa tập hợp con Nếu AB thì ường i đó.

Ví d 1 ụ 1 : S p x p 6 h c sinh vào vào 6 cái gh ắng ếm ọc Dương ếm

H i có bao nhiêu cách s p x p? ỏi có bao nhiêu cách xếp? ắng ếm

 Ví d 1 ụ 1 : Cho A ={a,b,c} Khi đó A có các hoán v ị các phần tử của tập sau:

 Ví d 2: ụ 1

 Cho X ={1,2,3,4,5} H i có bao nhiêu s t nhiên ỏi có bao nhiêu cách xếp? ốc phòng, một ự nhiên

g m 5 ch s khác nhau đ ồm 10 người được xếp thành ữ số khác nhau được tạo từ tập X →5! ốc phòng, một ượp con Nếu AB thì c t o t t p X 5! ạm Ngọc Dương ừ tập X →5! ập hợp con Nếu AB thì →5!

2.1 HOÁN VỊ,TỔ HỢP,CHỈNH HỢP

2.2CH NH H P ỈNH HỢP ỢP

 Ch nh h p: ỉnh hợp: ợp:

Bài toán: Trong tr n chung k t bóng đá ph i ập hợp con Nếu AB thì ếm ả các tập hợp

phân đ nh th ng thua b ng đá luân l u 11m ị các phần tử của tập ắng ằng đá luân lưu 11m ư

Hu n luy n viên c a m i đ i c n trình v i tr ng ất cả các tập hợp ệt ủa tập hợp con Nếu AB thì ỗ Bá Hưng ột tập hợp  ần bù của A trong B ới trọng ọc Dương tài m t danh sách s p th t 5 c u th trong s ột tập hợp  ắng ứ tự 5 cầu thủ trong số ự nhiên ần bù của A trong B ủa tập hợp con Nếu AB thì ốc phòng, một

11 c u th c a đ i đ tham gia đá ần bù của A trong B ủa tập hợp con Nếu AB thì ủa tập hợp con Nếu AB thì ột tập hợp  ểu đội học sinh gồm 10 người được xếp thành

Có bao nhiêu cách s p ắng

2.2 CH NH H P ỈNH HỢP ỢP

 Tr l i: ả các tập hợp ờng

 Đ nh nghĩa ch nh h p ị ỉnh hợp: ợp: :

 Cho A là t p h p g m n ph n t (khác nhau) ập hợp con Nếu AB thì ợp con Nếu AB thì ồm 10 người được xếp thành ần bù của A trong B ử

M i b ph n g m k ph n t ( 0 k n) ỗ Bá Hưng ột tập hợp  ập hợp con Nếu AB thì ồm 10 người được xếp thành ần bù của A trong B ử

s p th t c a t p h p A đ ắng ứ tự 5 cầu thủ trong số ự nhiên ủa tập hợp con Nếu AB thì ập hợp con Nếu AB thì ợp con Nếu AB thì ượp con Nếu AB thì c g i là m t ọc Dương ột tập hợp 

ch nh h p ch p k c a n ph n t ỉ rõ  ợp con Nếu AB thì ập hợp con Nếu AB thì ủa tập hợp con Nếu AB thì ần bù của A trong B ử

Danh sách có x p ếm th t ứ tự ự 5 c u th đ ần bù của A trong B ủa tập hợp con Nếu AB thì ượp con Nếu AB thì c

g i là m t ọc Dương ột tập hợp  ch nh h p ỉnh hợp: ợp: ch p 5 c a 11 c u ập hợp con Nếu AB thì ủa tập hợp con Nếu AB thì ần bù của A trong B

th ủa tập hợp con Nếu AB thì

 

 Công th c : ứ tự 5 cầu thủ trong số

Nh n xét ận xét : Hai Ch nh h p khác ỉ rõ  ợp con Nếu AB thì

nhau khi và ch khi ho c có ít nh t ỉ rõ  ặc ,   ất cả các tập hợp

m t ph n t c a Ch nh h p này ột tập hợp  ần bù của A trong B ử ủa tập hợp con Nếu AB thì ỉ rõ  ợp con Nếu AB thì

không là ph n t ần tử ử c a Ch nh h p ủa tập hợp con Nếu AB thì ỉ rõ  ợp con Nếu AB thì kia ho c các ph n t c a Ch nh ặc ,   ần bù của A trong B ử ủa tập hợp con Nếu AB thì ỉ rõ 

Công th c: ứ tự 5 cầu thủ trong số =

n



Ví d 1: ụ 1: Cho X ={abc}.

Khi đó X có các ch nh h p ch p 2 c a 3 ỉ rõ  ợp con Nếu AB thì ập hợp con Nếu AB thì ủa tập hợp con Nếu AB thì là:

2.2 CH NH H P ỈNH HỢP ỢP

Ví d 2: ụ 1 Có bao nhiêu s t nhiên g m ốc phòng, một ự nhiên ồm 10 người được xếp thành

3 ch s đ ữ số khác nhau được tạo từ tập X →5! ốc phòng, một ượp con Nếu AB thì c t o thành t 1,2,3,4,5,6 ạm Ngọc Dương ừ tập X →5!

ab, ba, ac, ca, bc, cb

.

2.3 T H P Ổ HỢP,CHỈNH HỢP ỢP

 T h p: ổ hợp: ợp:

 Bài toán:

 M t nhóm có 8 thành viên ,ch n 3 ng ột tập hợp  ọc Dương ường i lên

thuy t trình.H i có bao nhiêu cách ch n ???? ếm ỏi có bao nhiêu cách xếp? ọc Dương

Đáp Án :

Ch n 3 ng ọc Dương ường i trong 8 ng ường i là m t ột tập hợp 

t h p ch p 3 c a 8 ổ hợp chập 3 của 8 ợp con Nếu AB thì ập hợp con Nếu AB thì ủa tập hợp con Nếu AB thì

 Đ nh nghĩa: ị các phần tử của tập

 Cho A có n ph n t và s nguyên k v i 0 k n ần bù của A trong B ử ốc phòng, một ới trọng

M i t p con c a A có k ph n t g i là m t t h p ỗ Bá Hưng ập hợp con Nếu AB thì ủa tập hợp con Nếu AB thì ần bù của A trong B ử ọc Dương ột tập hợp  ổ hợp chập 3 của 8 ợp con Nếu AB thì

ch p k c a n ph n t (g i t t là t h p ch p k ập hợp con Nếu AB thì ủa tập hợp con Nếu AB thì ần bù của A trong B ử ọc Dương ắng ổ hợp chập 3 của 8 ợp con Nếu AB thì ập hợp con Nếu AB thì

c a A) ủa tập hợp con Nếu AB thì

 Đ nh lý: ị các phần tử của tập S các t h p ch p k c a n ph n t ốc phòng, một ổ hợp chập 3 của 8 ợp con Nếu AB thì ập hợp con Nếu AB thì ủa tập hợp con Nếu AB thì ần bù của A trong B ử

 Tính ch t: ất cả các tập hợp

=

= = 1

= = n

= + ( k 1)

Khác nhau c a ch nh h p và t h p?? ủa tập hợp con Nếu AB thì ỉ rõ  ợp con Nếu AB thì ổ hợp chập 3 của 8 ợp con Nếu AB thì

Ch nh h p : quan tâm đ n ỉ rõ  ợp con Nếu AB thì ếm th t ứ tự ự c a ủa tập hợp con Nếu AB thì các ph n t , còn t h p thì không ần bù của A trong B ử ổ hợp chập 3 của 8 ợp con Nếu AB thì

Ví d 1: ụ 1 Cho X = {1,2,3,4} T h p ch p ổ hợp chập 3 của 8 ợp con Nếu AB thì ập hợp con Nếu AB thì

3 c a 4 ph n t c a X là : ủa tập hợp con Nếu AB thì ần bù của A trong B ử ủa tập hợp con Nếu AB thì

2.3 T H P Ổ HỢP,CHỈNH HỢP ỢP

Ví d 2: ụ 1 M t l p có 30 h c sinh H i ột tập hợp  ới trọng ọc Dương ỏi có bao nhiêu cách xếp?

có bao nhiêu cách ch n 10 b n ọc Dương ạm Ngọc Dương

-S cách ch n là t h p ch p 10 c a ốc phòng, một ọc Dương ổ hợp chập 3 của 8 ợp con Nếu AB thì ập hợp con Nếu AB thì ủa tập hợp con Nếu AB thì

{1,2,3}, {1,2,4}, {1,3,4} , {2,3,4}

 S các s h n c a công th c là n+1 ốc phòng, một ốc phòng, một ạm Ngọc Dương ủa tập hợp con Nếu AB thì ứ tự 5 cầu thủ trong số

 T ng các s mũ c a x và y trong m i ổ hợp chập 3 của 8 ốc phòng, một ủa tập hợp con Nếu AB thì ỗ Bá Hưng

s h ng luôn luôn b ng s mũ c a nh ốc phòng, một ạm Ngọc Dương ằng đá luân lưu 11m ốc phòng, một ủa tập hợp con Nếu AB thì ị các phần tử của tập

 S h ng t ng quát c a nh th c là: : ốc phòng, một ạm Ngọc Dương ổ hợp chập 3 của 8 ủa tập hợp con Nếu AB thì ị các phần tử của tập ứ tự 5 cầu thủ trong số

 Các h s nh th c cách đ u hai s h n đ u và ệt ốc phòng, một ị các phần tử của tập ứ tự 5 cầu thủ trong số ều trường hợp, khi tất cả các tập hợp ốc phòng, một ạm Ngọc Dương ần bù của A trong B

cu i thì b ng nhau ốc phòng, một ằng đá luân lưu 11m



(x+y)6 = x0y6 + x1y5 + x2y4 + x3y3 +

+ x4y2 + x5y1 + x6y0

2.4 NH TH C NEWTON Ị,TỔ HỢP,CHỈNH HỢP ỨC NHỊ THỨC NEWTON

C06 C16 C62 C36

C64 C56 C66

2.4 NH TH C NEWTON Ị,TỔ HỢP,CHỈNH HỢP ỨC NHỊ THỨC NEWTON

 M t s khai tri n hay s d ng: ột tập hợp  ốc phòng, một ểu đội học sinh gồm 10 người được xếp thành ử ụ

2.5 HOÁN V L P: Ị,TỔ HỢP,CHỈNH HỢP ẶP:

Đ nh nghĩa: ị các phần tử của tập

Cho đ i t ốc phòng, một ượp con Nếu AB thì ng, trong đó có đ i t ốc phòng, một ượp con Nếu AB thì ng lo i i gi ng ạm Ngọc Dương ốc phòng, một

h t nhau và ệt

M i cách s p x p có th t n đ i t ỗ Bá Hưng ắng ếm ứ tự 5 cầu thủ trong số ự nhiên ốc phòng, một ượp con Nếu AB thì ng đã cho g i ọc Dương

là m t ột tập hợp  hoán v l p ị lặp ặp c a n. ủa tập hợp con Nếu AB thì

S phép hoán v l p c a n ph n t trong đó n1 đ i ốc phòng, một ị các phần tử của tập ặc ,   ủa tập hợp con Nếu AB thì ần bù của A trong B ử ốc phòng, một

t ượp con Nếu AB thì ng gi ng nhau thu c lo i 1, n2 đ i t ốc phòng, một ột tập hợp  ạm Ngọc Dương ốc phòng, một ượp con Nếu AB thì ng gi ng ốc phòng, một nhau thu c lo i 2,…, nk đ i t ột tập hợp  ạm Ngọc Dương ốc phòng, một ượp con Nếu AB thì ng gi ng nhau ốc phòng, một

thu c lo i k, là ột tập hợp  ạm Ngọc Dương

Ví d : ụ

Có bao nhiêu chu i kí t khác nhau b ng cách s p ỗ Bá Hưng ự nhiên ằng đá luân lưu 11m ắng

x p các ch cái c a t SUCCESS? ếm ữ số khác nhau được tạo từ tập X →5! ủa tập hợp con Nếu AB thì ừ tập X →5!

Gi i ả các tập hợp Trong t SUCCESS có 3 ch S, 1 ừ tập X →5! ữ số khác nhau được tạo từ tập X →5!

ch U, ữ số khác nhau được tạo từ tập X →5!

2 ch C và 1 ch E Do đó s chu i có ữ số khác nhau được tạo từ tập X →5! ữ số khác nhau được tạo từ tập X →5! ốc phòng, một ỗ Bá Hưng

đ ượp con Nếu AB thì c là :

2.6 T H P L P Ổ HỢP,CHỈNH HỢP ỢP ẶP:

Ví d Có 3 lo i nón A, B, C An mua 2 cái nón ụ ạm Ngọc Dương

H i An có bao nhiêu cách ch n ỏi có bao nhiêu cách xếp? ọc Dương

Ta có m i cách ch n là m i t h p l p ỗ Bá Hưng ọc Dương ỗ Bá Hưng ổ hợp chập 3 của 8 ợp con Nếu AB thì ặc ,  

ch p 2 c a 3 C th AA, AB, AC, BB, BC, ập hợp con Nếu AB thì ủa tập hợp con Nếu AB thì ụ ểu đội học sinh gồm 10 người được xếp thành CC

2.6 T h p l p ổ hợp: ợp: ặp

H qu : ệt ả các tập hợp

S nghi m nguyên không âm (, ,…, ) (m i đ u ốc phòng, một ệt ỗ Bá Hưng ều trường hợp, khi tất cả các tập hợp

nguyên không âm) c a ph ủa tập hợp con Nếu AB thì ương ng trình , ,…, = k là

=

S cách chia k v t đ ng ch t nhau vào n h p phân ốc phòng, một ập hợp con Nếu AB thì ồm 10 người được xếp thành ất cả các tập hợp ột tập hợp 

bi t cũng chính b ng s t h p l p ch p k c a n: ệt ằng đá luân lưu 11m ốc phòng, một ổ hợp chập 3 của 8 ợp con Nếu AB thì ặc ,   ập hợp con Nếu AB thì ủa tập hợp con Nếu AB thì

=

3.4 Nguyên lý chu ng chim b câu ồm 10 người được xếp thành ồm 10 người được xếp thành

3.4 Nguyên lý chu ng chim b câu ồm 10 người được xếp thành ồm 10 người được xếp thành

3.1 Nguyên lý c ng ột tập hợp 

 Gi s đ làm công vi c A có 2 ph ả các tập hợp ử ểu đội học sinh gồm 10 người được xếp thành ệt ương ng pháp

3.1 – NGUYÊN LÝ C NG ỘNG

Ví d : An có 3 áo tay dài và 5 áo tay ng n , đ ụ : An có 3 áo tay dài và 5 áo tay ngắn , đế ắn , đế ế

ch n 1 cái thì An có m y cách ch n ? ọn 1 cái thì An có mấy cách chọn ? ấy cách chọn ? ọn 1 cái thì An có mấy cách chọn ?

3 M r ng ở rộng ộng

Khi đó:

3.2.Nguyên lý nhân

 Gi s làm công vi c A c n 2 bả các tập hợp ử ệt ần bù của A trong B ưới trọng c

H i có bao nhiêu s t nhiên có 3 ch s khác ỏi có bao nhiêu cách xếp? ốc phòng, một ự nhiên ữ số khác nhau được tạo từ tập X →5! ốc phòng, một

3.3 Nguyên lý bù trừ tập X →5!

3.3 Nguyên lý bù trừ tập X →5!

N u không có gi thi t A,B là 2 t p h p r i nhau, ta có ếm ả các tập hợp ếm ập hợp con Nếu AB thì ợp con Nếu AB thì ờngnguyên lý t ng quát:ổ hợp chập 3 của 8

Công th c ứ tự 5 cầu thủ trong số (1) còn g i là nguyên lý bù tr cho 2 t p h pọc Dương ừ tập X →5! ập hợp con Nếu AB thì ợp con Nếu AB thì

Công th c ứ tự 5 cầu thủ trong số (1) còn g i là nguyên lý bù tr cho 2 t p h pọc Dương ừ tập X →5! ập hợp con Nếu AB thì ợp con Nếu AB thì

3.3 – NGUYÊN LÝ BÙ TRỪ

1 Công th c ức

3.3 – NGUYÊN LÝ BÙ TRỪ

T ng quát h n, ta có: ổ hợp chập 3 của 8 ơng

T ng quát h n, ta có: ổ hợp chập 3 của 8 ơng

Đ nh lý: Gi s , , ,…, là n t p h p h u h n Khi đó:ị các phần tử của tập ả các tập hợp ử ập hợp con Nếu AB thì ợp con Nếu AB thì ữ số khác nhau được tạo từ tập X →5! ạm Ngọc Dương

3.3 – NGUYÊN LÝ BÙ TRỪ

Chúng ta bi t r ng s các t p giao ếm ằng đá luân lưu 11m ốc phòng, một ập hợp con Nếu AB thì là , s các t p giao ốc phòng, một ập hợp con Nếu AB thì là ,

… T ng quát s các t p giao c a r t p là , ổ hợp chập 3 của 8 ốc phòng, một ập hợp con Nếu AB thì ủa tập hợp con Nếu AB thì ập hợp con Nếu AB thì r=1,2,…,n.

Công th c ứ tự 5 cầu thủ trong số (2) đ ượp con Nếu AB thì c ch ng minh b ng cách ch ra r ng m i ứ tự 5 cầu thủ trong số ằng đá luân lưu 11m ỉ rõ  ằng đá luân lưu 11m ỗ Bá Hưng

ph n t c a t p h p đ ần bù của A trong B ử ủa tập hợp con Nếu AB thì ập hợp con Nếu AB thì ợp con Nếu AB thì ượp con Nếu AB thì c đ m đúng 1 l n v ph i c a ếm ần bù của A trong B ở vế phải của ếm ả các tập hợp ủa tập hợp con Nếu AB thì

(2).

Xét ph n t tùy ý x c a t p h p , gi s x có m t trong r t p ẩn tử tùy ý x của tập hợp , giả sử x có mặt trong r tập ử ủa tập hợp con Nếu AB thì ập hợp con Nếu AB thì ợp con Nếu AB thì ả các tập hợp ử ặc ,   ập hợp con Nếu AB thì

c a ủa tập hợp con Nếu AB thì , ,…, trong đó r= 1,2,…,n Ph n t x này đ ần bù của A trong B ử ượp con Nếu AB thì c đ m l n ếm ần bù của A trong B trong , đ m trong t ng , b i v y t ng các l n đ m c a x ếm ổ hợp chập 3 của 8 ở vế phải của ập hợp con Nếu AB thì ổ hợp chập 3 của 8 ần bù của A trong B ếm ủa tập hợp con Nếu AB thì ở vế phải của

v ph i c a (2) là: ếm ả các tập hợp ủa tập hợp con Nếu AB thì

Chúng ta bi t r ng s các t p giao ếm ằng đá luân lưu 11m ốc phòng, một ập hợp con Nếu AB thì là , s các t p giao ốc phòng, một ập hợp con Nếu AB thì là ,

… T ng quát s các t p giao c a r t p là , ổ hợp chập 3 của 8 ốc phòng, một ập hợp con Nếu AB thì ủa tập hợp con Nếu AB thì ập hợp con Nếu AB thì r=1,2,…,n.

Công th c ứ tự 5 cầu thủ trong số (2) đ ượp con Nếu AB thì c ch ng minh b ng cách ch ra r ng m i ứ tự 5 cầu thủ trong số ằng đá luân lưu 11m ỉ rõ  ằng đá luân lưu 11m ỗ Bá Hưng

ph n t c a t p h p đ ần bù của A trong B ử ủa tập hợp con Nếu AB thì ập hợp con Nếu AB thì ợp con Nếu AB thì ượp con Nếu AB thì c đ m đúng 1 l n v ph i c a ếm ần bù của A trong B ở vế phải của ếm ả các tập hợp ủa tập hợp con Nếu AB thì

(2).

Xét ph n t tùy ý x c a t p h p , gi s x có m t trong r t p ẩn tử tùy ý x của tập hợp , giả sử x có mặt trong r tập ử ủa tập hợp con Nếu AB thì ập hợp con Nếu AB thì ợp con Nếu AB thì ả các tập hợp ử ặc ,   ập hợp con Nếu AB thì

c a ủa tập hợp con Nếu AB thì , ,…, trong đó r= 1,2,…,n Ph n t x này đ ần bù của A trong B ử ượp con Nếu AB thì c đ m l n ếm ần bù của A trong B trong , đ m trong t ng , b i v y t ng các l n đ m c a x ếm ổ hợp chập 3 của 8 ở vế phải của ập hợp con Nếu AB thì ổ hợp chập 3 của 8 ần bù của A trong B ếm ủa tập hợp con Nếu AB thì ở vế phải của

v ph i c a (2) là: ếm ả các tập hợp ủa tập hợp con Nếu AB thì

2 Ch ng minh ức