Bài giản tiểu luận thuyết trình toán rời rạc chương 2 phép đếm 1

Định nghĩa: trong toán học, tập hợp có thể hiểu tổng quát là một sự tụ tập của một số hữu hạn hay vô hạn các đối tượng nào đó Nếu a là phần tử của tập hợp A, ta kí hiệu aA Và a không là

Phạm Ngọc Dương

Bùi Nguyễn Mạnh Cường

Võ Khôi Việt

Trương Minh Châu

Đinh Văn Đại

Hoàng Thanh Huy

Đỗ Bá Hưng

Phạm Cao Thắng

GIẢNG VIÊN HƯỚNG DẪN

Thực hiện:

CHƯƠNG 2 PHÉP ĐẾM

ĐH QG TPHCM

ĐH CNTT

NỘI DUNG

Định nghĩa: trong toán học, tập hợp có thể hiểu tổng quát là một sự tụ tập của một số hữu

hạn hay vô hạn các đối tượng nào đó

Nếu a là phần tử của tập hợp A, ta kí hiệu aA

Và a không là phần tử của tập hợp A

kí hiệu aA

Hai tập hợp A và B bằng nhau khi mỗi phần

tử của A đều thuộc B và ngược lại, kí hiệu A = B

Tập hợp không chứa phần tử nào gọi là tập

Có nhiều cách để biểu diễn tập hợp

Tập hợp có thể biểu diễn bằng lời

Định nghĩa: cho 2 tập hợp A và B A bao hàm trong tập B nếu mỗi phần tử của A đều thuộc tập hợp B

Quan hệ “bao hàm trong” và tập hợp con

Tính chất:

 ∅ ⊂ 𝐴 𝑣à 𝐴 ⊂ 𝐴, 𝑣ớ𝑖 𝑚ọ𝑖 𝑡ậ𝑝 𝐴

a/ Hợp: hợp của A và B là tập hợp tất cả các phần tử thuộc ít nhất một trong hai tập hợp A và B

kí hiệu là A ∪ B

Ta có A ∪ B = {x: x ∈ A hoặc x ∈ B}

b/ Giao: giao của hai tập hợp A và B là tập hợp tất

cả các phần tử vừa thuộc A, vừa thuộc B

kí hiệu là A ∩ B

c/ Hiệu: hiệu của hai tập hợp A và B là tập hợp tất cả các phần tử thuộc A nhưng không thuộc B

kí hiệu là A \ B

A

B

A \B

d/ Hiệu đối xứng của hai tập hợp A và B là tập hợp

𝐴 △ 𝐵 ≔ (𝐴\B)⋃(𝐵\A)

e/ Phần bù: là hiệu của tập hợp con Nếu A⊂ B thì

B \ A đƣợc gọi là phần bù của A trong B

ký hiệu CA

B (hay CB A)

Trong nhiều trường hợp, khi tất cả các tập hợp đang

xét đều là tập con của một tập hợp U (được gọi

là Tập vũ trụ), người ta thường xét phần bù của mỗi

tập A, B, C, đang xét trong tập U, khi đó ký hiệu

phần bù không cần chỉ rõ U mà ký hiệu đơn giản

là CA,CB, hoặc , 𝐴 , 𝐵

𝐴 = *𝑥|𝑥 ∉ 𝐴+

Hằng đẳng thức tập hợp

Hằng đẳng thức tập hợp

Chứng minh tập hợp bằng nhau

Chứng minh tập hợp bằng nhau

Ví dụ: chứng minh 𝐴 ∩ 𝐵 = 𝐴 ∪ 𝐵

Giả sử 𝑥 ∈ 𝐴 ∩ 𝐵 ⇒ 𝑥 ∉ 𝐴⋂𝐵 Kéo theo 𝑥 ∉ 𝐴 ℎ𝑜ặ𝑐 𝑥 ∉ 𝐵

Suy ra 𝑥 ∈ 𝐴 ℎ𝑜ặ𝑐 𝑥 ∈ 𝐵

Tổng quát hóa:

𝐴1 ∪ 𝐴2 … ∪ 𝐴𝑛 = ∪𝑖=1𝑛 𝐴𝑖

= *𝑥|𝑥 ∈ 𝐴1 ∨ 𝑥 ∈ 𝐴 1 ∨ ⋯ ∨ 𝑥 ∈ 𝐴 𝑛 +

𝐴1 ∩ 𝐴2 … ∩ 𝐴𝑛 = ∩𝑖=1𝑛 𝐴𝑖

Cho A,B là hai tập hợp Tích descartes của A

và B được định nghĩa như sau:

𝐴 × 𝐵 = *(𝑎, 𝑏)|𝑎 ∈ 𝐴, 𝑏 ∈ 𝐵+

Chú ý rằng: 𝐴 × 𝐵 ≠ 𝐵 × 𝐴 𝐷ĩ 𝑛ℎ𝑖ê𝑛 𝐴 × ∅ = ∅

Ví dụ: 𝐴 = 0,1 𝑣à 𝐵 = 𝑎, 𝑏, 𝑐 Khi đó 𝐴 × 𝐵 = 0, 𝑎 , 0, 𝑏 , 0, 𝑐 , 1, 𝑎 , 1, 𝑏 , 1, 𝑐

𝐵 × 𝐴 = 𝑎, 0 , 𝑎, 1 , 𝑏, 0 , 𝑏, 1 , 𝑐, 0 , 𝑐, 1

Tổng quát descartes của n tập hợp

𝐴 × 𝐴 × ⋯ × 𝐴 =

2.1 Hoán vị

Bài toán :

Trong giờ học môn Giáo dục quốc phòng, một tiểu đội học sinh gồm 10 người được xếp thành một hàng dọc Hỏi có bao nhiêu cách xếp?

Có bao nhiêu cách sắp

xếp????

 Trả lời:

 Định nghĩa hoán vị :

Cho tập hợp A gồm n phần tử

khác nhau(n>0).Khi sắp xếp phần tử này theo một thứ tự , ta được một

Hoán vị các phần tử của tập A

Các cách xếp 10 người vào hàng là một

hoán vị của 10 người đó

 Định lý:

Số các Hoán vị của một tập hợp có phần

tử là: Pn= n!=n(n-1) 2.1

Quy ước : 0! = 1

Ví dụ 1 : Sắp xếp 6 học sinh vào vào 6 cái ghế

Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp?

Đáp án: P = 6!=1.2.3…6=720

 Ví dụ 1: Cho A ={a,b,c} Khi đó A có các hoán vị sau:

 Chỉnh hợp:

 Bài toán: Trong trận chung kết bóng đá phải phân

định thắng thua bằng đá luân lưu 11m Huấn luyện viên của mỗi đội cần trình với trọng tài một danh sách sắp thứ tự 5 cầu thủ trong số 11 cầu thủ của đội để tham gia đá

Có bao nhiêu cách sắp

 Trả lời:

 Định nghĩa chỉnh hợp :

 Cho A là tập hợp gồm n phần tử (khác nhau) Mỗi bộ phận gồm k phần tử( 0 k n) sắp thứ tự của tập hợp A đƣợc gọi là một

chỉnh hợp chập k của n phần tử

 Số các chỉnh hợp chập k của n phần tử ký

Danh sách có xếp thứ tự 5 cầu thủ đƣợc gọi là một chỉnh hợp chập 5 của 11 cầu

thủ

ab, ba, ac, ca, bc, cb

𝐴36

 Tổ hợp:

 Bài toán:

 Một nhóm có 8 thành viên ,chọn 3 người lên

thuyết trình.Hỏi có bao nhiêu cách chọn ????

Đáp Án :

Chọn 3 người trong 8 người là một

tổ hợp chập 3 của 8

 Định nghĩa:

 Cho A có n phần tử và số nguyên k với 0 k n Mỗi tập con của A có k phần tử gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử(gọi tắt là tổ hợp chập k của A)

Khác nhau của chỉnh hợp và tổ hợp??

Chỉnh hợp : quan tâm đến thứ tự

của các phần tử, còn tổ hợp thì không

 Tổng các số mũ của x và y trong mỗi

số hạng luôn luôn bằng số mũ của nhị

C06 C16 C62 C36

C46 C56 C66

 Một số khai triển hay sử dụng:

thuộc loại k, là

𝒏!

Định nghĩa:

Có n loại vật, mỗi loại vật có nhiều vật giống hệt nhau (không phân biệt) Chọn ra k vật thể (có thể chọn các vật thể giống nhau)

Số cách chọn:

𝑪 𝒏+𝒌−𝟏 𝒌

Ví dụ Có 3 loại nón A, B, C An mua 2 cái nón

Hỏi An có bao nhiêu cách chọn

2.6 Tổ hợp lặp

Hệ quả :

Số nghiệm nguyên không âm (𝑥1, 𝑥2,…, 𝑥𝑛) (mỗi

𝑥𝑖đều nguyên không âm) của phương trình 𝑥1, 𝑥2,…,

 Giả sử để làm công việc A có 2 phương pháp

Ví dụ : An có 3 áo tay dài và 5 áo tay ngắn , đế

chọn 1 cái thì An có mấy cách chọn ?

3 Mở rộng

𝑋 = 𝐴1 ∪ 𝐴2 ∪ ⋯ ∪ 𝐴𝑛

Khi đó: 𝑁 𝑋 = 𝑁(𝐴1 + 𝑁 𝐴2 + ⋯ + 𝑁(𝐴𝑛)

 Giả sử làm công việc A cần 2 bước

Hỏi có bao nhiêu số tự nhiên có 3 chữ số khác

nhau mà chia hết cho 2

Nếu không có giả thiết A,B là 2 tập hợp rời nhau, ta có nguyên lý tổng quát:

Tổng quát hơn, ta có:

Định lý: Giả sử 𝐴1, 𝐴2, 𝐴3,…, 𝐴𝑛 là n tập hợp hữu hạn Khi đó:

𝐴1 ∪ 𝐴2 ∪ .∪ 𝐴𝑛 =

= 𝑛𝑖=1𝐴𝑖 − (𝐴𝑖≠𝑗 𝑖∩ 𝐴𝑗) + 𝑖≠𝑗≠𝑘(𝐴𝑖+𝐴𝑗 + 𝐴𝑘) + + −1 𝑛−1(𝐴1 ∩ 𝐴2 ∩ .∩

𝐴𝑛) (2)

tử x này đƣợc đếm 𝐶𝑟1 lần trong 𝐴𝑖, đếm 𝐶𝑟2 trong tổng

𝐴𝑖 ∩ 𝐴𝑗, bởi vậy tổng các lần đếm của x ở vế phải của (2)

là:

2 Chứng minh

Ví dụ: Trong một lớp ngoại ngữ Anh Pháp Có 24

HS học Tiếng Pháp, 26 học sinh học Tiếng Anh 15

học sinh học Tiếng Anh và Tiếng Pháp Hỏi lớp có

bao nhiêu người ?

Giải

Gọi A là những học sinh học Tiếng Pháp

B là những học sinh học Tiếng Anh

Khi đó số học sinh của lớp là 𝐴 ∪ 𝐵 Theo nguyên lý

bù trừ ta có:

𝐴 ∪ 𝐵 = 𝐴 + 𝐵 − 𝐴 ∩ 𝐵 = 26 + 24 − 15 = 35

Nguyên lý Dirichlet do nhà toán học người Đức là

Dirichlet đề xuất từ thế kỉ XX đã được áp dụng để

chứng minh sự tồn tại nghiệm trong nhiều bài toán tổ hợp Nguyên lý này được phát triển từ mệnh đề gọi là nguyên lý “nguyên lý quả cam” hay là nguyên

lý “chuồng chim bồ câu”: Giả sử có một đàn chim bồ

câu bay vào chuồng Nếu số chim nhiều hơn số ngăn

chuồng thì chắc chắn có ít nhất một ngăn có nhiều hơn một con chim

1 Giới thiệu

Một cách tổng quát, nguyên lý Dirichlet đƣợc phát biểu nhƣ sau:

Nếu xếp nhiều hơn n+1 đối tƣợng vào n cái hộp thì tồn tại ít nhất một hộp chứa không ít hơn hai đối tƣợng

- Chứng bằng lập luận phản chứng: Giả sử không

hộp nào chứa nhiều hơn một đối tƣợng thì chỉ có nhiều

2 Nguyên lý Dirichlet cơ bản

con, thì số thỏ trong mỗi chuồng đều nhỏ hơn hoặc

bằng 𝑛−1𝑚 con Từ đó suy ra tổng số con thỏ không

vƣợt quá 𝑚 × 𝑛−1𝑚 ≥ 𝑛 − 1 con Điều này vô lý vì có n

Ví dụ : Cho tập X ={1,2,3,4,5,6,7,8,9} Lấy A là tập hợp con của X gồm 6 phần tử Khi đó trong A sẽ có 2 phần tử