Bài giản tiểu luận thuyết trình toán rời rạc Quan hệ

CÁC TÍNH CHẤT CỦA QUAN HỆ HAI NGÔICẤU TRÚC RỜI RẠC QUAN HỆ... CÁC TÍNH CHẤT NẾU CÓ CỦA QUAN HỆ HAI NGÔI Tính chất 2: Tính đối xứng Quan hệ trên S được gọi là đối xứng nếu: Quan hệ trê

Trang 1

GIỚI THIỆU VỀ NHÓM

Trang 2

Nguyễn Đức Duy 1

Nguyễn Văn Thái

Phan Đình Phong 6

2 Quan hệ

Trang 3

Cấu trúc rời rạc

QUAN HỆ

Trang 4

Nội dung

I. Quan hệ hai ngôi

II. Các tính chất của quan hệ hai ngôi

III. Biểu diễn quan hệ hai ngôi

IV. Quan hệ tương đương Đồng dư

V. Quan hệ thứ tự và biểu đồ Hass

Trang 5

QUAN HỆ HAI NGÔI

CẤU TRÚC RỜI RẠC

QUAN HỆ

Trang 6

I QUAN HỆ HAI NGÔI

Quan hệ hai ngôi là gì?

Một quan hệ hai ngôi giữa tập hợp và tập hợp là một tập con của Nếu thì ta viết

Một quan hệ giữa A và A được gọi là một quan hệ hai ngôi trên A

Kí hiệu: (, ), trong đó là quan hệ hai ngôi

(*Để thuận tiện cho việc trình bày, ta quy ước gọi tắt quan hệ hai ngôi là quan hệ)

•

Trang 7

Quan hệ hai ngôi là gì? (tt)

Trang 8

Ví dụ 1 (tt):

={(1,4), (1,5), (3,5), (4,4)}

Ta thường biểu diễn

bởi sơ đồ sau:

•

Trang 9

Trang 10

Trang 11

CÁC TÍNH CHẤT CỦA QUAN HỆ HAI NGÔI

QUAN HỆ

Trang 12

II CÁC TÍNH CHẤT (NẾU CÓ) CỦA

– Quan hệ R trên tập A là phản xạ nếu

nó chứa đường chéo của AxA:

– ={(a,a); aA}

•

Trang 13

Quan hệ ≤ trên Z phản xạ vì a ≤a với mọi a Z ∈

Quan hệ > trên Z không phản xạ vì 1>1 không đúng

Quan hệ “|”(ước số) trên Z+ là phản xạ vì mọi số nguyên a là ước của chính nó.

Trang 14

Tính chất 2: Tính đối xứng

Quan hệ trên S được gọi là đối xứng nếu:

Quan hệ trên S được gọi là không đối xứng nếu:

x)

•

Trang 15

Trang 16

Trang 17

Trang 18

Trang 19

Tính chất 4: Tính truyền (bắc cầu)

Quan hệ trên S có tính bắc cầu(truyền) nếu

x,y,z S,(x z) Quan hệ trên S không có tính bắc cầu(truyền) nếu

x,y,z S,

•

Trang 20

Tính chất 4: Tính truyền (bắc cầu) (tt)

Ví dụ:

Quan hệ ={(1,1), (1,2),(2,1),(2,2),(1,3),(2,3)} trên tập A={1,2,3,4} có tính bắc cầu

Quan hệ và | trên có tính bắc cầu,

Trang 21

BIỂU DIỄN QUAN HỆ HAI NGÔI

QUAN HỆ

Trang 22

III BIỂU DIỄN QUAN HỆ HAI NGÔI

1 Định nghĩa

Cho là quan hệ từ A = {1,2,3,4} đến

B = {u,v,w}:

= {(1,u),(1,v),(2,w),(3,w),(4,u)}

Khi đó có thể biểu diễn như sau:

Đây là ma trận cấp 4 x 3 biểu diễn

cho quan hệ

*Lưu ý: Dòng và cột tiêu đề có thể bỏ qua nếu không gây hiểu nhầm

•

Trang 23

Ví dụ 1:

 Nếu là quan hệ từ A = {1, 2, 3} đến B = {1, 2} sao cho a b nếu a > b Khi đó ma trận biểu diễn của là:

•

Trang 24

•

Ví dụ 2: Cho là quan hệ từ A = {a1, a2, a3} đến

B = {b1, b2, b3, b4, b5} được biểu diễn bởi ma trận MR

b1 b2 b3 b4 b5

a1 a2

a3

Khi đó R bao gồm các cặp:

{(a1, b2), (a2, b1), (a2, b3), (a2, b4), (a3, b1), (a3, b3), (a3, b5)}

MR =

Trang 25

2 Biểu diễn quan hệ

 Cho là quan hệ trên tập A, khi đó MR là ma trận vuông.

 là phản xạ nếu tất cả các phần tử trên đường chéo của MR đều bằng 1: mii= 1 với mọi i

Trang 26

là đối xứng nếu MR là đối xứng

mij = mji với mọi i, j

Trang 27

là phản xứng nếu MR thỏa

mij = 0 hoặc mji = 0 nếu i ≠ j

Trang 28

QUAN HỆ TƯƠNG ĐƯƠNG

ĐỒNG DƯ

QUAN HỆ

Trang 29

IV QUAN HỆ TƯƠNG ĐƯƠNG

ĐỒNG DƯ

* Nhắc lại khái một số khái niệm:

Phản xạ : Quan hệ trên S được gọi là phản xạ nếu:

(a, a) ∈ R với mọi a ∈ S

Đối xứng: Quan hệ trên S được gọi là đối xứng nếu:

∀a ,b∈ S, (a b) (b a)

Bắc cầu: Quan hệ trên S có tính bắc cầu nếu:

∀a,b,c ∈ S (a b) ∧ (b c) (a c)

•

Trang 30

Trang 31

ĐỒNG DƯ

1 Quan hệ tương đương

Ví dụ 1: Cho S={sinh viên của lớp}

Gọi = {(a,b)| a có cùng họ với b}

Ta thấy có các tính chất:

• Phản xạ:

• Đối xứng:

•

Trang 32

•

Trang 33

ĐỒNG DƯ

2. Quan hệ đồng dư modulo m trên

Định nghĩa

. Cho là một số nguyên dương, và là hai số nguyên Ta nói và đồng dư với nhau

theo môđun m nếu trong phép chia và cho m ta được cùng một số dư, nghĩa là có các số nguyên , r với sao cho và

•

Trang 34

ĐỒNG DƯ

Định nghĩa

Khi và đồng dư với nhau theo môđun , ta viết ( mod )

Nếu không đồng dư với theo môđun thì ta viết ( mod )

•

Trang 35

ĐỒNG DƯ

Ví dụ: xét bài toán sau

Cho là số nguyên dương, là hai số nguyên và quan hệ trên sao cho nếu chia hết Chứng minh khi đó là quan hệ tương đương

•

Trang 36

Trang 37

Trang 38

Trang 39

Trang 40

VI QUAN HỆ TƯƠNG ĐƯƠNG

ĐỒNG DƯ

3 Lớp tương đương của một phần tử (tt)

Ví dụ 2:

. Tìm các lớp tương đương modulo 8 chứa 0 và 1?

Giải Lớp tương đương modulo 8 chứa 0 gồm tất cả các số nguyên a chia hết cho 8.

Do đó [0]8 ={ …, – 16, – 8, 0, 8, 16, … }

Tương tự [1]8 = {a | a chia 8 dư 1}

= { …, – 15, – 7, 1, 9, 17, … }

Trang 41

Trang 42

ĐỒNG DƯ

3 Lớp tương đương của một phần tử (tt)

Chú ý:

.Các lớp tương đương theo một quan hệ tương đương trên A tạo nên một phân họach trên A,

nghĩa là chúng chia tập A thành các tập con rời nhau.

.Cho {A1, A2, … } là phân họach A

thành các tập con không rỗng,

rời nhau Khi đó có duy nhất quan

hệ tương đương trên A sao cho mỗi Ai là một lớp tương đương.

A1 A2 A3 A4 A5

Trang 43

ĐỒNG DƯ

Chú ý: Ví dụ

Cho m là số nguyên dương, khi đó có m lớp đồng dư modulo m là .

Chúng lập thành phân họach của Z thành các tập con rời nhau

Chú ý rằng

Mỗi lớp tương đương này được gọi là số nguyên modulo m

Tập hợp các số nguyên modulo m được ký hiệu bởi

•

Trang 47

Thât vây: quan hê trên có các tính chất

 Phản xạ: vì

Phản xứng: nghĩa là nghĩa là Khi đó Suy ra ,nghĩa là

 Bắc cầu: nghĩa là , nghĩa là Khi đó

•

Trang 48

V QUAN HỆ THỨ TỰ

BIỂU ĐỒ HASS

1. Quan h thứ tư (tt) ê

Thứ tư toàn phần

 Định nghĩa: Các phần tử a và b của poset gọi là so sánh được nếu hay

Trái lại thì nói và không so sánh được.

• Cho nếu hai phần tử tùy ý của S đều so sánh được với nhau thì ta gọi nó là tâp

sắp thứ tự toàn phần.

• Ta cũng nói rằng là thứ tự toàn phần hay thứ tự tuyến tính trên S.

•

Trang 49

Thứ tư toàn phần (tt)

 Ví dụ: Quan hê “” trên tâp số nguyên dương là thứ tự toàn phần

 Ví dụ: Quan hê ước số “” trên tâp hợp số nguyên dương không là thứ tự

toàn phần, vì các số 5 và 7 là không so sánh được.

•

Trang 50

Thứ tư bán phần

 Định nghĩa: Nếu trong các phần tử a và b của poset tồn tại sao cho

(Không so sánh được bằng thứ tự đã cho)

Khi đó ta gọi là thứ tự bán phần.

•

Trang 52

 Chúng ta cũng nói rằng a là được tr i bởi ô b

 Phần tử b được gọi là tr i trực tếp của ô a nếu b là tr i của a, và không tồn tại ô

tr i c sao cho : ô

•

Trang 53

2 Sơ đồ Hass của quan h thứ tư ê

Các định nghĩa (tt)

Ta định nghĩa sơ đồ Hass của poset (S,) là đ thị : ồồ

– Mỗi phần tử của S được biểu diễn bởi m t điểm trên m t phăng ô ă

– Nếu b là tr i trực tếp của a thì ve m t cung đi từ a đến b ô ô

•

Trang 54

2 Sơ đồ Hass của quan h thứ tư ê

Ví dụ 1:

 Biểu đồ Hasse của poset ({1,2,3,4}≤) có thể ve như sau :

Chu y : Chúng ta không ve mũi tên với qui ước mỗi cung đều từ trái sang phải và biều đồ

Trang 55

2 Sơ đồ Hass của quan h thứ tư (tt) ê

Ví dụ 2: Cho S={1,2,3,5,6,10,15,30} (các ước số lớn hơn 0 của 30)

Hãy vẽ sơ đồ Hass cho (S,|) và (S, )

•

Trang 57

3 Phần tử cưc đại và phần tử cưc tiểu

Định nghĩa: Trong một tập sắp thứ tự (S, ), một phần tử a ≺ ∈ S được gọi là:

Cực tểu nếu: ∀x ∈ S ta đều có a x.≺

Cực đại nếu: ∀x ∈ S ta đều có x a.≺

Kí hiệu:

Phần tử cực tểu: a = min(S, ).≺

Phần tử cực đại: b = max(S, ).≺

Trang 58

3 Phần tử cưc đại và phần tử cưc tiểu

Nhận xét:

Trong một tập sắp thứ tự có thể không có phần tử cực đại và cực tểu

Nếu tồn tại phần tử cực đại và cực tểu thì chúng là duy nhất

Nếu tập sắp thứ tự (S, ) có |S| hữu hạn và là quan hệ thứ tự toàn phần thì ≺ ≺(S, ) luôn có phần tử cực đại và phần tử cực tểu.≺

Trang 60

4 Phần tử tối đại và phần tử tối tiểu

Định nghĩa: Một phần tử a trong tập sắp thứ tự (S, ) được gọi là:≺

Tối tểu nếu không tồn tại bất kì phần tử a’ ∈ S (a’ ≠ a) mà a’ a.≺

Tối đại nếu không tồn tại bất kì phần tử a’ ∈ S (a’ ≠ a) mà a a’.≺

Trang 61

Trong biểu đồ Hasse:

Không có cung nào xuất phát từ phần tử tối đại

Không có cung nào kết thúc tại phần tử tối tểu

Trang 62

4 Phần tử tối đại và phần tử tối tiểu

Xét poset có biểu đ Hasse như dưới đây :ồồ

• Mỗi đỉnh màu đỏ là tối đại

• Mỗi đỉnh màu xanh là tối

tểu

• Không có cung nào xuất phát

từ điểm tối đại

• Không có cung nào kết thúc ở điểm tối tểu

Trang 63

Chu y : Trong m t poset S hữu hạn, phần tử tối đại và phần tử tối tểu luôn luôn tồn tạiô

• Th t v y, chúng ta xuất phát từ điểm bất ky aâ â 0 є S

• Nếu a không tối tểu, khi đó tồn tại a1a0, tếp tục như

v y cho đến khi tm được phần tử tối tểu.â

• Phần tử tối đại tm được phương pháp tương tự

•

Trang 64

Hãy tm các phần tử tối đại và tối tểu của nó.

 Phần tử tối đại (màu đỏ) : 7, 8, 30.

 Phần tử tối tểu (màu xanh) : 1, 5, 7.

Trang 68

Ví dụ: Ch n trên nhỏ nhất của {i,j} là dă

Ch n dưới chung lớn nhất của {g,j} là gì?ă

Trang 69

CẢM ƠN CÁC BẠN ĐÃ THEO DÕI!

QUAN HỆ

Định dạng
Số trang	69
Dung lượng	8,7 MB