một số lỗi sai học sinh thường gặp khi học toán trung học phổ thông

1 TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN KHOA TOÁN – TIN HỌC BỘ MÔN GIÁO DỤC TOÁN HỌC MÔN PHƯƠNG PHÁP GIẢNG DẠY TỐI ƯU TIỂU LUẬN MỘT SỐ LỖI SAI HỌC SINH THƯỜNG GẶP KHI HỌC TOÁN TRUNG HỌC

Trang 1

1

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

KHOA TOÁN – TIN HỌC

BỘ MÔN GIÁO DỤC TOÁN HỌC MÔN PHƯƠNG PHÁP GIẢNG DẠY TỐI ƯU

TIỂU LUẬN

MỘT SỐ LỖI SAI HỌC SINH THƯỜNG GẶP KHI HỌC TOÁN

TRUNG HỌC PHỔ THÔNG

Giảng viên hướng dẫn: ThS Phan Nguyễn Ái Nhi Sinh viên thực hiện: Ngô Thanh Trà

Tháng 6 năm 2014

Trang 2

2

MỤC LỤC

ĐẶT VẤN ĐỀ……….3

NỘI DUNG CHÍNH……… 4

ĐẠI SỐ 10……… 4

HÌNH HỌC 10……… 6

ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH 11……… 8

GIẢI TÍCH 12……… 12

TỔNG KẾT……… 14

TÀI LIỆU THAM KHẢO……… 15

Trang 3

3

ĐẶT VẤN ĐỀ

Toán học là môn học quan trọng gắn liền với hầu hết các môn học khác và có tính ứng dụng cao trong đời sống xã hội Việc học Toán ở các lớp Phổ thông là nền tảng cho quá trình học, làm việc sau này của mỗi cá nhân cũng như sự tiến bộ, phát triển của các ngành, lĩnh vực khác Vì vậy, việc học Toán hiệu quả là mối quan tâm hàng đầu của ngành Giáo dục

Tuy nhiên, trong quá trình học Toán, chúng tôi nhận thấy từ kinh nghiệm học tập của mình hoặc từ những học sinh chúng tôi dạy kèm, cũng như từ một số kinh nghiệm tiếp thu được qua những người thầy của chúng tôi, có những lỗi sai thường gặp ở học sinh khi giải Toán Trung học Phổ thông làm ảnh hưởng rất nhiều đến khả năng tư duy, kết quả học tập, thi cử của các em Để hỗ trợ học sinh giải Toán tốt, tránh được các lỗi sai đó và làm công cụ hỗ trợ cho chúng tôi trong quá trình giảng dạy sau này, chúng tôi sẽ trình bày một số bài tập và chỉ rõ những lỗi sai thường gặp trong đó theo một cách hệ thống

Do thời gian hoàn thành tiểu luận khá gấp gáp nên chúng tôi không đào sâu, mở rộng đề tài của mình ở một phần nào trong Toán Trung học Phổ thông mà sẽ hệ thống lại những lỗi sai chúng tôi biết được trong chương trình cấp III Với điều kiện về thời gian và sự chuẩn bị như thế, chúng tôi biết rằng tiểu luận của mình không thể tránh khỏi nhiều thiếu sót Vì vậy, chúng tôi rất cần sự góp ý chân thành từ quí giảng viên và bạn đọc Chân thành cám ơn!

Trang 4

4

NỘI DUNG CHÍNH

Phương pháp tổ chức giảng dạy chúng tôi gợi ý là tạo vấn đề từ tình huống bài tập giải có lỗi sai

ĐẠI SỐ 10 BÀI 1 (Hệ phương trình)

Đề thi Đại học khối A năm 2003 có câu sau đây Giải hệ phương trình sau:

{

Bài giải có lỗi sai:

Điều kiện: x.y ≠ 0

(

)

[

Thế (*) vào (**) ta có

(1) Vô nghiệm Vậy hệ phương trình vô nghiệm

Một lời giải khác cũng có lỗi sai:

Điều kiện: x.y ≠ 0

Trong phương trình (1) xét hàm số:

Trang 5

5

Hàm số f(t) luôn tăng trên (-∞,0) U (0,+∞)

(1) f(x) = f(y) x = y thế vào (2) tìm nghiệm x và y

Phân tích lỗi sai và cách khắc phục:

Ở lời giải sai thứ nhất, nhiều học sinh vẫn thường thế (*) vào (**), đó là sai lầm rất lớn vì nhầm lẫn ý nghĩa giữa ngoặc nhọn và ngoặc vuông Khi làm toán, chúng ta chỉ được thế trong ngoặc nhọn Còn khi gặp ngoặc vuông, những phương trình trong đó là những trường hợp khác nhau, vì thế không thể dùng phương trình này thế cho phương trình kia

Ở lời giải sai thứ hai, sau khi lập bảng biến thiên, học sinh vẫn theo thói quen dùng kí hiệu hợp do phần lớn các bài tập đã giải dùng kí hiệu này Nhưng trong trường hợp bài toán này, kí hiệu hợp là sai Người ra đề đã gài bẫy học sinh, vì quan sát kĩ thì f(t) luôn tăng trên hai khoảng hoàn toàn

khác nhau Kết luận đúng phải là hàm số f(t) luôn tăng trên (-∞,0); (0,+∞)

Để giải bài tập này, học sinh chỉ việc lần lượt thay (*) và (**) vào (2) và tìm nghiệm

Trường hợp 1:

Thay x = y vào (2) ta có x32x 1 0 Giải phương trình bậc ba ta được 3 nghiệm và so điều kiện, nhận tất cả vì x = y ≠ 0

x  y  x  y    x  y   

Trường hợp 2:



      

Thay y 1

x



 vào (2) ta có 2 x3 1

x

  

Biến đổi tương đương ta thấy phương trình vô nghiệm Như vậy, bài toán trên chỉ có 3 nghiệm Hệ phương trình biến hóa muôn màu muôn vẻ nhưng vẫn xoay quanh 3 phương pháp biến đổi là: phương pháp thế, phương pháp phân tích một phương trình của hệ thành thừa số, phương pháp sử dụng tính chất đơn điệu của hàm số Học sinh cần nắm vững những phương pháp này để sử dụng cho phù hợp

Trang 6

6

HÌNH HỌC 10 BÀI 2 (Hai vectơ bằng nhau)

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho 3 điểm A(-2;-1); B(1;5); C(3;9) Tìm điểm D để ABCD là hình bình hành

ABCD là hình bình hành ABDC

Mà AB(3;6) và DC(x D3;y D9)

D

Vậy D có tọa độ là D(6;15) thì ABCD là hình bình hành

Học sinh làm theo thói quen là khi giải đến kết quả thì không kiểm tra lại Nếu để ý thì chúng

ta sẽ thấy trong bài giải trên 4 điểm A, B, C, D thẳng hằng Do đó sẽ không tìm được điểm D thỏa yêu cầu bài toán Để khắc phục lỗi này, giáo viên hướng dẫn học sinh khi gặp dạng toán này cần kiểm tra 3 điểm đã cho có thẳng hàng hay không Xét bài toán trên ta có:

(1 ( 2);5 ( 1)) (3;6)

AB     

(3 ( 2);9 ( 1)) (5;10)

2

AC AB

A, B, C thẳng hàng

Như vậy không cần tìm D nữa vì không tồn tại D để ABCD là hình bình hành Giáo viên cũng có thể giới thiệu cho học sinh một công thức đầy đủ để có thể nhanh chóng giải quyết những bài tập tương tự một cách chính xác

Ta có ABCD là hình bình hành AB k AC

AB DC



 





Trang 7

7

BÀI 3 (Hệ thức lượng trong tam giác) (Tổ Toán – Tin 2005, tr.4)

Cho ABC có đường cao AH = 12cm, HB = 4cm, HC = 6cm Tính số đo góc A

Áp dụng định lý Pitago cho tam giác vuông ABH và tam giác vuông ACH

Ta được AB = 4 10 và AC = 6 5

Mà BC = BH + CH = 10

Theo định lý cosin ta có: BC2  AB2AC22AB AC .cosA

100 160 180 2.4 10.6 5 cos A

   

1 cos

2

A

 

Do tư duy chưa sâu sắc nên học sinh ngộ nhận điểm H chỉ nằm giữa B và C (Hình a), cho nên sót trường hợp H nằm ngoài B và C (Hình b)

Để khắc phục lỗi này, giáo viên yêu cầu học sinh xét tất cả các trường hợp có thể xảy ra khi gặp bài tập tương tự Như vậy ở bài tập này cần giải thêm trường hợp ở Hình b

Giải tương tự như trường hợp ở Hình a (bài giải bị lỗi), ta có BC = 2

5 2

A 8 7 ' 48''

 

Trang 8

8

ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH 11 BÀI 4 (Quy tắc đếm)

Cho Hỏi:

a) n có tất cả bao nhiêu ước số dương?

b) n có tất cả bao nhiêu ước số dương chia hết cho 6?

Nếu m là một ước số dương của n thì m phải có dạng ,

với k chạy từ 0 đến 5, l chạy từ 0 đến 4, s chạy từ 0 đến 2

a) Như vậy để chọn k có 5 cách, chọn l có 4 cách và chọn s có 2 cách

Số cách chọn (k,l,s) để tạo thành m là 5×4×2 = 40 cách, tức là n có tất cả 40 ước số dương b) Ta có 2×3 chia hết cho 6, cho nên bội số của 2×3 cũng chia hết cho 6

Bội số của 2×3 có dạng , ta thấy để chọn p có 5 cách, chọn q có 4 cách nên số ước số dương chia hết cho 6 là 5×4 = 20

Bài giải trên có 3 lỗi sai chính dẫn đến kết quả chưa chính xác

Lỗi sai thứ nhất: “chọn k có 5 cách, chọn l có 4 cách và chọn s có 2 cách” Lý do dẫn đến

lỗi sai này là ở dòng đặt dạng tổng quát, học sinh chủ quan không đổi thành kí hiệu, hoặc do thói

quen ít dùng kí hiệu gây ra nhầm lẫn khi đếm, không nên viết là “với k chạy từ 0 đến 5, l chạy từ 0

đến 4, s chạy từ 0 đến 2”

 Cách khắc phục: Đổi thành kí hiệu, tức là “với 0 ≤ k ≤ 5, 0 ≤ l ≤ 4, 0 ≤ s ≤ 2” Nếu đếm

đúng thì chọn k phải có 6 cách, chọn l phải có 5 cách và chọn s phải có 3 cách (quên đếm

số 0) Vì vậy đáp số ở câu a) phải là 6×5×3 = 90 ước số dương

Lỗi sai thứ hai: “Ta có 2×3 chia hết cho 6, cho nên bội số của 2×3 cũng chia hết cho 6”

Bình thường thì đây là một nhận xét đúng nhưng trong trường hợp này , thì nhận xét

trên không chính xác, học sinh không tư duy sâu xa hơn vấn đề nên bị thiếu trường hợp, do tích của

một số nhân với một số chia hết cho 6 thì cũng chia hết cho 6

 Cách khắc phục: Để chính xác phải nhận xét là “Ta có 2×3 chia hết cho 6, cho nên bội

số của 2×3 cũng chia hết cho 6 và tích của một số nhân với 2×3 cũng chia hết cho 6”

Lỗi sai thứ ba: “chọn p có 5 cách, chọn q có 4 cách”, tương tự ở lỗi sai thứ nhất, việc chọn

số cách của p và q mặc dù đúng nhưng có thể chỉ là ngẫu nhiên do lấy kết quả từ cách đặt ở câu a),

và việc đặt p, q cũng không cần thiết, có thể sử dụng luôn cách đặt ban đầu

Trang 9

9

 Cách khắc phục: “Nếu m là một ước số dương của n chia hết cho 6 thì m phải có dạng

, với 0 < k ≤ 5, 0 < l ≤ 4, 0 ≤ s ≤ 2” Vậy số ước số dương của n chia hết

cho 6 là 5×4×3 = 60

BÀI 5 (Giới hạn của dãy số)

Tính giới hạn sau: lim(n4 n3 n2 n 1)

Vì giới hạn của tổng bằng tổng các giới hạn nên:

lim(n  n n  n 1)

limn limn limn limn lim1

          

Một lời giải khác cũng có lỗi sai:

lim(n  n n  n 1)

4

lim n 1

       

4

lim lim 1

( ).1

n

n n n n

   

Do học sinh quá lạm dụng các quy tắc tính giới hạn nên bài giải trên đã sai hoàn toàn, quy tắc

giới hạn của tổng bằng tổng các giới hạn chỉ đúng khi các giới hạn sau khi tách là hữu hạn trong

khi ở bài này là vô hạn (có dạng ∞)

Tương tự ở lời giải sai thứ hai, học sinh đã lạm dụng định lý giới hạn hữu hạn: giới hạn của

tích bằng tích các giới hạn Bài giải đúng như sau:

Ta có lim(n4 n3 n2 n 1) lim n4 1 1 12 13 14

           

Mà lim n4  

n n n n

Trang 10

10

Theo định lý về giới hạn vô cực, ta có: 4 3 2

lim(n  n n    n 1) Đây là một lỗi sai khá nguy hiểm, vì tính toán bị sai nhưng vô tình kết quả lại đúng, do đó học sinh cần đặc biệt lưu ý những lỗi như thế này

BÀI 6 (Giới hạn của hàm số)

Tính giới hạn sau: lim 105 4

x

x x







Ta có

5

4 1 4

2

x



 

Suy ra

5

4 1

2

x



Học sinh thiếu cẩn thận trong việc đưa x ra khỏi căn thức của tử số, do số mũ là chẵn nên 10

khi khai căn có thể ra dương hoặc âm Trường hợp trên học sinh đã áp đặt kết quả khai căn là dương, đây là lỗi sai rất phổ biến Nếu làm chậm hơn, ta thấy rằng:

10

5

4

x

  



 

    

      

Vì vậy:

10

5

4

2

6

x

 

Trang 11

11

GIẢI TÍCH 12 BÀI 7 (Tích phân)

Tính tích phân I =

1

2

0

1 x dx



Đặt x = sint dx = costdt



1

0

t t t

t tdt tdt  dt

Học sinh đổi biến nhưng quên đổi cận, đây là lỗi phổ biến mà các học sinh thiếu cẩn thận hay mắc phải

Để khắc phục lỗi này, giáo viên yêu cầu học sinh thực hiện từng bước tính tích phân theo phương pháp đổi biến số Khi gặp tích phân dạng 2 2

b

a

c x dx

 thì ta sẽ đặt x = c.sint, đổi cận, rồi tính tích phân bình thường Như ở bài tập này, ta phải tính như sau:

Đặt x = sint  dx = costdt

Đổi cận x = 0  t = 0; x = 1  t =

2



0





BÀI 8 (Logarit)

Giải bất phương trình logarit sau:

2

log (9x  3) log (6 x 2)

Bất phương trình tương đương

Trang 12

12

2

1 log (9 3) log (6 x 2)

2

log 9x 3 log 6x 2

2

9x 3 6x 2

2

9x 3 0

9x  3 6x2

1 3 1 3

x x









 



27x 24x 7 0

1 3 1 3

x x









 



1 3

x

 

Trước hết, bài giải này chưa chính xác vì thiếu điều kiện để logarit có nghĩa, dẫn tới kết quả

bị sai do chưa so với điều kiện Nguyên nhân là nhiều học sinh giữ thói quen gặp bài là giải mà quên mất cần giới hạn điều kiện có nghĩa của bài toán

Tiếp theo, bài toán bị sai khi khử logarit do cơ số 1 1

2 

Hàm số nghịch biến trên tập xác định, phải đổi chiều bất phương trình Có thể do thói quen thiếu cẩn thận trong quan sát nên một số học sinh vẫn mắc phải những lỗi như thế này Bài giải đúng như sau:

Điều kiện: 9 2 3 0

6 2 0

x x

 

3

x

 

Từ bất phương trình ta có 1 2 1

1 log (9 3) log (6 x 2)

Trang 13

13

2

log 9x 3 log 6x 2

2

9x 3 6x 2

6x 2 0  9x  3 0

Giải tương đương ta được kết quả là 1

3

Kết hợp điều kiện, suy ra bài toán vô nghiệm

BÀI 9 (Số phức)

(Bài tập đã được quan sát thực tế tại trường Trung học Phổ thông Lê Thị Hồng Gấm)

Cho z = 2 - 3i; w = -1 + 2i Tính z - w = ?

z - w = 2 - 3i - (-1) + 2i = 3 - i

Khi trừ cho một vế thì phải trừ cho từng phần tử trong vế đó chứ không phải chỉ trừ cho một phần tử đầu tiên Đây là lỗi sai khá phổ biến do cách tính nhẩm thiếu cẩn thận, lỗi này có thể gặp ở mọi đối tượng học sinh ở bất kì lớp nào Chỉ cần trình bày chi tiết hơn và cẩn thận hơn trong tính toán, học sinh sẽ dễ dàng tránh được những lỗi sai tương tự

Cho z = a + bi; w = c + di (a, b, c, d R)

Ta có z – w = a + bi – (c + di) = (a – c) + (b – d)i

Vì vậy z - w = 2 - 3i - (-1+ 2i) = 3 - 5i

Trang 14

14

TỔNG KẾT

Có rất nhiều lỗi sai mà học sinh Trung học Phổ thông thường gặp phải khi học Toán Tuy nhiên, trong điều kiện thời gian không cho phép, chúng tôi chỉ có thể trình bày một số lỗi đặc trưng như trên Sau bài tiểu luận này, chúng tôi sẽ dành thêm nhiều thời gian để tìm hiểu về đề tài, làm công cụ hỗ trợ cho việc giảng dạy sau này của chúng tôi cũng như là nguồn tài liệu tham khảo cho các đồng nghiệp Với mong muốn tìm được tất cả những lỗi mà học sinh sẽ mắc phải, nhằm kịp thời nắm bắt và điều chỉnh cho các em khắc phục lỗi sai, giúp học sinh học tập tốt hơn, tư duy sâu sắc hơn khi giải quyết vấn đề, đồng thời cũng tạo cho các em những thói quen tích cực như cẩn thận trong tính toán, kiểm tra lại kết quả, mỗi bước trình bày đều tự thuyết phục mình bằng những cơ sở chắc chắn,…

Thiết nghĩ rằng đây là một đề tài mang tính cấp thiết, vì không học sinh nào là không có lỗi sai khi làm bài Vì vậy, chúng tôi nghĩ đề tài này cần được phổ biến một cách sâu rộng, cần có chiến lược phát triển đề tài một cách hợp lí để nhân rộng ra toàn quốc gia Các bạn bè, đồng nghiệp, các giáo viên tương lai cần bổ sung cho mình những kiến thức này để thuận lợi hơn trong việc giảng dạy Chúng tôi hi vọng sản phẩm của mình sẽ thật sự hữu ích dành cho mọi người!

Trang 15

15

TÀI LIỆU THAM KHẢO

Tổ Toán – Tin 2005, ‘Những sai sót thường gặp trong giảng dạy hình học lớp 10’, Trung học Phổ

thông Nguyễn Hiền, Duy Xuyên, Quảng Nam

Định dạng
Số trang	15
Dung lượng	682,63 KB