Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a và mặt bên tạo với mặt phẳng đáy góc .. Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có các cạnh bên bằng b và cạnh bên tạo với mặt phẳng đáy
Trang 1MỘT SỐ CÔNG THỨC GIẢI NHANH PHẦN THỂ TÍCH KHỐI CHÓP
CT 1 Cho hình chóp SABC với
các mặt phẳng SAB, SBC
SAC vuông góc với nhau từng
đôi một, diện tích các tam giác
SAB SBC SAC lần lượt là
1,S ,S2 3
1 2 3
2 S S 3
S ABC
S
CT 2 Cho hình chóp S.ABC có
SA vuông góc với ABC, hai
mặt phẳng SAB và SBC
vuông góc với nhau, BSC,
ASB
3
.sin 2 tan 12
S ABC
SB
CT 3 Cho hình chóp đều
S.ABC có đáy ABC là tam giác
đều cạnh bằng a, cạnh bên
bằng b
.
3 12
S ABC
Khi a b được tứ diện đều
3
2 12
S ABC
a
CT 4 Cho hình chóp tam giác
đều S.ABC có cạnh đáy bằng a và
mặt bên tạo với mặt phẳng đáy
góc
3
tan 24
S ABC
a
CT 5 Cho hình chóp tam giác
đều S.ABC có các cạnh bên bằng
b và cạnh bên tạo với mặt phẳng
đáy góc
.
3 sin cos 4
S ABC
b
CT 6 Cho hình chóp tam giác
đều S.ABC có các cạnh đáy bằng
a, cạnh bên tạo với mặt phẳng
đáy góc
3
.tan 12
S ABC
a
C S
A
B
B
C A
S
B
S
M G
Trang 2CT 7 Cho hình chóp tứ giác
đều S.ABCD có đáy ABCD là
hình vuông cạnh bằng a, và
SA SB SC SD b
.
6
S ABC
Khi chóp tứ giác có tất cả
các cạnh bằng a thì
3
2 6
S ABC
a
CT 8 Cho hình chóp tứ giác
đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a,
góc tạo bởi mặt bên và mặt
6
S ABCD
a
CT 9 Cho hình chóp tứ giác đều
S.ABCD có cạnh đáy bằng a,
SAB, với ;
4 2
6
S ABCD
a
CT 10 Cho hình chóp tứ giác
đều S.ABCD có các cạnh bên
bằng a, góc tạo bởi mặt bên và
mặt đáy là với
3
2
4 tan
3 2 tan
S ABCD
a
CT 11 Cho hình chóp tam giác
đều S.ABC có cạnh đáy bằng a
Gọi P là mặt phẳng đi qua A
song song với BC và vuông góc
với SBC , góc giữa P với mặt
phẳng đáy là
3
cot 24
S ABCD
a
O B
D A
S
C M
x
N
C A
S
B
F
M G E
Trang 3CT 12 Khối tám mặt đều có
đỉnh là tâm các mặt của hình lập
6
a
V
CT 13 Cho khối tám mặt
đều cạnh a Nối tâm của các mặt
bên ta được khối lập
phương
3 3
LỜI GIẢI CHI TIẾT
CT 1 Cho hình chóp SABC với các mặt phẳng SAB , SBC , SACvuông góc với
nhau từng đôi một, diện tích các tam giác SAB SBC SAC lần lượt là , , S1,S ,S2 3 Thể tích khối chóp SABC
là: . 2 S S1 2 3
3
S ABC
S
Lời giải
V SABC S SBC SA SA SB SC
6 SA SB SC 6 SA SB SB SC SA SC
1 2 3
1 2 3
2 1
2 2 2
S S S
Áp dụng: Cho hình chóp SABC với các mặt phẳng SAB , SBC , SACvuông góc với
nhau từng đôi một, diện tích các tam giác SAB SBC SAC lần lượt là , , 15cm2,20cm2,18cm Thể tích khối 2
chóp SABC là
A. a3 20 B.
3 20 3
a
C.
3 20 2
a
D.
3 20 6
a
1 2 3 3
2
20 3
ABCD
S S S
V a Chọn đáp án A
O1
O3
O
O'
C D
B'
C' D'
A'
B
D A
S
C
S'
N G2
M G1
C S
A
B
Trang 4CT 2 Cho hình chóp SABC có SA vuông góc với mặt phẳng ABC, hai mặt phẳng
SABvà SBCvuông góc với nhau, BSC ,ASB Thể tích khối chóp SABC là
3
.
.sin 2 tan
12
S ABC
SB
Lời giải
+SAB vuông tại A có : AB SB sin, SA SB cos
+SBC vuông tại B có :
.tan
.sin tan
2
S ABC ABC
3.sin 2 tan
12
Áp dụng: Cho hình chóp SABC có SA vuông góc với mặt phẳng ABC, hai mặt phẳng SABvà
SBCvuông góc với nhau, SB a 3, 45o
ASB Thể tích khối chóp SABC là
A.
3
3
8
a
B.
3 6 8
a
C.
3 2 2
a
D.
3 3 6
a
.
.sin 2 tan 3
S ABC
Chọn đáp án A
CT 3 Cho hình chóp đều S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng a, cạnh bên
bằng b Thể tích khối chóp S.ABC là
3 12
a b a
Lời giải
Gọi G là trọng tâm ABC SGABC
ABC
2
a AM
3
a AG
SGA
vuông tại G có:
Vậy
SABC ABC
12
SABC
a V
B
C A
S
C A
S
B
M G
Trang 5Áp dụng: Cho hình chóp đều S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng a, cạnh bên
bằng a Thể tích khối chóp S.ABC là
A.
3 3
24
a
B.
3 2 12
a
C.
3 2 24
a
D.
3 3 12
a
Chọn đáp án B
CT 4 Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a và mặt bên tạo với
mặt phẳng đáy góc Thể tích khối chóp S.ABC là
3 tan 24
A.
3
3 48
a
B.
3 24
a
C.
3 3 24
a
D.
3 12
a
Lời giải
+ ABC đều SABC a2 3
4
+ Gọi G là trọng tâm ABC SGABC
SBC , ABC SMG
Xét SGM vuông tại G có :
a
Vậy
SABC ABC
Áp dụng: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a và mặt bên tạo với
mặt phẳng đáy góc 600 Thể tích khối chóp S.ABC là
A.
3 3
48
a
B.
3 24
a
C.
3 3 24
a
D.
3 12
a
SABC
Chọn đáp án C
CT 5 Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có các cạnh bên bằng b và tạo với mặt phẳng
đáy góc Thể tích khối chóp S.ABC là
3 sin cos 4
C A
S
B
M G
Trang 6Lời giải
+ Gọi G là trọng tâm ABC SGABC
Xét SGA vuông tại G có:
.sin sin
SG SA b
.cos
b
2
AM AB
2
3 cos 3
3 cos
ABC
Vậy
SABC ABC
b
CT 6 Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có các cạnh đáy bằng a, cạnh bên tạo với
mặt phẳng đáy góc Thể tích khối chóp S.ABC là
3 tan 12
Lời giải
+ Gọi G là trọng tâm ABC SGABC
Xét SGA vuông tại G có :
2
3
2
AM AB
a
Vậy
SABC ABC
Áp dụng: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có các cạnh đáy bằng a, mặt bên tạo với
mặt phẳng đáy góc 30 Thể tích khối chóp S.ABC là 0
A.
3
48
a
3 24
a
C.
3 3 24
a
D.
3 3 36
a
3tan 3 3
SABC
B
S
M G
B
S
M G
Trang 7CT 7 Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a,
và SA SB SC SD b Thể tích khối chóp S.ABCD là
2 4 2 2 2 6
Lời giải
Gọi M là trung điểm AB
2
4
a
SOM
vuông tại O có:
Vậy
SABCD ABCD
6
SABCD
a V
Áp dụng: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a,
và SA SB SC SD a Thể tích khối chóp S.ABCD là
A.
3
6 6
a
B.
3 2 2
a
C.
3 2 6
a
D.
3 3 3
a
Chọn đáp án C
CT 8 Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, góc tạo bởi mặt
bên và mặt phẳng đáy là Thể tích khối chóp S.ABCD là
3.tan
6
Lời giải
Gọi M là trung điểm CD
SCD ABCD SMO
+ Tam giác SOM vuông tại O có:
a
SO OM tanSMO tan
2
SABCD ABCD
2
Áp dụng: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, góc tạo bởi mặt bên và mặt phẳng
đáy là 45 Thể tích khối chóp S.ABCD là 0
O
B
S
C
M
O
C
S
B
M
Trang 83
12
a
B.
3 3 6
a
C.
3 6 2
a
D.
3 6
a
3tan 3
SABCD
CT 9 Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, SAB, với
;
4 2
Thể tích khối chóp S.ABCD là
6
Lời giải
Gọi M là trung điểm AB
SMA
vuông tại M có:
.tan tan
2
a
SOM
vuông tại O có:
2
2
SABCD ABCD
Áp dụng: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, SAB600 Thể tích khối chóp
S.ABCD là
A.
3
2 12
a
B.
3 2 6
a
C.
3 6 2
a
D.
3 6
a
SABCD
O C
A D
S
B M
Trang 9CT 10 Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có các cạnh bên bằng a, góc tạo bởi mặt
bên và mặt đáy là với
0;2 Thể tích khối chóp S.ABCD là
3
3 2
4 tan
3 2 tan
Lời giải
Gọi M là trung điểm CD
SCD ABCD SMO
Gọi độ dài một cạnh hình vuông là x
+ Tam giác SMC vuông tại M có:
x
SM SC2CM2 a2 2
4
+ Tam giác SOM vuông tại O có:
x
OM SM SMO 1 a2 2
a
2
2
2
1
4
1
1
1 tan
a x
2
2
a S
2 2
4
2 tan
2
.tan
SABCD ABCD
2
3 2 tan
CT 11 Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a Gọi P là mặt phẳng đi qua A song
song với BC và vuông góc với SBC , góc giữa P với mặt phẳng đáy là Thể tích khối chóp S.ABC
là
3
cot
24
O
C
S
B
M
Trang 10Lời giải
+ ABC đều SABC a2 3
4
+ Gọi G là trọng tâm ABC SGABC
+ Gọi P SBCEFEF/ /BC
vớiAx/ /EF/ /BC
+ Gọi M là trung điểm của BC, SMEFN
Ta có: AMBC SG, BC
Mà AMBC BC, / /AxAMAx
P ABC NAM
Ta có: GSM NAM (cùng phụ với SMA )
Xét SGM vuông tại G có :
SG GM cotGSM 1.AMcot
3
1 3.cot 3.cot
1 1 2 3 3.cot 3cot
Áp dụng: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a Gọi P là mặt phẳng đi qua A song song với BC và vuông góc với SBC , góc giữa P với mặt phẳng đáy là 30 Thể tích khối chóp 0
S.ABC là:
A a
3 3
a3 3
a3 8
D a
3 3
8
Áp dụng bài này: V SABC a3cot 300 a3 3
24 24 Chọn đáp án A
x
N
C A
S
B
F
M G
E
Trang 11CT 12 Khối tám mặt đều có đỉnh là tâm các mặt của hình lập phương cạnh a có thể
tích là
A
3
12
a
B
3 3 4
a
C
3 6
a
D
3 3 2
a
Lời giải
2
2 3
2
O O O O
a
Chiều cao khối chóp O O O O1 2 3 4 là '
1 2 3 4 1 2 3 4
'
1
OO O O O O OO O O O
Chọn đáp án C.
CT 13 Cho khối tám mặt đều cạnh a Nối tâm của các mặt bên ta được khối lập phương có thể tích bằng V Tỷ số
3
a
V gần nhất giá trị nào trong các giá trị sau?
Lời giải
a
+
3 3
3
27 2
9, 5 4
a
V
MỘT SỐ CÔNG THỨC GIẢI NHANH PHẦN TỈ LỆ THỂ TÍCH Câu 1 Cho hình chóp tứ giác đều S ABCDcó đáy là hình vuông ABCD cạnh a, góc giữa mặt bên và mặt phẳng đáy là Mặt phẳng P qua AC và vuông góc với mặt phẳng SADchia khối chóp
S ABCD thành hai khối đa diện Tỉ lệ thể tích hai khối đa diện là 1 2
2 cos
V
O1
O3
O
O'
C D
B'
C' D'
A'
B
D A
S
C
S'
N G2
M G1
Trang 12Lời giải:
Ta có:
2
1 cos
SNO
2 2
1
2 2
1
1 cos
2.cos
a
a
CM
a SD
2
.cos
2 2
2 2
.cos
1 cos 2.cos
MACD MACD
SABCD SACD
a
a
1
V
O B
D A
S
C N M