Đặt vấn đề Trong toán học phổ thông có nhiều bài toán chưa hoặc không có thuật giải cụ thể, gặp những bài toán đó học sinh thường lung túng không biết hướng suy nghĩ tìm tòi lời giải.. Đ
Trang 1SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA TRƯỜNG THPT MAI ANH TUẤN
ĐỀ TÀI KINH NGHIỆM HƯỚNG DẪN HỌC SINH GIẢI BÀI TẬP TÍCH PHÂN, DẦN HÌNH THÀNH HƯỚNG SUY NGHĨ, TÌM TÒI PHÁT HIỆN RA LỜI GIẢI
Họ tên giáo viên: Mai Văn Tánh Chức vụ: Tổ trưởng tổ Toán – Tin Đơn vị công tác: Trường THPT Mai Anh Tuấn SKKN thuộc môn: Toán học
Năm học : 2010 – 2011
Trang 2Đề tài: Kinh nghiệm hướng dẫn học sinh giải bài toán tích phân dần hình
thành hướng suy nghĩ, tìm tòi và phát hiện ra lời giải.
A Đặt vấn đề
Trong toán học phổ thông có nhiều bài toán chưa hoặc không có thuật giải cụ thể, gặp những bài toán đó học sinh thường lung túng không biết hướng suy nghĩ tìm tòi lời giải Đối với những bài toán như vậy giáo viên cần hướng dẫn học sinh tìm tòi
để phát hiện ra lời giải, nhằm trang bị cho học sinh tri thức suy luận, tư duy sang tạo trong giải toán Chúng ta có thể thông qua những hướng dẫn giải bài toán “cơ sở” có trong sách giáo khoa dần truyền thụ cho học sinh suy nghĩ phát hiện lời giải Định hướng từ bài toán “cơ sở” mà học sinh “suy luận”- “quy bài toán lạ” về “bài toán quen” là tư duy phổ biến trong toán học; “quy lạ về quen” được là giải thoát
bế tắc, củng cố long tin cho học sinh học toán, say mê với toán và giải toán có hiệu quả Dạy và hướng dẫn học sinh giải toán tích phân ở cấp THPT chuyên ban, tôi đặt câu hỏi: “Làm thế nào để giúp học sinh chủ động giải toán tích phân, học sinh tin tưởng là giải được bài toán tích phân có trong sách giáo khoa, các bài toán tích phân trong đề thi đại học?”
Qua giảng dạy tôi đúc rút kinh nghiệm và trả lời:
Thứ nhất: Để giải toán tích phân học sinh phải nắm được các vi phân “cơ bản” từ đơn giản đến phức tạp
Ví dụ: - Các vi phân cơ bản
+) dx = d(x+b) = 1d(ax b)
a + với a≠ 0 ,b∈ ℜ +) de x = d(e x+b) = e xdx
+) sinxdx = - d(cosx) = - d(cosx + b)
+) sinaxdx = 1d(cosax b), (a 0 ,a,b R)
−
Trang 3- Các vi phân phức tạp hơn
) cos
1 ( cos
sin
x d dx x
+
) (
2
2 dx d x a a
x
x
+
= +
+
) (
2
x a
x
−
−
=
− +
)]
[ln(
a x
+
+
)
1 ( )
1 1
(
x x d dx
−
Thứ hai: Học sinh phải nắm được các nguyên hàm thường gặp và các tính chất của nguyên hàm
Thứ ba: Học sinh phải nắm được các tích phân “cơ bản” và các cách tính các tích phân này.(gọi là cơ bản vì các tích phân này là cơ sở như các phép toán + , - ,*, / ban đầu học toán, dễ nhớ công thức tổng quát và dễ nhớ cách tính) Những bài toán khác thường quy về đó để giải
Thứ tư: Học sinh phải biết mỗi tích phân “cơ bản” có những cách tính nào phổ biến nhất, mối cách tính đó có thuận lợi (ưu thế), khó khăn (nhược điểm) gì? từ đó học sinh tự chọn cách giải phù hợp nhất cho bài toán mà học sinh đang giải
Thứ năm: Để tạo niềm tin cho học sinh “bài toán này” có thể “phương pháp tích phân đổi biến số - như thế nào cho thuận lợi” hay “tích phân từng phần” để quy về tích phân “cơ bản” Tức là khi đã quy về tích phân “cơ bản” thì coi như đã giải xong
Trang viết này trao đổi cùng đồng nghiệp, tôi không có ý thức tìm ra hay đưa ra cách giải tổng quát cho một dạng toán tích phân cụ thể, hay nêu bài toán tổng quát
và lời giải tổng quát cho tích phân ấy, mà tôi chỉ giúp học sinh “định hướng cho
học sinh niềm tin, suy luận được, tìm tòi được , giải thoát được khó khăn để quy lạ
về quen” khi giải toán tích phân.
Trang 4B Giải quyết vấn đề
I Phần lý thuyết
1 Những khái niện học sinh đã biết
- Vi phân
- Đạo hàm các hàm số thường gặp
- Bảng các nguyên hàm cơ bản, các tính chất của nguyên hàm, các tính chất của tích phân
- Hai phương pháp đổi biến số để tính tích phân
- Phương pháp tích phân từng phần
2 Phần bổ xung
2.1 Các vi phân cơ bản (Đã liệt kê ở trên)
2.2 Các tích phân “cơ bản” và các cách tính phổ biến (Với giả thiết hàm số dưới dấu tích phân lien tục trong đoạn đang xét)
1) Tích phân C1 = dx
x f
x f
∫ β
α ( )
) ( '
= ln
2) Tích phân C2 = dx
n x m x
x f
∫β − −
α ( )( )
) (
với bậc của f(x) nhỏ hơn hai
Cách tính: viết (x−m f)((x x)−n) = (x−A m)+(x B−n) (thì C2 quy về C1)
3) Tích phân C3 = ∫β +
α x2 a2
dx
(a>0) Cách tính: Đặt x = a.tant hoặc x = a.cott
4) Tích phân C4 = dx
n x m x
x f
∫β − −
α ( )( )2
) (
với bậc của f(x) nhỏ hơn ba Cách tính: Viết ( )( ) 2
) (
n x m x
x f
−
− = (x m)
A
− +(x n)
B
− +(x n) 2
C
−
Trang 5Tìm A, B, C là hằng số ( đưa về dạng C1 và I = ∫βX dx
α
α
)
5) Tích phân C5 = ∫β −
α x2 a2 dx
Ở đây tôi đưa ra 5 cách giải
+) Cách 1: Đổi biến số
t
a x
sin
=
+) Cách 2: Đổi biến số
t
a x
cos
= +) Cách 3: Đổi biến số t= ln(x+ x2 −a2 )
+) Cách 4: Đổi biến số t= x+ x2 −a2
+) Cách 5: Biến đổi
a x
a x a x a x
+
− +
=
1 1
2
a x
a x
+
−
Dấu hiệu “thử” và chọn “cách tính” là học sinh phải đổi cận tích phân Nếu đổi cận không phức tạp thì chọn cách tính thích hợp
6) Tích phân C6 = ∫β +
α x2 a2 dx
Ở đây tôi đưa ra 5 cách giải
+) Cách 1: Đổi biến số x=atant
+) Cách 2: Đổi biến số x=acott
+) Cách 3: Đổi biến số t= ln(x+ x2 +a2 )
+) Cách 4: Đổi biến số t= x+ x2 +a2
+) Cách 5: Đổi biến số x2 +a2 =a+tx
7) Tích phân C7 = ∫β +
α
dx a
x2 2
Trang 6Tôi đưa ra 4 cách giải sau:
+) Cách 1: Đổi biến số x = atant
+) Cách 2: Đổi biến số x = acott
+) Cách 3: Tích phân từng phần
2 2
2 2
x
u x a
x a
dv dx v x
=
=
a x
x
a x
+
−
α
β
2 2
2
a x
x
∫
+
β
2
+
−
=
∫
+
−
α
β α
β
2 2
2 2
2
2 2 2
a x
dx a
dx a x dx
a x
a a x
= C7 – a2C6
(Đã quy về C6 ) Học sinh lựa chọn cách tính C6
+) Cách 4: Đổi biến số t x= + x2 +a2
8) Tích phân C8 = ∫
−
β
α a2 x2 dx
Tôi đưa ra hai cách giải sau
+) Cách 1: Đổi biến số x = asint
+) Cách 2: Đổi biến số x = accost
9) Tích phân C9 = dx
x
∫
β
αsin
1
Tôi đưa ra các cách đổi biến sau:
2 cos
1 2
tan
2
dx x dt
x
+) Cách 2: Vi phân trực tiếp C9 =
=
∫
+
β α
β α
β
tan ln 2 tan
) 2 (tan
2
2 tan 1 2 tan 2
x
x d dx
x x
Trang 7+) Cách 3: C9 = ∫
−
−
=
∫
−
=
α
β α
β
x d dx
x
x dx
) (cos 2
cos 1
sin sin
1
(Đưa về cách tính C3)
+) Cách 4: Đặt
2 tanx
1
2 sin
t
t x
+
= thì đưa về tích phân dạng
C9 = ∫β
α t dt
10) Tích phân C10 = d x
x
∫
β
α sin3 1
+) Cách 1: C10 = sin4 (cos )2 2
dx
= −
−
) 1 ( 1 1 ) 1 ( 1 ) 1 (
1
t
D C
t
B t
A
phương pháp hệ số bất định)
+) Cách 2: Tích phân từng phần C10 = ∫β
α
dx x
x sin
1 sin
1 2
2
sin
sin
sin
x
x
x
x
β
α
β
2
sin 1 sin
cos
C C M dx x
x x
x
11) Tích phân C11 = d x
x
∫
β
α cos3 1
Ta có C11 = ∫
−
=
α
β
α ( 1 sin2 )2
) (sin 4
cos
cos
x
x d dx
x x
Cách 1: Đổi biến số: t = sinx và viết
2 2
2 2 2
2 ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 )
1 )
1
(
1
t
D t
C t
B t
A t
t
−
Trang 8(Dạng C
3
– C
4
, A=B=C=D=1/4)
Cách 2: Tích phân từng phần
2
1
cos
1
cos
u
x
x
=
=
Với cách này tương tự như cách tính C
10
ta cũng quy đưa về tích phân C
12
sau
12) Tích phân C12 =
∫ β α
dx x
cos 1
+) Cách 1: Đặt
2 tanx
1
1 cos
t
t x
+
−
= thì sẽ quy C12 về cách tính tích phân dạng
∫ −
= n
m
dt
t
C12 2
1
1
(là tích phân dạng C2)
+) Cách 2: Biến đổi C12 = ∫β −
x d
2 sin 1
) (sin
Đặt t = sinx thì cũng đưa về dạng C2 quen thuộc
−
−
−
=
−
−
+
−
=
−
α
β α
β
π π
π
4 2 tan(
)) 4 2 (tan(
) 4 2 tan(
2
) 4 2 ( tan 1 )
2 sin(
2
x
x d dx
x
x
x dx
β α
π)
4 2 tan(
−
13) Tích phân C13 = dx
c bx ax
n mx
∫β ++ +
(a>0, m≠ 0)
Cách tính: C13 = dx
c bx ax
n mx
∫ ++ +
β
+ +
+
α
β
dx B
c bx ax
c bx ax d A
2 2
2
) (
.
Trang 9Tìm A, B bằng phương pháp hệ số bất định
Thì C11 được quy về dạng quen thuộc
II Bài tập áp dụng và ví dụ minh họa
Bài toán 1 Tính I1 = ∫1 + +
0 (x 1 ) x2 1
dx
t
dx t
x+ 1 =1⇒ = − 12 Đổi cận x = 0 thì t = 1, x = 1 thì t = ½
+) Ta có I1 = - ∫ ∫
+
−
= +
−
1 2
2 1
1 2
4
1 ) 2
1 ( 2
2 1 2
dt t
t
dt
(*)
(Tích phân (*) có dạng C6 )
+) Đổi biến số ln ( 1) ( 1)2 1
dt du
t
=
+) Đổi cận t = 1 ln1
Khi đó I1 =
1 1 ln( )
2 2 1 ln 2
+
∫
2
; 2 ( , tan ∈ −π π
x
+) Vi phân dt
t
cos
1
=
+) Đổi cận
4 1
, 0
x
+
+
+
= +
= +
4 0
2 4
0
4
8 2 tan(
2
)) 8 2 ( tan 1 ( 2
2 ) 4 sin(
2
2 cos
sin
π π
π
π
π
dt t
t
dt t
t dt
Trang 10
= 4
0 4
0
)) 8 2
ln(tan(
2
2 ) 8 2 tan(
2
)) 8 2 (tan(
2
π
π π
π
+
= +
+
t d
= ln( 1 2 ) 2
Nhận xét : Cách giải 2 thuận lợi hơn do đổi biến số x = tant quen thuộc
Bài toán 2: Tính I2 = 2∫3 +
5 x x2 4
dx
Cách 1: Đổi biến số t = x2 + 4 ⇒t2 =x2 + 4
+) Vi phân tdt = xdx
+) Đổi cận x= 5 ⇒t= 3 ,x= 2 3 ⇒t= 4
+) Khi đó I2 = ∫4 −
3
2 4
t
dt
(Có dạng C2)
4
1 ] 2
1 2
1 [ 4
1 4 4 3
4
3
+
−
−
=
t t t
dt
2
; 2 ( , tan
x
+) Vi phân dt
t
cos
2
=
+) Đổi cận
3 3
2 , 2
5 tan
x
+) Khi đó I2 = ∫3sin
π
dt ( Có dạng C9)
3
1
2 tan ln 2 1 2
tan
) 2 tan 1 ( 2
1 sin
π π
π
t t
t
t t
dt t
t
dt = ∫ + =
Tính ,
2
tant1
5
2 ,
0 2 tan , 1
2 2
5
2
−
=
X
X
5
1
2 =
Vậy I2 =
3
5 ln 4
1 ) 5
1 ln 3
1 (ln 2
1 ] 2 tan ln 6 tan [ln 2
Trang 11Cách 3: - ) Viết lại I2 = 2∫3 +
5 x2 x2 1
xdx
(do x > 0)
+) Đổi biến số
4
2 +
= x t
+) Vi phân
2
dt
+) Đổi cận x= 5 ⇒t = 9 ,x= 2 3 ⇒t = 16
Khi đó I2 = 16∫ −
9 ( 4 ) 2
1
t t
dt
-) Lại đổi biến số u= t ⇒u2 = ⇒ =t dt 2udu
+) Đổi cận t = ⇒ =9 u 3,t = ⇒ =16 u 4
Khi đó I2 =
4 2
du
u −
∫ (đây là kết quả cách 1)
Cách 4: +) Đổi biến số
t
x=1
+) Vi phân dt
t
dx= − 12
+) Đổi cận
3 2
1 3
2
; 5
1
x
+
1
3 2
3 2 1
5
1 2
2
4 1 4
1 1
1
t
dt dt
t t
t
(đến đây ta đã đưa được về dạng C6)
+) Đặt u=ln(2t+ 1 4 )+ t2
2
du
t= ⇒ =u t = ⇒ =u
Khi đó I2 =
ln 5
ln 3
ln
Nhận xét:
Trang 12- Cách 1: thuận lợi hơn, đổi cận dễ, tính tích phân nhanh
- Cách 2: quen thuộc , đổi biến số hai lần, đổi cận phức tạp
- Cách 3: đổi biến số hai lần
- Cách 4: đổi biến số hai lần ở dạng quen thuộc
Cả ba cách đều có niềm tin quy lạ về quen
Bài toán 3 Tính I3 = ∫2 +
1 x4 x2 1
dx
Cách 1: +) Đổi biến số
t
x=1 +) Vi phân t2
dt
dx= −
+) Đổi cận
2
1 2
, 1
x
Khi đó I3 = ∫1 +
2
1 2
3
1dt
t t
+) Đổi biến số u = t2 + ⇒1 u2 = +t2 1
+) Vi phân tdt udu=
+) Đổi cận 1 5, 1 2
Thì I3 =
2 2 5 2
7 5 8 2
24
u − du = −
∫
Nhận xét: Cách giải 1 đổi biến số đi đến I3 = ∫
+
1 2
1 2 1
3
dt t
t
2
; 2 ( , tan ∈ −π π
= t t
x thì đi đến tích phân I3 = 4∫
1cos4
3 sin π
t Đây là tích phân khá phức tạp (tant1 = 1/2)
Cách 2: +) Đổi biến số
1
1 1
2
2 2
2 2
−
=
⇒
+
=
t
x x
x t
Trang 13+) Vi phân =−(t2 − 1 ) 2
tdt xdx
+) Đổi cận
2
5 2
, 2
x
Khi đó
2 5
2 2 2
5
2
2 2
3 2 2
1 6 2
2
1 4 2
−
=
−
−
=
−
−
−
= +
=
t
tdt t
t x
x x
xdx x
x
dx
Nhận xét: Cách giải 2 học sinh phải biết tích phân dạng tổng quát
= β
α
dx bx
a
x
I m( n)p (với m = -4, n = 2, p = p Z
n
, 2
1
) thì việc đổi biến số của cách 2 mới không lạ Do vậy việc giải theo cách 1 là thuận lợi hơn, tự nhiên hơn với đa số học sinh
Bài toàn 4 Tính I4 = ∫8 +
ln
dx x x
Cách 1: Tích phân từng phần
+) Đặt
ln
1
dx
x dx
dv
v x x
+) Khi đó I4 = 2 + − ∫8 +
3
3 1
1 2
ln
x
x x
x
+) Quy về tính I = ∫8 +
3
1
dx x
x
(là dạng tích phân quen thuộc) +) Đổi biến số t= x+ 1 ⇒t2 = x+ 1
+) Vi phân dx = 2tdt
+) Đổi cận x = 3 thì t = 2, x = 8 thì t = 3
Khi đó I = 2∫32 2 −
2
1dt
t
t
t
∫3 + −
2
2 ) 1
1 1 (
2 (là tích phân hữu tỉ quen thuộc dạng C2)
Trang 14Cách 2: +) Đổi biến số t = x+ 1 ⇒t2 = x+ 1
+) Vi phân dx = 2tdt
+) Đổi cận x = 3 thì t = 2, x = 8 thì t = 3
Khi đó I4 = 2∫ −
3 2
2 ) 1 ln(t dt (là dạng quen thuộc đối với học sinh)
Sử dụng tích phân từng phần
+)
2
2
2
1
tdt
t
−
+) Thì I4 = 2[ − − ∫ −
3 2 2
2 3
2 2
1 2
) 1
t
t t
(Việc tính I = ∫32 2−
2
1dt
t
t
không có khó khăn đối với học sinh)
Bài toán 5 Tính I5 = ∫3 +− +
2 2 2 8 1
3 5
dx x x x
Cách giải: Viết
1 8 2
1 1
8 2
)' 8 2 ( 1 8 2
3 5
2 2
2
+ +
= + +
−
x x
B x
x
x x A x
x x
Ta tìm được A = 5/4, B = -13
+ +
+ +
3 2
3
2 2 2
2
1 8 2
13 1 8 2
) 1 8 2 ( 4
5
x x
dx x
x
x x d
(*)
Nhận xét: Biến đổi biểu thức dưới dấu tích phân (*) vvề dạng quen thuộc x dx,
b
a
∫ α
(dạng C1) và dạng ∫β −
α x2 a2
dx
(dạng C5)
Bài toán 6 Tính I6 = ∫4 +
0 tan2 4 1
π
dx x
(Dạng toán đổi cận có hỗ trợ máy tính cầm tay)
Trang 15Giải: Biến đổi I6 = ∫4 −
0 4 3 sin2 cos
π
dx x x
Cách 1: +) Đặt t = 3 sinx⇒dt = 3 cosxdx
+) Đổi cận
2
6 4
; 0
Khi đó I6 = ∫2 −
6
0 4 2 3
1
t
dt (ta đã đưa được về dạng C8)
+) Đổi biến số t ]
2
; 2 [ , sin
2 ϕ ϕ∈ −π π
= +) Vi phân dt= 2 cos ϕdϕ
2
6
; 0
0 ⇒ ϕ = = ⇒ ϕ = ϕ
4 6
4
6 (sin
3
1 3
1
1 1
0
1
=
=
ϕ
d
Để tính giá trị này học sinh phải có sự hỗ trợ của máy tính cầm tay
Cách 2: Biến đổi I6 = ∫
−
4
0 sin 2 4
3 1
cos 2
1
π
dx x x
+) Đổi biến số t x tdt cosxdx
2
3 cos
sin 2
3
4
; 0
x= ⇒ = = π ⇒ = trong đó sint
1 =
4
6 gặp tích phân kiểu I6
học sinh phải biến đổi về dạng quen thuộc C8 = dx
x a
x f
β
α 2 2
) (
và giải như trên thì đỡ gặp khó khăn
4
6 (sin
3
1 3
1 3
1 cos
cos 3
1
1 1
0 0
0
1 1
1
=
=
=
t
t t
Trang 16Học sinh phải có sự hỗ trợ của máy tính cầm tay
Nhận xét: - Tích phân I6 tính trực tiếp hay thay tanx = 2
1
2
t
t
− dẫn tới tích phân phức tạp
- Khi gặp tích phân kiểu I6 học sinh phải biến đổi về dạng cơ bản C8=
và giải như trên thì đỡ gặp khó khăn
Bài toán 7: Tính
5 1
0
2011
−
=
Hướng giải:
Cách 1: Đổi biến số t= x2 +1 thì x2 = t2 – 1 xdx=tdt
+ Đổi cận: x = 0 thì t = 1, x = 1 thì t = 2
+ Đi đến tích phân
4 2 1
0
t t
t
=∫ (a) (Việc tính tích phân
4 2 1
0
t t
t
Cách 2: Đổi biến số t x= +2 1 thì dt = 2xdx
+ Đổi cận: x = 0 thì t = 1, x = 1 thì t = 2
+ Đi đến tích phân
2 1
0
2 2011
t t
t
− −
=∫ (b) Nhận xét: (Việc tính I7 (b) khó hơn I7 (a))
Cách 3: + Đổi biến số x= tan , ( ; )
2 2
π π
+ dx = (1+ tan2ϕ)
Trang 17Đổi cận x = 0, thì ϕ= 0, khi x = 1thì
5 4
0
sin
π
ϕ
Cách 4: Biến đổi
2 2
7
0
1
x
+
Nhận vét: Việc tính I7, tôi hướng dẫn học trò làm 4 cách trên Cách 1 và cách 2 tương tự nhau, có thuận lợi hơn, đổi cận dễ, tính nguyên hàm không phức tạp
Cách 3, đổi biến số x= tanϕ (là truyền thống), có dạng tích phân C6, song đi đến
tính nguyên hàm của hàm số lượng giác là không dễ
Cách 4, Củng cố “thói quen” khi đi tính tích phân học sinh thường phải biến đổi biểu thức dưới dấu tích phân " Với cách này học sinh phải nắm chắc “vi phân”
Cả bốn cách giải trên đều đi đến kết quả mong muốn, song cách 1 là thuận lợi hơn cả
C Kết luận
- Mâu thuẫn là động lực của phát triển, mâu thuẫn giữa nhu cầu nhận thức và tri thức kĩ năng còn hạn chế là động lực thúc đẩy nhận thức của học sinh
- Con người bắt đầu tư duy tích cực nảy sinh nhu cầu tư duy, khi có nhu cầu hiểu biết, khi có niềm tin và niềm say mê, hứng thú thì quá trình nhận thức có hiệu quả
- Hiệu quả giáo dục đạt được cao hơn khi quá trình đào tạo biến thành tự đào tạo
- Đáp ứng nhu cầu của đại đa số học sinh tôi đã thông qua một số bài toán cụ thể, hướng dẫn cho học sinh giải, thực hành bằng nhiều chách khác nhau của một bài toán để học sinh phát hiện và xây dựng , lựa chọn cách giải phù hợp nhất cho bài toán tích phân có trong chương trình sgk cũng như giúp các em giải các bài toán tích phân trong đề thi đại học
Trang 18Thực tế kết quả tốt, thể hiện qua khảo sát thực hiện ở hai lớp có kết quả tiến bộ rõ rệt
số
Điểm giỏi Điểm khá Điểm TB Điểm kém Ghi
chú
-Tuy nhiên tổng thời lượng cho kiến thức phần nguyên hàm, tích phân và ứng dụng
là 11 tiết là quá ít, do nhu cầu giảm tải Song thực tế mà người học phải giải quyết các bài tập trong sgk và tiếp cận các đề thi đại học là không thể thiếu, do vậy giáo viên cần thiết phải hướng dẫn cho học sinh phương pháp tìm tòi cách giải và có niềm tin khi giải toán tích phấn
D Kiến nghị
Trong chương trình nên có sự thống nhất “chuấn” các vi phân, tích phân “cơ bản” ngoài bảng nguyên hàm mà sách đã trình bày, thì định hướng cho học sinh nội dung kiến thức cần phải nhớ, cần rèn luyện và những bài toán tích phân trong sgk học sinh phải giải được cũng như giải được các bài toán tích phân trong đề thi đại học
Do thời gian có hạn, kinh nghiệm của tôi hướng dẫn cho học sinh tìm tòi những cách giải khác nhau của một bài toán tích phân cụ thể, để:
1) Học sinh chủ động giải toán, qua mỗi cách giải tự nhận ra khó khăn(hạn chế), thuận lợi(ưu thế) của mỗi cách giải mà lựa chọn một cách giải thích hợp nhất cho một bài toán
2) Học sinh biết những dạng tích phân “cơ bản” để khi giải bài toán tích phân
cụ thể “ biết quy lạ về quen”
3) Khi đã “quy lạ vè quen” các em có long tin, say mê, ham học hơn
Trao đổi với đồng nghiệp tôi không có ý thức nêu bài toán tổng quát và cách giải tổng quát cho một bài toán tích phân Do vậy mong được sự góp ý xây dựng của đồng nghiệp để kinh nghiệm giầu hơn, giúp học sinh học tốt hơn về toán tích phân Nga sơn, ngày 27/05/2011