Về một số phương pháp hiệu chỉnh bài toán cauchy của phương trình elliptic

7 2 Hiệu chỉnh bài toán hoàn thiện dữ liệu bằng phương pháp lặp Richardson 12 2.1 Đặt bài toán.. Trong chương 1, chúng tôi trình bày một số cơ sở toán học cần thiếtcho việc nghiên cứu bà

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

Mục lục

1.1 Khái niệm, tính chất, chuẩn và nửa chuẩn của một số không

gian 2

1.1.1 Không gian Sobolev và Hilbert (H1 và H1/2) 3

1.1.2 Chuẩn trong không gian Sobolev 3

1.2 Tìm hiểu về bài toán đặt không chỉnh 4

1.3 Phương pháp hiệu chỉnh lặp Richardson 7

2 Hiệu chỉnh bài toán hoàn thiện dữ liệu bằng phương pháp lặp Richardson 12 2.1 Đặt bài toán 12

2.2 Công thức biến phân 13

2.3 Phương pháp Richardson tiền điều kiện 19

2.3.1 Một số kết quả kỹ thuật 19

2.3.2 Liên hệ với phương pháp KMF 22

2.4 Sự hội tụ 25

2.4.1 Quy tắc dừng tiên nghiệm 26

MỞ ĐẦU

Luận văn này nhằm trình bày một phương pháp hiệu chỉnh lặp đối với bàitoán Cauchy của phương trình elliptic Đây là một vấn đề được nhiều nhàtoán học quan tâm ở cả phương diện lý thuyết và thực hành, có ứng dụngnhiều trong thực tế

Trong chương 1, chúng tôi trình bày một số cơ sở toán học cần thiếtcho việc nghiên cứu bài toán Cauchy và một số phương pháp hiệu chỉnhcủa phương trình elliptic bằng phương pháp biến phân Chúng tôi nhắc lạivắn tắt về các không gian định chuẩn và không gian hàm Các khái niệm

về bài toán Cauchy và biểu thức biến phân của nó được nêu lại Một sốphương pháp hiệu chỉnh cho lớp các bài toán này cũng được nêu ra

Ở chương 2, chúng tôi giới thiệu bài toán Cauchy của phương trìnhelliptic và một ứng dụng của nó là bài toán hoàn thiện dữ liệu Chúng tôiđưa ra mô hình hiệu chỉnh lặp bài toán và các ước lượng tiên nghiệm vàhậu nghiệm

Phần kết thúc của luận văn là Kết luận và Tài liệu tham khảo

Qua đây tác giả chân thành bày tỏ lòng kính trọng và biết ơn sâu sắctới Thầy hướng dẫn TS Dư Đức Thắng, người đã giúp đỡ, chỉ bảo tậntình tác giả trong suốt quá trình nghiên cứu và hoàn thành luận văn này.Tác giả cũng xin chân thành cảm ơn Ban lãnh đạo Trường Đại họcKhoa học Tự nhiên, Phòng sau đại học, các thầy cô giáo cùng toàn thểcán bộ, công nhân viên Khoa Toán- Cơ- Tin học đã giảng dạy và tạo mọiđiều kiện thuận lợi cho tác giả trong suốt thời gian học tập tại trường.Bên cạnh đó, tác giả cũng rất mong nhận được những ý kiến đóng góp,phê bình của thầy cô và các bạn cho bản luận văn này

Ví dụ về một số không gian tuyến tính định chuẩn thường gặp:

• Không gian các hàm Lp[a, b] với phần tử là các hàm khả tích x(s) cóchuẩn được xác định như sau

1.1.1 Không gian Sobolev và Hilbert (H1 và H1/2)

Nội dung của phần này được tham khảo từ [7, trang 12]

Cho k ∈ N, p ∈ [1, ∞] Cho Ω là một miền bị chặn (giới nội) trong Rn.Chúng ta gọi Ck(Ω) là không gian các hàm khả vi liên tục trên Ω đến cấp

k VìΩ¯ là compact, cho nên với mỗi k = 0, 1, 2, , ta có Ck(Ω) ⊆ Lp(Ω)

Các không gian trên đều là các không gian Banach Nếu p = 2thì chúng

là không gian Hilbert, trừ trường hợp không gian các hàm liên tục

Kí hiệu H1(Ω) là không gian Sobolev gồm tất cả các hàm trong L2(Ω)

sao cho đạo hàm cấp một của nó cũng thuộc L2(Ω) Với mỗi phầnΥ ⊂ ∂Ω,không gianH01(Ω, Υ) gồm tất cả các hàm của H1(Ω)mà triệt tiêu trên Υ.Không gian H1/2(Υ) là tập các vết trên Υ của tất cả các hàm của H1(Ω).Chúng ta kí hiệu H−1/2(Υ) là không gian topo đối ngẫu của H1/2(Υ)

1.1.2 Chuẩn trong không gian Sobolev

Xét Ω là một miền bị chặn trong R2 với một độ đo Lebesgue µ Kí hiệu

L2(Ω) là không gian Lebesgue gồm các hàm khả tổng bình phương, tức là

f ∈ L2(Ω) khi và chỉ khi

R

Ω

f2dµ

1/2

< ∞.Cùng với tích vô hướng trên L2(Ω) được xác định bởi

hf, gi =

R

Ω

f (x)g(x)dµ(x)

1/2

, f, g ∈ L2(Ω)

Ta định nghĩa chuẩn trên L2(Ω) được xác định bởi

kf k =

R

Ω

f2dµ

1/2

, f ∈ L2(Ω)

1.2 Tìm hiểu về bài toán đặt không chỉnh

Xét phương trình toán tử trong cặp không gian Hilbert (X, Y ) nào đó códạng

T x = b, (1.1)trong đó T là toán tử tuyến tính trên T ∈ L(X, Y ), vectơ b ∈ Y cho trước

và vectơ x ∈ X là vectơ cần tìm Ta nói bài toán (1.1) là Bài toán đặtchỉnh theo Hadamard

• Với mỗi b ∈ Y tồn tại nghiêm x ∈ X

• Nghiệm x xác định duy nhất

• Bài toán này ổn định trên cặp không gian (X, Y )

Một thời gian dài người ta nghĩ rằng mọi bài toán đặt ra đều thoả mãn

ba điều kiện trên Nhưng thực tế chỉ ra rằng ý niệm đó là sai lầm Nhất

là khi máy tính điện tử ra đời, trong tính toán các bài toán thực tế bằngmáy tính luôn xảy ra quá trình làm tròn số Chính sự làm tròn đó dẫn đếncác kết quả sai lệch đáng kể

Nếu ít nhất một trong ba điều kiện trên không thoả mãn, bài toán tìmnghiệm được gọi là bài toán đặt không chỉnh Đôi khi người ta gọi là bàitoán đặt không chính quy hoặc bài toán thiết lập không đúng đắn Cũngcần lưu ý rằng một bài toán có thể thiết lập không đúng đắn trên cặpkhông gian metric này, nhưng lại thiết lập đúng đắn trên cặp không gianmetric khác

Khái niệm về bài toán đặt chỉnh được J Hadamard đưa ra khi nghiêncứu về ảnh hưởng của các điều kiện biên lên nghiệm của các phương trìnhelliptic cũng như parabolic

Ví dụ 1.2.1 Ví dụ này được đưa ra bởi J Hadamard và nằm trong bàitoán hoàn thiện dữ liệu dọc theo phần không thể truy nhập được của biên

từ các điều kiện biên đặc biệt trên phần truy nhập được Chúng ta có

−∆u = 0 trong R×R+;u(x, 0) = g(x) và ∂yu(x, 0) = ϕ(x)

Giả sử cho trước các dữ liệu Neumann và Dirichlet g(x) = 0, ϕ(x) =sin(ax), ta tìm được nghiệm của bài toán có dạng

u(x, y) = 1

a sin(ax) sinh(ay).

Nhận thấy rằng dữ liệu Cauchy (g, ϕ) là bị chặn đều theo tham số a trongkhi nghiệm u tăng trưởng mũ theo a khi a → ∞ Do đó, nghiệm không phụthuộc liên tục theo dữ liệu Cauchy trong L∞ Thực ra chúng ta không thể

có tính bị chặn theo bất kì chuẩn khả dĩ nào chẳng hạn các chuẩn Sobolevhoặc H¨older

Ví dụ 1.2.2 Một ví dụ khác đến từ bài toán truyền nhiệt Chúng ta xétbài toán truyền nhiệt trong Ω ⊂ Rd(d = 2, 3) với τ > 0,

ut − ∆u = 0 trong QT = Ω × (0, τ ),u(x, t) = 0 trên Γ × (0, τ ),

u(x, 0) = ϕ(x) trong Ω

Ta biểu diễn nghiệm u dưới dạng chuỗi Fourier Trước tiên, chúng ta xét

cơ sở Hilbert (un(x))n trong L2(Ω), ở đây (un)n là các vector riêng củatoán tử Laplace xác định trên H01(Ω) Điều này nghĩa là un ∈ H1

Dễ dàng kiểm tra ngay rằng u ∈ C((0, +∞); L2(Ω)) Bây giờ, cho trướcmột quan sát cuối cùng uτ ∈ L2(Ω) Bài toán truy ngược để tìm ϕ(x) tức

là nhiệt độ ở thời điểm ban đầu t = 0 nào đó, biết rằng u(x, τ ) = uτ(x)

trong Ω là đặt không chỉnh Quả vậy, bài toán trên dẫn tới biểu diễn

Để cho thuận tiện, ta xét trường hợp các không gian Hilbert X và Y

là trùng nhau, và được kí hiệu chung là H Khi đó có một tiêu chuẩn đặctrưng cho sự tồn tại nghiệm của phương trình toán tử (1.1) được áp lên

vế phải b, được gọi là tiêu chuẩn Picard Giả thiết rằng toán tử T là toán

tử compact, khi đó toán tử ngược của nó T−1 là không bị chặn Giả sử giátrị riêng và vectơ riêng của T là hệ (mun, vn) thì điều kiện Picard đượcphát biểu là phương trình (1.1) là giải được khi và chỉ khi

xỉ tin cậy được cho bài toán đang xét Từ thời Tikhonov (1952) tới nay,các nhà toán học đã xây dựng rất nhiều phương pháp hiệu chỉnh các bàitoán đặt không chỉnh Trong chương này và chương tiếp theo, chúng tôi

sẽ trình bày về một phương pháp hiệu chỉnh bài toán Cauchy của phươngtrình elliptic thông qua ví dụ về bài toán hoàn thiện dữ liệu

1.3 Phương pháp hiệu chỉnh lặp Richardson

Để chuẩn bị cho các nghiên cứu về quá trình hiệu chỉnh bài toán bằngphương pháp Richardson, chúng tôi giới thiệu một số kết quả mang tínhchất kĩ thuật Ta nhắc lại phương trình (1.1) trong không gian Hilbert H

như sau: tìm x ∈ H sao cho

Phương pháp lặp Richardson cho phép từ điểm x0 ∈ H, ta xác địnhđược dãy {xn} thoả mãn

xn+1 = xn+ (b − T xn) = (I − T )xn + b

Ta đi nghiên cứu tốc độ hội tụ của dãy{xn}trong trường hợpblà chính xáchoặcb bị nhiễu thành b Giả sử phương trình có nghiệm, khi đó b ∈ R(T ),tức là tồn tại duy nhất nghiệm x thoả mãn T x = b Đặt en = xn − x thì

ta được phương trình

en+1 = (I − T )en = = (I − T )n+1e0

Ta có một số kết quả sau

Bổ đề 1.3.1 1 Toán tử I − T là chính qui tiệm cận, tức là

Mà dãy(k yn k)n là không tăng vì vậy hội tụ tới số thựcν TừT là compact

và dãy ((I − T )nx)n bị chặn bởi k x k do vậy (yn)n là compact trong H

Do đó có thể trích ra một dãy (yn)k hội tụ đến y nào đó trong H Hơn nữa,dãy (yn+1 = (I − T )yn)k hội tụ (I − T )y Do vậy, k (I − T )y k=k y k Từ

đó, ta có: y = 0 hay (k yn k)n hội tụ về 0 Ta có điều phải chứng minh

2 Giả sử x ∈ R(T ) thì x = T z Ta có:

(I − T )nx = (I − T )nT z

Áp dụng Bổ đề 1.3.1 phần 1, ta có điều phải chứng minh

Nếu x /∈ R(T ), với mọi  > 0, tồn tại y ∈ R(T ) sao cho k x − y k<  Tacó:

k (I−T )nx k≤k (I−T )n(x−y) k + k (I−T )ny k≤k x−y k + k (I−T )ny k

mà ((I − T )ny)n hội tụ về 0 khi n tiến ra vô cùng Vậy: k (I − T )ny k≤ ,hay

k (I − T )nx k≤ 2

Ta có điều phải chứng minh

Nếu gọi (µk, φk) là giá trị riêng và vectơ riêng tương ứng của toán tử T

thì do T compact ta có µk → ∞ khi k → ∞ Điểm x ∈ H sẽ được biểudiễn qua hệ cơ sở {φk} như sau:

Bổ đề 1.3.3 Cho p ∈ (0, 1] và x, x0 ∈ R(Tp) Khi đó chúng ta có

kxn − xk ≤ En−p,

ở đây, hằng số E chỉ phụ thuộc vào (x, x0)

Tốc độ hội tụ của dãy (xn)n tới x có thể chậm tùy ý Sự lựa chọn hợp

lí tham số p sẽ cho chúng ta bậc hội tụ tối ưu Tiếp theo đây, chúng ta sẽxét sự phân kì của nghiệm x khi dữ kiện vế phải bị nhiễu Từ đây ta đưa

ra một điều kiện về chỉ số của dãy xấp xỉ để có thể có được nghiệm chấpnhận được của phương trình Xét x,n là dãy nghiệm tương ứng với dữ kiện

b = b + δb, xấp xỉ tới nghiệm chính xác x Như ở trên, nhìn chung khoảng

cách từ x,n tới x sẽ dần ra vô cùng khi n tăng vô hạn Tuy nhiên, với mộtcách chọn lựa n phù hợp, ta sẽ nhận được nghiệm xấp xỉ mong muốn.

Bổ đề 1.3.4 (Trường hợp dữ kiện bị nhiễu) Ta có

đó, x ∈ R(Tp), tức là tồn tại χ ∈ H sao cho x = Tpχ Với điều kiện này,

ta xây dựng được một ước lượng tiên nghiệm, tức là chọn được điểm dừngcủa tham số n phụ thuộc vào  để thuật toán Richardson hội tụ và có tốc

độ hội tụ tương ứng như sau

Bổ đề 1.3.5 Giả sử x ∈ H thoả mãn điều kiện nguồn tổng quát (GSC)

ở trên, với p ∈ (0, 1] nào đó Khi đó nếu trong phép lặp Richardson, chỉ

số n được chọn sao cho

Chứng minh Chứng minh dựa vào các đánh giá của các bổ đề ở trên Tacó

Hình 2.1: Miền Ω, biên ΓC là tiếp cận được, và biên ΓI là không tiếp cận được Khi đó

có sẵn dữ liệu Cauchy trên ΓC và không có thông tin gì trên ΓI.

Cho trước một thông lượng ϕ và một dữ liệu g Bài toán Hoàn thiện

Dữ liệu được phát biểu như sau: tìm u ∈ H1(Ω) sao cho

−∆u = 0, trong Ω, (2.1)

u = g, trên ΓC (2.2)

∂nu = ϕ, trên ΓC (2.3)

Phần ΓC là phần có thể truy nhập được của Γ và do đó có thể thu được

g và ϕ, nên được gọi là điều kiện biên Cauchy Trái lại, phần ΓI là khôngthể tiếp cận và không thể đo được trên đó

Tìm u mà (∇u) ∈ L2(Ω), hay tương đương, u ∈ H1(Ω) Từ nay về sau

H1(Ω) là khuôn khổ phù hợp cho bài toán Cauchy Dữ liệu Cauchy có thểchấp nhận yêu cầu rằng g ∈ H1/2(ΓC) và ϕ ∈ H−1/2(ΓC) Điều này đượcgiả sử trong suốt luận văn này

2.2 Công thức biến phân

Ta phân rã nghiệmu thành (uD, uN) là các nghiệm của hai bài toán giá trịbiên độc lập Thành phần đầu tiên uD thỏa mãn điều kiện Dirichlet trên

ΓC trong khi thành phần thứ hai uN thỏa mãn điều kiện Neumann trên

ΓC Khi hai nghiệm này bằng nhau, chúng trùng với nghiệm cần tìm u

của (2.1)-(2.4) Phương pháp của chúng tôi dựa theo là công thức Poincaré Điểm mấu chốt là xét vết chung (uD)|ΓI = (uN)|ΓI = λ, trên ΓI,

Steklov-mà không có trước, được coi như một ẩn của bài toán Nếu biết được nóthì nghiệm toàn bộ u = (uD = uN) của (2.1)-(2.4) được tìm lại bằng cáchgiải một trong các bài toán con theo uD và uN Để giải quyết vấn đề này,đặt uD = uD(λ, g) là nghiệm của

∂nuN = ϕ, trên ΓC,

uN = λ, trên ΓI

Một ứng dụng của dạng mới của Định lý duy nhất nghiệm Holmgrencho phép dữ liệu cần tìm λ ∈ H1/2(ΓI) là dữ liệu mà thỏa mãn phươngtrình thông lượng, được gọi là bài toán Steklov-Poincaré,

∂nuD(λ, g) = ∂nuN(λ, ϕ) trên ΓI (2.7)Thật vậy, ta xét hiệuw = uD− uN Nó là nghiệm của bài toán thuần nhấtsau

trên toàn Ω tức là uD = uN (= u)

Phương trình (2.7) có thể được đặt dưới dạng biến phân thích hợp.Trước khi làm điều này, ta cần một số ký hiệu Ta sử dụng các ký hiệuđược dùng trong [2], để đơn giản ta viết

(uD(µ), uN(µ)) := (uD(µ, 0), uN(µ, 0))(˘uD(g), ˘uN(ϕ)) := (uD(0, g), uN(0, ϕ))

Lấy λ thuộc H1/2(ΓI) Ta xây dựng công thức biến phân của bài toánDirichlet (2.5) như sau: tìm uD(λ, g) ∈ H1(Ω) sao cho

Z

Ω

∇uD(λ, g)∇vdx = 0, ∀v ∈ H01(Ω) (2.8)với

uN(λ, ϕ) |ΓI= λ

Bây giờ, các thành phần tổng thể cần thiết cho việc xây dựng côngthức biến phân của bài toán Steklov-Poincaré (2.7) đang có sẵn Do đó,bài toán có thể được phát biểu lại như sau: tìm λ ∈ H1/2(ΓI) thỏa mãn

s(λ, µ) = `(µ), ∀µ ∈ H1/2(ΓI) (2.10)Dạng song tuyến tính s(·, ·) và dạng tuyến tính `(·) được định nghĩa bởi:

Dạng song tuyến tính sD(·, ·) và sN(·, ·) và dạng tuyến tính `D(·) và `N(·)

liên hệ với số hạng tích phân chứa uD(λ, g) và uN(λ, ϕ), tương ứng Ta cómột số các kết quả sau

Đây là bài toán giá trị biên và do đó là đặt chỉnh Theo bổ đề của Milgram, uN là nghiệm duy nhất của bài toán cực tiểu hóa

Lax-12

Bây giờ, giả sử rằng µ ∈ H1/2(ΓI) sao cho s(µ, µ) = 0, điều này có nghĩa

sD(µ, µ) = sN(µ, µ) Do tính duy nhất của bài toán tối ưu (2.11), ta thuđược

uD(µ) = uN(µ) = u

Do đóulà nghiệm của bài toán hoàn thiện dữ liệu thuần nhất với điều kiệnCauchy bị triệt tiêu trên ΓC Sử dụng định lý duy nhất nghiệm Holmgrendẫn tới u = 0 trong Ω, và khi đó µ = 0 trên ΓI Điều này nói rằng s(·, ·)

là xác định không âm Điều phải chứng minh

Bài toán đặt không chỉnh (2.1)-(2.4), được chỉ ra bởi J Hadamard,được biết đến rộng rãi Có thể xem chứng minh của nó trong [5] trongmiền tổng quát hơn Trong các công trình đó có đưa ra rằng tập các dữliệu Cauchy chính xác (g, ϕ) mà sự tồn tại của nghiệm u trong H1(Ω) làtrù mật trong H1/2(ΓC) × H−1/2(ΓC) Khi đó ta có các kết quả sau:

Bổ đề 2.2.2 Tập dữ liệu Cauchy (g, ϕ) tương thích sẽ trù mật trong

H1/2(ΓC) × H−1/2(ΓC)

Bổ đề 2.2.3 Tập dữ liệu Cauchy (g, ϕ) không tương thích sẽ trù mậttrong H1/2(ΓC) × H−1/2(ΓC)

Chứng minh Ta chứng minh bằng phản chứng Xét không gian

H(∆, 0) = v ∈ H1(Ω), −∆v = 0, trong Ω

H1-chuẩn là chuẩn Hilbert trên H(∆, 0) Xét toán tử vết tuyến tính

T : v 7→ (v, ∂nv)|ΓC

Theo định lý Holmgren nó là một đơn ánh và bị chặn từ H(∆, 0) vào

H1/2(ΓC)×H−1/2(ΓC) Bây giờ, giả sử phần bù củaR(T )không có tính trùmật Khi đó R(T )sẽ chứa ít nhất một hình cầu mở khác rỗng Bây giờ cho

R(T ) là một không gian con trong H1/2(ΓC) × H−1/2(ΓC), có phần trongkhác rỗng, do đó nó trùng với toàn bộ không gian H1/2(ΓC) × H−1/2(ΓC).Toán tử T sẽ là toàn ánh và do đó cũng là song ánh Sử dụng định lý ánh

xạ mở ta suy ra nó là một đẳng cấu Kết quả là, bài toán Cauchy là đặtchỉnh mâu thuẫn với tính đặt không chỉnh

Chú ý 2.2.4 Ký hiệu S là toán tử Dirichlet-Neumann tương ứng với dạngsong tuyến tính s(·, ·) thông qua quan hệ

hSλ, µi = s(λ, µ), ∀λ, µ ∈ H1/2(ΓI)

Theo định nghĩa củas(·, ·), S là toán tử xác định không âm ánh xạ H1/2(ΓI)

vào H−1/2(ΓI) Nó được chứng minh thuộc lớp Hilbert-Schmidt và do đó

nó là toán tử compact

Chú ý 2.2.5 Mỗi dạng song tuyến tính sD(·, ·) và sN(·, ·) xác định mộttích trong trên H1/2(ΓI), và chuẩn tương ứng của chúng trên H1/2(ΓI) đềutương đương với chuẩn thông thường k · kH1/2 (Γ I ) Tức là, với µ ∈ H1/2(ΓI),