1,0 điểm Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn I.. Hình chiếu vuông góc của S trên mặt đáy là trung điểm I của đường chéo AC.. 1,0 điểm Trong mặt p
Trang 11
Câu 1 (1,0 điểm) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số y = f(x) = –x³ + 3x + 1
Câu 2 (1,0 điểm) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = x 1
x 2
tại điểm có hoành độ bằng 1 Câu 3 (1,0 điểm)
a Cho số phức z thỏa mãn z(i + 2) + z = 5 + 3i Tính modun của số phức z
b Giải phương trình log2 (3x – 1) + log2 (x + 3) – 3 = 0
Câu 4 (1,0 điểm) Tính tích phân I =
Câu 8 (1,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC cân tại B, điểm D(3; 5) là chân đường cao của ΔABC hạ từ B Đường thẳng BC đi qua điểm E(–1; –3) Đường cao hạ từ A của ΔABC có phương trình x + y – 6 = 0 Tìm tọa độ các đỉnh A, B, C
Câu 9 (1,0 điểm) Giải phương trình (2x² – 2x + 1)(2x – 1) + (8x² – 8x + 1) x2 x = 0 trên tập số thực R Câu 10 (1,0 điểm) Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn 4 4 4 49
x y z x y z
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = (x y)(y z)(z x)
xyz
Trang 28 A(0; 6), B(1; –1), C(6; 4)
9 Đặt a = 2x – 1 và b = x2 x (điều kiện 0 ≤ x ≤ 1)
Phương trình đã cho trở thành: (1 – 2b²)a + (1 – 2a²)b = 0
<=> (a + b)(1 + 2ab) = 0 <=> b = –a hoặc ab = –1
Với b = –a => x = 5 5
10
Với ab = –1 Chứng minh được phương trình vô nghiệm
10 Đặt a = x/y; b = y/z; c = z/x => abc = 1 và a, b, c > 0
Giả sử a là số nhỏ nhất trong ba số a, b, c => 0 < a ≤ 1
Điều kiện đề bài <=> a + b + c + ab + bc + ca = 37/4 => b + c =
2
37a 4a 44a(a 1)
Trang 3a Tìm các căn bậc hai của số phức z = 1 9i 5i
1 i
b Giải phương trình 4log9 x + logx 3 = 3
Câu 4 (1,0 điểm) Tính tích phân I =
Câu 6 (1,0 điểm)
a Giải phương trình cos 2x = 3cos x + 4
b Cho số nguyên dương n thỏa mãn 3 2
Câu 8 (1,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (I) Tiếp tuyến của (I) tại A có phương trình 2x + y + 3 = 0 Chân đường phân giác trong góc A là D(1; 7) và đường thẳng chứa cạnh AC có phương trình là y – 3 = 0 Tìm tọa độ các đỉnh B, C
Câu 9 (1,0 điểm) Giải hệ phương trình
Trang 49 Biến đổi phương trình thứ nhất: (y² – x + 1)(x² + 1 – y²) = 0
Với y² – x + 1 = 0 => y² = x – 1 Thay vào phương trình còn lại
2
4x 1 6x 8 4 x 2 7x 1 0 (*)
Với x ≥ 2, ta có 4x – 8 ≥ 0; x² – 4x + 8 > 0 => x² > 4(x – 2) => 2x > 4 x2
4x² – 7x – 2 ≥ 0 => 4x² – 1 ≥ 7x + 1 > 0
Vậy phương trình (*) vô nghiệm
Với y² = x² + 1 thay vào phương trình còn lại: 2
2x 1 7x 15x x 1 (x 1)
2b 2b 3b3(c a) c a 2
Trang 55
Câu 1 (1,0 điểm) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số y = x³ – 3x² + 3
Câu 2 (1,0 điểm) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y = x – ex–1
π/4
2 0
3 2 tan x
dxcos x
0 và x – 2y + 1 = 0 Tìm tọa độ các đỉnh của hình vuông ABCD
Câu 9 (1,0 điểm) Giải hệ phương trình sau trên R:
Trang 7Câu 3 (1,0 điểm)
a Tính modun của số phức z thỏa mãn (1 + 2i)z + (1 – z )i = 15
b Giải bất phương trình log2 (x² – x) + log1/2 (x – 1) ≤ 2
Câu 4 (1,0 điểm) Tính tích phân I =
a Giải phương trình sau: 2cos (2x – π/3) – 3sin 2x = 1
b Chia ngẫu nhiên 12 bạn trong đó có An và Bình vào 3 nhóm sao cho mỗi nhóm có 4 người Tính xác suất sao cho An và Bình ở cùng một nhóm
Câu 7 (1,0 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B Biết AB = BC = a;
AD = 2a; SA = a Hình chiếu vuông góc của S trên mặt đáy là trung điểm I của đường chéo AC Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng AB, SC
Câu 8 (1,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình thang vuông ABCD tại A và D Biết CD = 2AB và B(–2; 7) Hình chiếu vuông góc của D trên cạnh AC là H(–1; 4) Gọi M là trung điểm của đoạn HC Đường thẳng chứa DM có phương trình là 3x + y + 9 = 0 Tìm tọa độ các đỉnh A, C, D
Câu 9 (1,0 điểm) Giải hệ phương trình sau trên tập các số thực:
Trang 810 (x + y + z)² ≥ 4x(y + z) = 4(xy + xz) và 24x(y + z) ≤ 6(x + y + z)²
Trang 99
Câu 1 (2,0 điểm) Cho hàm số y = x
x 1 (1)
a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1)
b Viết phương trình tiếp tuyến với (C) tại điểm có tung độ là yo = 2
Câu 2 (1,0 điểm)
a Giải phương trình 52x
– 24.5x–1 – 1 = 0
b Tìm phần thực và phần ảo của số phức z thỏa mãn (1 – i)z – (2 – i) z = 2 + 9i
Câu 3 (1,0 điểm) Tính tích phân I =
Câu 5 (1,0 điểm)
a Cho cot α = –3 Tính A = 1 – 2sin 2α + cos 2α
b Trong kỳ thi xét công nhận tốt nghiệp THPT thí sinh phải thi bốn môn trong đó có ba môn bắt buộc và một môn do thí sinh tự chọn trong số các môn gồm Vật lí, Hóa học và ba môn khác Lớp 12A có 32 học sinh đăng kí dự thi, trong đó 9 học sinh chọn môn Vật lí và 13 học sinh chọn môn Hóa học Lấy ngẫu nhiên 3 học sinh bất kỳ của lớp 12A Tính xác suất để trong 3 học sinh đó không có đồng thời học sinh chọn môn Vật lý
và học sinh chọn môn Hóa học
Câu 6 (1,0 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AD = 2a; AB = a Hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng ABCD là trung điểm I của cạnh AD Tam giác SAD vuông tại S Tính theo
a thể tích của khối chóp S.IBCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng SA, CI
Câu 7 (1,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có E(2; 1) là giao của ba đường phan giác trong Đường thẳng AE cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC tại D(2, –4) Đường thẳng chứa cạnh BC có phương trình là x – 2y – 5 = 0 Xác định tọa độ các điểm A, B, C biết điểm B có hoành độ âm Câu 8 (1,0 điểm) Giải hệ phương trình
3
(x 1) 6y (4 3y)( 1 3y 1)(3y 2)(3x x 9y 3 3x 5) 6x 3x 5 10x 22
Trang 10
Đặt t = a + b + c => P ≥ 8/t² + t² – 2t = g(t)
g’(t) = 2t – 2 – 16/t³ → g’’(t) = 2 + 48/t4
> 0 với mọi t > 0 g’(t) = 0 <=> t = 2 và g’’(2) > 0 => g(t) có giá trị nhỏ nhất là g(2)
=> min P = g(2) = 2 khi a = 2/5 và b = c = 4/5
Trang 1111
Câu 1 (2,0 điểm)
a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số y = –x³ + 3x² – 2
b Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số f(x) = x 3
x 2
tại giao điểm của đồ thị với trục hoành Câu 2 (1,0 điểm)
a Gọi z1, z2 là 2 nghiệm của phương trình z² – 4z + 5 = 0 Tính |z1 – z2|
b Giải phương trình log2 (x + 3) – log1/2 x² = 2
Câu 3 (1,0 điểm) Tính tích phân I =
0
2 1
1dx
x 2x 2
Câu 4 (1,0 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(2; –3; 1) và mặt phẳng α: x – 2y + 2z +
8 = 0 Gọi B là hình chiếu vuông góc của A trên mặt phẳng α Viết phương trình mặt cầu tâm B và đi qua A Câu 5 (1,0 điểm)
a Tính giá trị của biểu thức P = 25sin x (sin x + sin 3x) – 7(1 + cos 2x) biết cos x = 3/5
b Chọn một số có 5 chữ số Tính xác suất sao cho số được chọn là số viết theo thứ tự ngược lại vẫn giống như số ban đầu
Câu 6 (1,0 điểm) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB = a, AC = 2a Hình chiếu vuông góc của S trên (ABC) là trung điểm H của cạnh AC Biết SA tạo với mặt đáy một góc 60° Tính theo
a thể tích của khối chóp S.ABC và khoảng cách giữa hai đường thẳng SA, BC
Câu 7 (1,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD Gọi M là điểm đối xứng của B qua C Hình chữ nhật ABCD nội tiếp đường tròn (T): (x – 3/4)² + (y – 2)² = 169/16 và điểm M(6; 5) Tìm tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật ABCD biết D có tung độ dương
Câu 8 (1,0 điểm) Giải hệ phương trình trên tập số thực:
Trang 128 (1) <=> x³ + x²(y – 1) + x(y – 1)² – 3(y – 1)³ = 0 (*)
Nếu y = 1 => x = 0 thỏa hệ phương trình
Nếu y ≠ 1, đặt x = k(y – 1)
(*) <=> k³ + k² + k – 3 = 0 <=> (k – 1)(k² + 2k + 3) = 0 <=> k = 1 => x = y – 1 (2) <=> x (x2 2) x 4 1 x 3(x 1) (với điều kiện 1 ≥ x ≥ –4)
2xy ≤ x² + y² => 4/(x² + y²) ≤ 2/(xy) = z
8/[z(x + y)] = 4xy/(x + y) ≤ (x + y)²/(x + y) = x + y
Trang 1313
Câu 1 (2,0 điểm)
a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số y = –x³ + 6x² – 9x + 2
b Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số f(x) = 2x 1
a Tìm b, c sao cho phương trình z² + bz + c = 0 có một nghiệm là z1 = 1 – 3i
b Giải bất phương trình log2 (2x² + 3x) < log1/2 (x + 1) + log2 (4x + 6)
Câu 3 (1,0 điểm) Tính tích phân I =
1
2 0
1 2 ln(x 1)
dx(x 1)
Câu 4 (1,0 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm I(–2; 1; 3) và mặt phẳng α: x + 2y – 2z –
3 = 0 Viết phương trình mặt cầu tâm I và tiếp xúc với mặt phẳng α Tìm tọa độ của tiếp điểm
Câu 5 (1,0 điểm)
a Giải phương trình (1 + sin x)cos x = sin x + cos² x
b Cho một đa giác đều có 20 đỉnh Chọn 3 đỉnh bất kỳ để tạo thành tam giác Tính xác suất để tam giác đó
là tam giác cân
Câu 6 (1,0 điểm) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B Hình chiếu vuông góc của S lên mặt đáy là trung điểm H của cạnh AB Biết góc BAC = 30°, AC = 2a, SA = a Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABC và khoảng cách giữa hai đường thẳng AB, SC
Câu 7 (1,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD có E(–5/2; –15/2) là trung điểm của cạnh CD Gọi I là một điểm nằm trên cạnh BC sao cho góc EAI = 45° Hai đường thẳng AE và AI lần lượt cắt cạnh BD tại H(–3; –4) và G(2; –3/2) Tìm tọa độ các đỉnh A, B, C và D
Câu 8 (1,0 điểm) Giải hệ phương trình trên tập số thực:
Trang 14P = (2sin A + 2sin B + 1)sin² (C/2)
P = (4sinA BcosA B 1)(1 cos2 C) (4 cosCcosA B 1)(1 cos2C)
Trang 15b Giải phương trình log2 (4x² – x) – 4log4 x = 1
Câu 3 (1,0 điểm) Tính tích phân I =
1
2 0
Câu 4 (1,0 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S): x² + y² + z² – 2x – 2y + 4z – 3 = 0
và mặt phẳng (α): 2x – 2y + z – 1 = 0 Viết phương trình mặt phẳng (β) song song với mặt phẳng (α) và tiếp xúc với (S) sao cho tâm I của (S) nằm ở giữa hai mặt phẳng (α) và (β) Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng (α) và (β)
Câu 5 (1,0 điểm)
a Giải phương trình sin 2x + cos 2x + 2cos x + 2sin x + 3 = 0
b Gọi X là tập hợp các số tự nhiên có ba chữ số lập được từ E = {1; 2; 3; 4; 5; 6} Chọn ngẫu nhiên hai số từ
X Tính xác suất để hai số được chọn có tổng hai số là một số lẻ
Câu 6 (1,0 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với mặt đáy
và cạnh SC tạo với mặt đáy một góc 45° Gọi O là trung điểm của AC Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng SO, CD
Câu 7 (1,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC vuông tại A Tia phân giác trong góc A cắt đường tròn đường kính AC tại E(2; 6) Phương trình đường thẳng chứa cạnh AC là x + 2y – 4 = 0 Biết AC = 2AB và đỉnh A có hoành độ âm Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC
Câu 8 (1,0 điểm) Giải hệ phương trình trên tập số thực:
Trang 167 A(–4; 4), B(–2; 8) và C(4; 0)
8 phương trình (1) <=> (x 1) x 1 3(x 1) x 1 y y3y y (3) Điều kiện –1 ≤ x ≤ 3 và 0 ≤ y ≤ 4
Vậy hệ phương trình có tập nghiệm S = {(–1; 0), (2; 3)}
9 (x + y)z ≤ [(x + y)² + z²]/2 ≤ (2x² + 2y² + z²)/2
mà 4xy ≤ (x + y)² và 4(x² + y²) ≥ 2(x + y)²
Trang 17a Cho số phức z1 = 2 – 3i là nghiệm của phương trình az² + bz – 13 = 0 Tìm a, b và nghiệm còn lại
b Giải bất phương trình log2 (2x) ≤ 5 + 2log1/4 (x + 6)
Câu 3 (1,0 điểm) Tính tích phân I =
π π/2
2sin x[ ln(cos x 2)]dx
Câu 5 (1,0 điểm)
a Cho sin α = –3/5 và –π/2 < α < 0 Tính giá trị của biểu thức A = 25(cos α + sin 2α) tan α
b Một vận động viên bắn cung có xác suất bắn vào tâm 10 điểm là 0,1; xác suất bắn được 9 điểm là 0,2; xác suất bắn được 8 điểm là 0,3; xác suất bắn được điểm 7 là 0,2 Trong một cuộc thi, vận động viên được bắn
ba lần Tính xác suất để vận động viên đó được điểm trung bình là 9
Câu 6 (1,0 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật; AB = a và AD = 3a Hình chiếu vuông góc của S trên mặt đáy là điểm H thuộc cạnh BC sao cho HB = 2HC Cạnh bên SC tạo với đáy một góc 45° Gọi M là trung điểm của cạnh SA Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng SH, BM
Câu 7 (1,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC vuông tại B, có D(1; –1), E(2; –1) lần lượt là trung điểm của cạnh BC, AC Đường cao hạ từ B của tam giác ABC cắt đường thẳng DE tại M(5; –1) Xác định tọa độ các đỉnh của tam giác ABC biết B có tung độ âm
Câu 8 (1,0 điểm) Giải hệ phương trình trên R:
Trang 18(3) <=> x = 0 => y = 2 Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (0; 2)
9 Giả sử x là số nhỏ nhất trong ba số dương x, y, z => 0 < 3x ≤ x + y + z = 1 => 0 < x ≤ 1/3
Trang 19b Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng d: y = –3x + 2016
Câu 2 (1,0 điểm) Tính tích phân I =
1 x
a Cho tan x = 2 (0 < x < π/2) Tính giá trị của biểu thức A = 9(sin 3x + sin x)sin x
b Giải phương trình log3 (x² + x + 1) = log3 (x + 3) + 1
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD có tâm I(1; 3) Gọi E là điểm thuộc cạnh
AB sao cho 3AE = AB Biết đường thẳng DE có phương trình x + y – 2 = 0 và điểm D có hoành độ âm Tìm tọa độ của các đỉnh hình vuông ABCD
Câu 8 (1,0 điểm) Giải hệ phương trình sau:
Trang 20– t³ + t có g’(t) = 5t4 – 3t² + 1 > 0 với mọi t → g(t) đồng biến trên R phương trình (*) <=> g(2x) = g( y 1 ) <=> 2x = y 1 (3)
g’(t) = 0 <=> t4
= 81(t – 2)² <=> t² = 9(t – 2) <=> (t – 3)(t – 6) = 0 <=> t = 6 (vì t > 3) Lập bảng biến thiên → max P = g(6) = 1/8 khi x = 3, y = 2, z = 1
Trang 2121
Câu 1 (2,0 điểm)
a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số y = f(x) = –x³ + 3x – 2
b Biện luận theo tham số m số nghiệm của phương trình x³ – 3x + m + 2 = 0
Câu 2 (1,0 điểm) Tính tích phân I =
2 0
xedx(x 1)
Câu 3 (1,0 điểm)
a Cho tan x = 3/5 Tính giá trị của biểu thức A = sin x sin 2x sin 3x
cos x cos 2x cos 3x
b Giải phương trình log6 (x – 1) + log6 (3x + 9) = 1 + log6 2x
Câu 4 (1,0 điểm)
a Tìm phần thực và phần ảo của số phức z thỏa (4 – i)z + (3 + 2i) z = 7 + 5i
b Hộp thứ nhất có 5 bi đỏ và 6 bi vàng, hộp thứ hai có 6 bi đỏ và 5 bi vàng Nếu lấy ngẫu nhiên mỗi hộp một viên bi thì xác suất hai bi cùng màu là P1 Nếu lấy ngẫu nhiên đồng thời hai bi trong một hộp được chọn ngẫu nhiên thì xác suất hai bi cùng màu là P2 Tính tỉ số P1/P2
Câu 5 (1,0 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(–2; 3; 2), B(4; –3; –1) và C(1; 1; 3) Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua C và vuông góc với AB Tìm điểm D đối xứng với C qua đường thẳng AB
Câu 6 (1,0 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật; AD = 3a và AB = 4a Hình chiếu vuông góc của S trên mặt đáy là điểm H thuộc cạnh AD sao cho HA = 2HD Biết SA = 5a/2 Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng SD, AC
Câu 7 (1,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình thang ABCD có AD//BC và BC = 2AD Hình chiếu vuông góc của đỉnh C trên đường thẳng BD là M(–1; 3) và trung điểm của BD là E(–2; 2) Biết phương trình đường thẳng AB là 4x – 7y + 10 = 0 Tìm tọa độ các đỉnh của ABCD
Câu 8 (1,0 điểm) Giải hệ phương trình
Trang 2323
Câu 1 (2,0 điểm)
a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số y = f(x) = –x³ + 3x²
b Viết phương trình tiếp tuyến với (C) tại điểm có hoành độ xo thỏa f(xo) = f’(xo – 1)
Câu 2 (1,0 điểm)
a Cho số phức z thỏa mãn (1 + 2i)z – 5 – 5i = 0 Tìm phần thực và phần ảo của số phức w = z 10
z
b Giải phương trình log3 (5 – x)² – log3 (x – 1) – log3 (x + 1) = 1
Câu 3 (1,0 điểm) Tính tích phân I =
b Tìm số hạng không chứa x trong khai triển của P(x) = (1/x – x²)15
Câu 5 (1,0 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại B và C; AB = BC = a; CD
= 2a; SA = 2a và SA vuông góc với đáy Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng AD, SB
Câu 6 (1,0 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(1; 1; 1), B(3; 2; –2), C(0; 2; 1), D(0; –2; 2) Viết phương trình mặt phẳng (ABC) và tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của D trên mặt phẳng (ABC) Câu 7 (1,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình thang ABCD có đáy nhỏ AB và đáy lớn
CD Biết A(2; 3), hình chiếu vuông góc của đỉnh B trên đường thẳng CD là E(29/5; 8/5), đường phân giác trong của góc ABC đi qua trung điểm M(1; 0) của cạnh CD Tìm tọa độ của B, C, D
Câu 8 (1,0 điểm) Giải hệ phương trình