Một số mô hình xếp hàng và ứng dụng

Ngày nay lý thuyết xếp hàng còn có nhiều ứng dụng trong các lĩnh vực khác nhau như trong mạng máy tính, trong việc quản lý xí nghiệp, quản lý giao thông và trong các hệ phục vụ khác … Ng

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

Mục Lục

MỞ ĐẦU Error! Bookmark not defined CHƯƠNG 1 Error! Bookmark not defined KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Error! Bookmark not defined

1.1 Phân bố Poisson và phân bố mũ Error! Bookmark not defined 1.1.1 Phân bố Poisson Error! Bookmark not defined 1.1.2 Phân bố mũ: Error! Bookmark not defined 1.2 Xích Markov Error! Bookmark not defined 1.2.1 Phân loại trạng thái xích Markov Error! Bookmark not defined 1.3 Quá trình Markov Error! Bookmark not defined 1.3.1 Trường hợp không gian trạng thái hữu hạn Error! Bookmark not defined 1.3.2 Trường hợp không gian trạng thái vô hạn đếm được Error! Bookmark not defined CHƯƠNG 2: Error! Bookmark not defined MỘT SỐ MÔ HÌNH XẾP HÀNG Error! Bookmark not defined 2.1 Khái niệm và phân loại quá trình xếp hàng Error! Bookmark not defined 2.1.1 Khái niệm quá trình xếp hàng Error! Bookmark not defined 2.1.2 Các yếu tố cơ bản của hàng đợi Error! Bookmark not defined

a Bố trí vật lí của hệ thống Error! Bookmark not defined

b Nguyên tắc phục vụ Error! Bookmark not defined

c Các phân phối xác suất của các dòng tín hiệu, dòng phục vụ Error! Bookmark not defined 2.1.3 Phân tích hàng đợi Error! Bookmark not defined 2.1.4 Phân loại Kendall Error! Bookmark not defined 2.1.5 Mục tiêu của phân tích hàng đợi Error! Bookmark not defined 2.2 Một số mô hình xếp hàng cơ bản Error! Bookmark not defined 2.2.1 Mô hình xếp hàng sinh – chết tổng quát Error! Bookmark not defined 2.2.2 Mô hình hàng đợi M/M/1 Error! Bookmark not defined

a Phân bố giới hạn Error! Bookmark not defined

b Thời gian khách hàng chờ đợi Error! Bookmark not defined

c Thời gian bận rộn Error! Bookmark not defined

d Quá trình dời đi Error! Bookmark not defined

e Bài toán ví dụ Error! Bookmark not defined 2.2.3 Mô hình hàng đợi M/M/s Error! Bookmark not defined

a Thời gian chờ đợi Error! Bookmark not defined

b Thời gian bận rộn Error! Bookmark not defined

c Quá trình dời đi Error! Bookmark not defined

d Bài toán ví dụ Error! Bookmark not defined 2.2.4 Mô hình hàng đợi hữu hạn M/M/s/K Error! Bookmark not defined

a Bài toán ví dụ Error! Bookmark not defined 2.2.5 Mô hình hàng đợi M/G/1 Error! Bookmark not defined

a Phân bố giới hạn Error! Bookmark not defined

b Thời gian chờ đợi Error! Bookmark not defined

c Thời gian bận rộn Error! Bookmark not defined

d Bài toán ví dụ Error! Bookmark not defined 2.2.6 Mô hình hàng đợi G/M/1 Error! Bookmark not defined

a Phân bố giới hạn Error! Bookmark not defined

b Thời gian chờ đợi Error! Bookmark not defined

c Chu kỳ bận rộn Error! Bookmark not defined

d Bài toán ví dụ Error! Bookmark not defined CHƯƠNG 3: Error! Bookmark not defined ỨNG DỤNG Error! Bookmark not defined 3.1 Mô phỏng một số mô hình xếp hàng bằng Matlab Error! Bookmark not defined 3.1.1 Mô phỏng hàng đợi M/M/1 Error! Bookmark not defined 3.2 Ứng dụng của mô hình xếp hàng trong bài toán ra quyết định Error! Bookmark not defined a) Xét ba bài toán sau: Error! Bookmark not defined b) Hàm giá: Error! Bookmark not defined KẾT LUẬN Error! Bookmark not defined TÀI LIỆU THAM KHẢO Error! Bookmark not defined

MỞ ĐẦU

Lý thuyết xếp hàng đã được nghiên cứu và ứng dụng rộng rãi trên thế giới trong nhiều lĩnh vực ngành nghề khác nhau như bưu chính viễn thông, hàng không, đường sắt, kiểm soát lưu lượng giao thông, đánh giá hiệu năng hệ thống máy tính,

y tế và chăm sóc sức khỏe, không lưu, bán vé …

Trong nhiều hệ thống phục vụ, các khách hàng (costumer) phải dùng chung tài nguyên, phải chờ để được phục vụ và đôi khi bị từ chối phục vụ Lý thuyết quá trình xếp hàng (queueing process) xác định và tìm các phương án tối ưu để hệ thống phục vụ là tốt nhất

Trong nửa đầu của thế kỷ 20 lý thuyết xếp hàng đã được ứng dụng để nghiên cứu thời đợi trong các hệ thống điện thoại Ngày nay lý thuyết xếp hàng còn có nhiều ứng dụng trong các lĩnh vực khác nhau như trong mạng máy tính, trong việc quản lý xí nghiệp, quản lý giao thông và trong các hệ phục vụ khác … Ngoài ra lý thuyết xếp hàng cũng còn là cơ sở toán học để nghiên cứu và ứng dụng trong nhiều bài toán kinh tế như đầu tư, kiểm kê, rủi ro của bảo hiểm, thị trường chứng khoán

… Chuỗi Markov là quá trình xếp hàng với thời gian rời rạc đã được xem xét trong giáo trình xác suất thống kê Quá trình sinh tử cũng là quá trình xếp hàng, trong đó sinh biểu thị sự đến và tử biểu thị sự rời hàng của hệ thống

Đối với lý thuyết xếp hàng ta quan tâm đến các số đo hiệu năng, đó là các giá trị trung bình khi quá trình đạt trạng thái dừng bao gồm: độ dài hàng đợi trung bình của hàng, độ dài hàng đợi trung bình của hệ thống, thời gian đợi trung bình của hàng (trễ của hàng) và thời gian đợi trung bình của hệ thống (trễ của hệ thống) Để tính các đại lượng này ta có thể sử dụng phương pháp giải phương trình tích phân dạng Wiener – Hopf hoặc phương pháp khảo sát chuỗi Markov nhúng Từ đó suy

ra các công thức tính các phân bố ổn định cho các loại hàng M/M/k, M/M/k/N; Công thức tổng quát tính các giá trị trung bình này cho các hàng G/G/1 và công thức cụ thể cho các hàng đặc biệt M/M/1, M/D/1 và M/𝐸𝑘/1 …

Luận văn này tìm hiểu về một số mô hình xếp hàng cơ bản và ứng dụng của nó Nội dung của luận văn này gồm ba chương

Chương 1: Kiến thức chuẩn bị

Chương này trình bày về một số phân bố xác suất liên quan như: Phân bố Poisson, phân bố mũ Những định nghĩa, định lý về xích Markov, phân loại trạng thái xích Markov, quá trình Markov gồm trường hợp không gian trạng thái hữu hạn

và không gian trạng thái vô hạn đếm được

Chương 2: Một số mô hình xếp hàng

Trình bày về một số mô hình xếp hàng cơ bản gồm: Mô hình hệ thống xếp hàng Markov đơn giản gồm mô hình xếp hàng Birth- and – Death tổng quát, trình bày cụ thể mô hình hàng đợi M/M/1, M/M/s và mô hình hàng đợi hữu hạn M/M/s/K Mô hình chuỗi Markov nhúng trình bày tổng quát về chuỗi Markov nhúng cụ thể là mô hình hàng đợi M/G/1 và G/M/1

Chương 3: Ứng dụng

Chương này tìm hiểu về một vài ứng dụng đơn giản của mô hình xếp hàng bao gồm: Mô phỏng một số mô hình bằng Matlab và ứng dụng của mô hình xếp hàng trong bài toán ra quyết định

Dù đã có nhiều cố gắng nhưng do thời gian và khả năng có hạn nên các vấn đề trong luận văn vẫn chưa được trình bày sâu sắc và không thể tránh khỏi những sai sót Em rất mong được sự góp ý xây dựng của thầy cô và các bạn Em xin chân thành cảm ơn!

CHƯƠNG 1

KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Trong chương này em xin trình bày về một sốphân bốxác suất liên quan là phân bố Poisson, phân bố mũvà một số định nghĩa, định lý về xích Markov gồm hai trường hợp là không gian trạng thái hữu hạn và không gian trạng thái vô hạn đếm được để chuẩn bị kiến thức cho các chương tiếp theo của khóa luận

1.1 Phân bố Poisson và phân bố mũ

1.1.1 Phân bố Poisson

Định nghĩa.Biến ngẫu nhiên rời rạc X nhận các giá trị từ 0, 1, 2, … gọi là phân

phối Poisson với tham số λ nếu:

𝑃 𝑋 = 𝑘 = 𝑒

−𝜆𝜆𝑘𝑘! 𝑘 = 0, 1, 2, …

Ký hiệu: X ~ Poisson(λ)

Kỳ vọng:

𝐸 𝑥 = 𝑘𝜆

𝑘𝑒−𝜆𝑘!

Với các điều kiện trên, nếu gọi X là BNN chỉ số lần xuất hiện A trong một khoảng chiều dài w thì người ta chứng minh được rằng X tuân theo luật phân phối Poisson với tham số λ = mw, trong đó m là một hằng số dương chỉ “cường độ” xuất hiện của A

Thí dụ, số cuộc điện thoại gọi đến trong một phút tại một trạm nào đó; sốlỗi trên một trang giấy trong một quyển sách dầy; số đơn đặt hàng gửi tới một cơ sở trong một tháng, …

Biến ngẫu nhiên chỉ số lần xuất hiện nêu trên đã được nhà toán học Simeon D Poisson nghiên cứu và hình thành phân phối Poisson

Ngoài ra, phân phối Poisson còn được dùng để tính xấp xỉ phân phối nhịthức B(n;p) khi n lớn và p khá gần 0 hoặc gần 1

Định lý Poisson

Giả sử trong một dãy n phép thử độc lập, một biến cố A xuất hiện với xác suất 𝑝𝑛trong mỗi phép thử Nếu khi 𝑛 → ∞ mà 𝑝𝑛 → 0 sao cho 𝑛 𝑝𝑛 = 𝜆 (λ là một hằng số dương) thì với mọi 𝑘 ∈ {0,1,2, … , 𝑛}, chúng ta có:

Nếu một biến ngẫu nhiên X có phân phối này, ta viết:

𝑋~𝐸𝑥𝑝𝑜𝑛𝑒𝑛𝑡𝑖𝑎𝑙 (𝜆)

Đặc tả:

Một cách khác để định nghĩa hàm mật độ xác suất của một phân phối mũ như sau:

Tính chất:

+ Giá trị trung bình và phương sai:

Giá trị trung bình hay giá trị kì vọng của một biến ngẫu nhiên phân phối mũ X với tham số tỉ lệ λ được cho bởi công thức:

𝐸 𝑋 = 1

𝜆 Phương sai của X là: 1

Định nghĩa 1.2.1.Ta nói rằng dãy các ĐLNN (X n ) là một xích Markov nếu với mọi

Giả sử 𝑃 𝑋𝑚 +𝑛 = 𝑗/𝑋𝑚 = 𝑖 là xác suất để xích tại thời điểm m ở trạng thái i sau n bước, tại thời điểm m + n chuyển sang trạng thái j Đây là một con số nói chung phụ thuộc vào i, j, m, n Nếu đại lượng này không phụ thuộc m ta nói xích là thuần nhất Ký hiệu:

Phân bố của X0 được gọi là phân bố ban đầu Ta ký hiệu 𝑢𝑖 = 𝑃(𝑋0 = 𝑖)

Định lý 1.2.1.Phân bố đồng thời của (X 0 , X 1 , , X n ) được hoàn toàn xác định từ phân bố ban đầu và xác suất chuyển Cụ thể ta có:

𝑃 𝑋0 = 𝑖0, 𝑋1 = 𝑖1, … , 𝑋𝑛 = 𝑖𝑛 = 𝑢𝑖0𝑃𝑖0𝑖1… 𝑃𝑖𝑛 −1𝑖𝑛 Như vậy phân bố đồng thời của 𝑋0, … , 𝑋𝑛 được xác định bởi phân bố ban đầu

và xác suất chuyển

Định lý 1.2.2.(Phương trình C - K (Chapman-Kolmogorov)):

𝑃𝑖𝑗 (n + m) = 𝑘 ∈𝐸𝑃𝑖𝑘 (n) 𝑃𝑘𝑗 (m)

Trong trường hợp E có d phần tử, ta ký hiệu𝑃 = (𝑃𝑖𝑗), 𝑃(𝑛) = (𝑃ij(n))là các ma trận vuông cấp 𝑑 × 𝑑 P được gọi là ma trận xác suất chuyển, P(n) được gọi là ma trận xác suất chuyển sau n bước Khi đó từ phương trình Chapman - Kolmogorov tương đương với:

𝑃(𝑛 + 𝑚) = 𝑃(𝑛)𝑃(𝑚)

Vì P = P(1) nên bằng quy nạp ta dễ thấy:

𝑃(𝑛) = 𝑃𝑛

Gọi 𝑢𝑖 𝑛 = 𝑃 𝑋𝑛 = 𝑖 Ký hiệu vecto 𝑈 𝑛 = (𝑢1(𝑛), … , 𝑢𝑑 𝑛 )là vector hàng d

- chiều mô tả phân bố của 𝑋𝑛, 𝑈 = 𝑢 0 = (𝑢1, 𝑢2, … , 𝑢𝑑)là vector hàng d - chiều

mô tả phân bố ban đầu (Phân bố của𝑋0)

Định lý 1.2.4.Giả sử (𝑋𝑛) là xích Markov với không gian trạng thái

E = 1,2, với ma trận xác suất chuyển 𝑃 = (𝑃𝑖𝑗) và ma trận xác suất chuyển sau

n bước là𝑃 𝑛 = 𝑃𝑖𝑗(𝑛) Ta nói rằng xích có phân bố giới hạn nếu với mọi i, j ∈ E tồn tại giới hạn:

• 3 Nếu 𝑗 ∈𝐸𝜋𝑗= 1 thì U = (π1, π2, ) là phân bố dừng và phân bố dừng là duy nhất Nếu πj = 0 với mọi j ∈ E thì phân bố dừng không tồn tại

Ý nghĩa của phân bố giới hạn là nhƣ sau: Gọi 𝑢𝑖(𝑛) = 𝑃(𝑋𝑛 = 𝑖) Ký hiệu vector 𝑈(𝑛) = (𝑢1(𝑛), 𝑢2(𝑛), )là vector hàng d - chiều mô tả phân bố của 𝑋𝑛

Định nghĩa 1.2.3.Giả sử (𝑋𝑛) là xích Markov với không gian trạng thái

E ={1, 2, } với ma trận xác suất chuyển 𝑃 = 𝑃𝑖𝑗(𝑛)và ma trận xác suất chuyển sau n bước là 𝑃(𝑛) = 𝑃𝑖𝑗(𝑛) Ta nói rằng xích có phân bố giới hạn nếu với mọi i,

j ∈ E tồn tại giới hạn:

lim𝑛→ ∞ 𝑃𝑖𝑗 (n) = πj

Giới hạn này không phụ thuộc i ∈ E và 𝑗 ∈𝐸𝜋𝑗= 1 Nói cách khác, vecto giới hạn

𝜋 = (𝜋1, 𝜋2, ) lập thành một phân bố xác suất trên E

Vậy phân bố 𝑈(𝑛) của 𝑋𝑛hội tụ tới phân bố giới hạn π Khi n khá lớn ta có (𝑋𝑛 = 𝑗) ≈ 𝜋𝑗

Theo định lý 1.1.4 nếu phân bố giới hạn tồn tại thì phân bố dừng cũng tồn tại và duy nhất Hơn nữa hai phân bố này trùng nhau Tuy nhiên điều ngƣợc lại không đúng tức là có những xích Markov có tồn tại phân bố dừng nhƣng không tồn tại phân bố giới hạn

Định lý 1.2.5.Cho (𝑋𝑛) là xích Markov với không gian trạng thái hữu hạn

E = {1,2, ,d} với ma trận xác suất chuyển sau n bước là 𝑃(𝑛) = (𝑃𝑖𝑗 (n)).Khi đó

có tồn tại phân bố giới hạn π = (π 1 , , π d ) với 𝜋𝑗 > 0 ∀𝑗 ∈ 𝐸 khi và chỉ khi xích

là chính quy theo nghĩa: Tồn tại 𝑛0sao cho:

𝑃𝑖𝑗 𝑛0 > 0, ∀𝑖, 𝑗 ∈ 𝐸

1.2.1 Phân loại trạng thái xích Markov

Định nghĩa 1.2.4.Ta nói rằng trạng thái i đến được trạng thái j và ký hiệu là

𝑖 → 𝑗 nếu tồn tại 𝑛 ≥ 0 sao cho 𝑃𝑖𝑗(𝑛) > 0

(Ta quy ước 𝑃𝑖𝑖 0 = 1, 𝑃𝑖𝑗(0) = 0 nếu(i ≠ j))

Hai trạng thái i và j được gọi là liên lạc được nếu 𝑖 → 𝑗và 𝑗 → 𝑖 Trong trường hợp đó ta viết 𝑖 ↔ 𝑗

Định nghĩa 1.2.5.Xích Markov được gọi là tối giản nếu hai trạng thái bất kỳ là

liên lạc được Có nghĩa là theo cách phân lớp trên thì E không thể phân hoạch thành các lớp con nhỏ hơn

Định nghĩa 1.1.6.Ký hiệu 𝑓𝑖𝑖 𝑛 là xác suất để hệ xuất phát từ i lần đầu tiên quay lại i ở thời diểm n Nghĩa là:

Theo giả thiết tồn tại 𝑚, 𝑛 sao cho𝑃𝑖𝑖(n) > 0, 𝑃𝑗𝑖(m) > 0 Với mỗi số nguyên dương

h từ phương trình C-P suy ra:

Vậy i hồi quy

Định lý 1.2.8 Ký hiệu 𝑄𝑖𝑖là xác suất để hệ xuất phát từ i quay lại i vô số lần, 𝑄𝑖𝑗là xác suất để hệ xuất phát từ i đi qua j vô số lần Khi đó:

• (i) Nếu i hồi quy thì 𝑄𝑖𝑖 = 1, nếu i không hồi quy thì 𝑄𝑖𝑖 = 0

• (ii) Nếu i hồi quy 𝑖 ↔ 𝑗thì𝑄𝑖𝑗 = 1 Nói riêng, với xác suất một hệ xuất phát từ i sau một số hữu hạn bước sẽ đi qua j

Định lý 1.2.9.Cho (𝑋𝑛) là xích tối giản không hồi quy Khi đó với mọi i, j:

và xích không tồn tại phân bố dừng

Định lý 1.2.10.Cho (𝑋𝑛) là xích tối giản hồi quy không có chu kỳ Khi đó với mọi i,

Định nghĩa 1.2.7.Trạng thái hồi quy i được gọi là trạng thái hồi quy dương nếu

𝜇𝑖 < ∞ và được gọi là trạng thái hồi quy không nếu µ𝑖 = ∞

Định lý 1.2.11.Giả sử 𝑖 → 𝑗 Nếu i hồi quy dương thì j hồi quy dương Nếu i hồi

quy không thì j hồi quy không

Định lý 1.2.12.Giả sử (𝑋𝑛) là xích tối giản không có chu kỳ với không gian trạng thái đếm được E Khi đó sẽ xảy ra một trong ba khả năng sau đây:

• 1)Mọi trạng thái là không hồi quy Khi đó với mọi i, j ta có:

𝑙𝑖𝑚𝑛→ ∞ 𝑃𝑖𝑗= π j > 0 và𝜋 = (𝜋1, 𝜋2, ) là phân bố giới hạn (và cũng là phân bố dừng) của xích

Định lý 1.2.13.Giả sử (𝑋𝑛) là xích tối giản không có chu kỳ với không gian trạng thái hữu hạn E = {1, 2, , d} Khi đó mọi trạng thái đều hồi quy dương và xích có phân bố giới hạn 𝜋 = (𝜋1, 𝜋2, , 𝜋𝑑 ) Phân bố này cũng là phân bố dừng duy nhất của xích

Định lý 1.2.14.Giả sử 𝑋𝑛 là xích tối giản với không gian trạng thái E đếm được Khi đó:

• 1.Với mỗi 𝑖, 𝑗 ∈ 𝐸:

𝑙𝑖𝑚𝑛→ ∞ 𝑛−1 𝑛𝑘=1𝑃𝑖𝑗(𝑘) =1

𝜇𝑗 Nói cách khác dãy 𝑃𝑖𝑗 𝑛 hội tụ theo trung bình Cesaro tới π j = 1

Định lý 1.2.15.Cho (𝑋𝑛) là xích Markov tối giản Khi đó:

• 1 Nếu E hữu hạn có d phần tử thì (𝜋1, , 𝜋𝑑) là phân bố dừng duy nhất

• 2 Chỉ có các khả năng sau:

a) Mọi trạng thái của E là không hồi quy

b) Mọi trạng thái của E là hồi quy không

c) Mọi trạng thái của E là hồi quy dương

• 3 Nếu E là vô hạn đếm được thì xích có phân bố dừng khi và chỉ khi mọi trạng thát của E là hồi quy dương Trong trường hợp này phân bố dừng là duy nhất

1.3 Quá trình Markov

Xét họ các ĐLNN rời rạc (𝑋𝑡), t ≥ 0 với tập chỉ số t là các số thực không âm

𝑡 ∈ [0, ∞) Ký hiệu 𝐸 = 𝑋𝑡 Ω là tập giá trị của 𝑋𝑡 Khi đó E là một tập hữu hạn hay đếm được, các phần tử của nó được ký hiệu 𝑙à 𝑖, 𝑗, 𝑘 Ta gọi (𝑋𝑡) là một quá trình ngẫu nhiên với không gian trạng thái E

Định nghĩa 1.3.1 Ta nói rằng (𝑋𝑡) là một quá trình Markov nếu với mọi

𝑡1 < < 𝑡𝑘 < 𝑡và với mọi 𝑖1, 𝑖2, 𝑖𝑛, 𝑖 ∈ 𝐸 ∶

P{Xt = i|𝑋𝑡1 = i1, 𝑋𝑡2= i2 , 𝑋𝑡𝑘= ik} = P{Xt = i|𝑋𝑡𝑘 = ik}

Như vậy, xác suất có điều kiện của một sự kiện B nào đó trong tương lai nếu biết hiện tại và quá khứ của hệ cũng giống như xác suất có điều kiện của B nếu chỉ biết trạng thái hiện tại của hệ Đó chính là tính Markov của hệ Đôi khi tính Markov của hệ còn phát biểu dưới dạng: "Nếu biết trạng thái hiện tại 𝑋𝑡 của hệ thì quá khứ

𝑋𝑢,𝑢 < 𝑡 và tương lai 𝑋𝑠 , 𝑠 > 𝑡 là độc lập với nhau."

• i)𝑃𝑖𝑗 (t) ≥ 0

• ii) 𝑗 ∈𝐸𝑃𝑖𝑗(𝑡)= 1

Phân bố của 𝑋0 được gọi là phân bố ban đầu Ta ký hiệu 𝑢𝑖 = 𝑃(𝑋0 = 𝑖)

Định lý 1.3.1.Phân bố hữu hạn chiều của quá trình (𝑋𝑡) được hoàn toàn xác định

từ phân bố ban đầu và xác suất chuyển Cụ thể với 𝑡1 < 𝑡2 < < 𝑡𝑛 phân bố đồng thời của (𝑋𝑡1, , 𝑋𝑡𝑛) được tính theo công thức sau:

P(𝑋𝑡1= i1, , 𝑋𝑡𝑛= in) = = 𝑖 ∈𝐸𝑢𝑖𝑃𝑖𝑖1 𝑡1 𝑃𝑖1𝑖2 𝑡2 − 𝑡1 … 𝑃𝑖𝑛 −1𝑖𝑛(𝑡𝑛 − 𝑡𝑛 −1)

Định lý 1.3.2.( Phương trình Chap - Kolmogorov):

𝑃𝑖𝑗(t + s) = 𝑘 ∈𝐸𝑃𝑖𝑘(𝑡)𝑃𝑘𝑗(𝑠)

1.3.1 Trường hợp không gian trạng thái hữu hạn

Giả sử E = {1, 2, , d} Khi đó từ phương trình C - K P(t), t > 0 là một họ các ma trận thoả mãn đẳng thức sau:

𝑃(𝑡 + 𝑠) = 𝑃(𝑡)𝑃(𝑠)

Nói cách khác họ (P(t), t > 0) lập thành một nửa nhóm các ma trận Từ nay về sau

ta sẽ luôn giả thiết thêm rằng:

Định lý 1.3.4.Cho quá trình Markov với nửa nhóm P(t), t > 0 các xác suất chuyển

Gọi A là ma trận cực vi của nửa nhóm Khi đó ta có:

𝑃′ 𝑡 = 𝑃 𝑡 𝐴 ,

↔ 𝑃𝑖𝑗′ = 𝑘 ≠𝑗 𝑃𝑖𝑘 𝑡 𝑎𝑘𝑗 − 𝑃𝑖𝑗 𝑦 𝑎𝑗 (1.3.1)

và

𝑃′ 𝑡 = 𝐴𝑃(𝑡) , ↔ 𝑃′𝑖𝑗 𝑡 = 𝑘 ≠𝑖𝑃𝑘𝑗𝑎𝑖𝑘 − 𝑃𝑖𝑗(𝑦)𝑎𝑖 (1.3.2)

với𝑎𝑖𝑗 là cường độ chuyển từ trạng thái i sang trạng thái j và 𝑎𝑖là cường độ thoát khỏi trạng thái i của hệ

Phương trình (1.3.1) gọi là phương trình thuận và phương trình (1.3.2) gọi là phương trình ngược Kolmogorov

Định lý 1.3.5.Cho quá trình Markov tối giản (𝑋𝑡) với không gian trạng thái E = 1, 2, , d hữu hạn và ma trận xác suất chuyểnP(t) = 𝑃𝑖𝑗(t) Khi đó với mỗi 𝑖, 𝑗 ∈ 𝐸 tồn tại giới hạn hữu hạn:

luôn tồn tại hữu hạn

(2)Với mỗi i giới hạn:

𝑃′𝑖𝑖(0) = lim𝑡→ ∞ 𝑃𝑖𝑗 𝑡 −1

𝑡 = 𝑎𝑖𝑖 = − 𝑎𝑖

tồn tại nhưng có thể bằng vô cùng

Định lý 1.3.7.Cho quá trình Markov với P(t) = (𝑃𝑖𝑗 (t))là họ các ma trận xác suất chuyển Gọi A là ma trận cực vi của quá trình Khi đó ta có:

𝑃′(t) = P(t)A, ↔ 𝑃𝑖𝑗′(t) = 𝑘 ≠𝑗 𝑃𝑖𝑘 𝑡 𝑎𝑘𝑗 − 𝑃𝑖𝑗(𝑦)𝑎𝑗 (1.3.3)

và

𝑃′(t) = AP(t),

𝑙𝑖𝑚𝑡→ ∞𝑃𝑖𝑗(𝑡)= π j chỉ phụ thuộc j không phụ thuộc i Thêm vào đó giới hạn 𝜋 = (𝜋1, 𝜋2, , ) hoặc là tất cả bằng không:

2.1.1 Khái niệm quá trình xếp hàng

Mô hình tổng quát của lý thuyết xếp hàng là khách hàng đến ở một thời điểm ngẫu nhiên nào đó và yêu cầu được phục vụ theo một loại nào đó Giả thiết thời gian phục vụ có thể ngẫu nhiên

Đặt 𝑡𝑛 là khoảng thời gian giữa hai lần đến của khách hàng thứ 𝑛 và thứ 𝑛 + 1

Ta giả định rằng tất cả các 𝑡𝑛(𝑛 ≥ 1) là độc lập có cùng phân bố Vì vậy việc đến của khách hàng tạo thành một hàng kế tiếp nhau với tốc độ đến là 𝜆 = 1

𝐸(𝑡1) Ta gọi quá trình 𝑡𝑛, 𝑛 = 1,2, … là quá trình đến Khách hàng đến hệ thống yêu cầu các server của hệ thống phục vụ Ta giả sử rằng khách hàng thứ 𝑛 cần một thời gian phục vụ là (𝑛 ≥ 1), tất cả các 𝑠𝑛 độc lập và có cùng phân bố Quá trình

𝑡𝑛; 𝑛 = 1,2, … được gọi là quá trình phục vụ Ta cũng giả thiết rằng các thời gian đến trung gian độc lập với thời gian phục vụ

Quá trình xếp hàng được phân loại dựa vào tiêu chí sau:

1) Phân bố của quá trình đến (input process) 𝑙𝑞(𝑡)

𝑡≥0

2) Phân bố của thời gian phục vụ (service distribution) 𝑠𝑛; 𝑛 = 1,2, …

3) Nguyên tắc phục vụ: Các khách hàng đến được sắp xếp vào hàng đợi đến lượt được phục vụ Để đơn giản ta giả thiết chỉ có một hàng Tuy nhiên trong nhiều trường hợp có thể mở rộng cho nhiều hàng cùng hoạt động song song Nếu độ dài hàng có đặt ngưỡng thì các đơn vị đến hàng khi hàng đầy vượt ngưỡng sẽ bị loại Các khách hàng được chọn để phục vụ theo nguyên tắc “đến trước phục vụ trước” (FIFO), nghĩa là phục vụ cho khách hàng nào đứng đầu hàng

4) Cơ cấu phục vụ: Một phương tiện phục vụ bao gồm một hay nhiều Server Các Server có thể kết nối thành chuỗi vì thế mỗi yêu cầu phục vụ được phục vụ theo nhiều cách hoặc lần lượt hoặc song song

2.1.2 Các yếu tố cơ bản của hàng đợi

a Bố trí vật lí của hệ thống

Hệ thống hàng đợi có một số dạng bố trí vật lí (phisical layout)

 Một kênh phục vụ, một loại dịch vụ (Single Channel – Single Server)

 Một kênh phục vụ, nhiều loại dịch vụ (Single Channel – Multi Server)

 Nhiều kênh phục vụ, một loại dịch vụ (Multi Channel – Single Server)

 Nhiều kênh phục vụ, một loại dịch vụ (Multi Channel – Multi Server)

Các kênh phục vụ được hiểu là những thiết bị kỹ thuật hoặc con người hoặc những

tổ hợp các thiết bị kỹ thuật và con người được tổ chức quản lí một cách thích hợp nhằm phục vụ các yêu cầu / các tín hiệu đến hệ thống Chẳng hạn, ở các trạm điện thoại tự động, kênh phục vụ là các đường dây liên lạc cùng các thiết bị kĩ thuật khác phục vụ cho việc đàm thoại

b Nguyên tắc phục vụ

Nguyên tắc phục vụ (hay nội quy) của hệ thống là cách thức nhận các yêu cầu vào các kênh phục vụ Nguyên tắc phục vụ cho biết trường hợp nào thì yêu cầu được nhận vào phục vụ và cách thức phân bố các yêu cầu vào các kênh như thế nào Đồng thời nguyên tắc phục vụ cũng cho biết trong trường hợp nào yêu cầu bị

từ chối hoặc phải chờ và giới hạn của thời gian chờ

Một số nguyên tắc phục vụ thường được áp dụng trong các hệ thống hàng đợi là

FIFO (First in first out), LIFO (Last in first out), FCFS (First come first server), có

ưu tiên, không ưu tiên, …

c Các phân phối xác suất của các dòng tín hiệu, dòng phục vụ

Số tín hiệu đến trong một khoảng thời gian cũng như thời gian phục vụ từng tín hiệu nói chung là những biến ngẫu nhiên, và do đó, chúng tuân theo các quy luật phân phối xác suất Các quy luật phân phối xác suất này được thiết lập căn cứ vào

số liệu thực nghiệm thu thập từ các quan sát, thí nghiệm, hay từ cơ sở dữ liệu sẵn

có

Đối với dòng tín hiệu đầu vào, thông thường chúng ta giả sử rằng số tín hiệu đến trong vòng một khoảng thời gian nào đó được ấn định trước (1phút, 3 phút, 5 phút, 30 phút, …) tuân theo luật phân phối Poisson 𝑃(𝜆) Ở đây tham số λ đặc trưng cho số tín hiệu đến (trung bình) trong khoảng thời gian trên Ví dụ, số khách vào siêu thị (trung bình) là 100 người trong 1 giờ Có nghĩa là, số khách vào siêu thị là biến ngẫu nhiên 𝑋 có phân phối Poisson với λ = 100 Hoặc, với số cuộc gọi (trung bình) đến tổng đài trong vòng 1 phút là 3 (tín hiệu) thì có 𝑋~𝑃(3)

Một cách chính xác hơn, trong những trường hợp trên, ta có dòng tín hiệu đến là

dòng Poisson dừng (còn gọi là dòng tối giản) với các tính chất trên như sau:

Tính không hậu quả: Một dòng tín hiệu có tính không hiệu quả nếu xác suất hiện

một số tín hiệu nào đó trong một khoảng thời gian nhất định không phụ thuộc vào việc đã có bao nhiêu tín hiệu đã xuất hiện và xuất hiện như thế nào trước khpangr thời gian đó

Tính đơn nhất: Dòng tín hiệu có tính đơn nhất nếu xét trong khoảng thời gian

khá bé thì sự kiện “có nhiều hơn một tín hiệu xuất hiện” hầu như không xảy ra Về mặt thời gian ta có thể xem dòng tín hiệu có tính đơn nhất nếu thời điểm xuất hiện các tín hiệu không trùng nhau

Tính dừng: Dòng tín hiệu có tính dừng nếu xác suất xuất hiện một số tín hiệu nào

đó trong khoảng thời gian 𝜏 chỉ phụ thuộc vào độ dài của 𝜏 chứ không phụ thuộc vào thời điểm khởi đầu của 𝜏

2.1.3 Phân tích hàng đợi

Có các phương pháp phân tích hàng đợi như sau

 Phân tích giải tích

 Quá trình mô phỏng

 Cả hai phương pháp trên

Phương pháp giải tích để giải mô hình hàng đợi gồm các bước sau:

Bước 1: Phân tích hệ thống, chủ yếu là phân tích bản chất của dòng yêu cầu / tín

hiệu đến và các trạng thái của hệ thống

Bước 2: Thiết lập hệ phương trình trạng thái cho các xác suất trạng thái (xác

suất để hệ thống ở một trạng thái nào đó tại thời điểm t)

Bước 3: Giải hệ phương trình để tìm các xác suất trạng thái Từ đó thiết lập các

mối quan hệ giữa các chỉ tiêu cần phân tích

Bước 4: Tính toán, phân tích các chi tiêu, trên cơ sở đó đưa ra các nhận xét và

các quyết định

Phương pháp giải tích thường được sử dụng các giả thiết rất chặt chẽ của Toán học về các đặc trưng của hệ thống, vì vậy nó có một số hạn chế nhất định khi giải các bài toán thực tế

Trong khi đó phương pháp mô phỏng / mô phỏng ngẫu nhiên để giải mô hình hàng đợi được áp dụng cho các bài toán dịch vụ đám đông không giải được bằng công cụ giải tích, nhất là những bài toán liên quan đén hệ thống lớn, bất ổn định, hàm chứa nhiều yếu tố ngẫu nhiên, không tuân theo các giả thiết quá chặt chẽ của Toán học Trong nhiều trường hợp phương pháp mô phỏng cho ta tiết kiệm được thời gian và chi phí nghiên cứu Tuy phương pháp mô phỏng chỉ tạo ra các phương

án đủ tốt để đánh giá hoạt động của hệ thống chứ không đưa ra được kĩ thuật tìm

lời giải tốt nhất, nó tỏ ra rất thành công khi giải quyết nhiều bài toán hàng đợi nảy sinh từ thực tiễn

Các bước cần tiến hành khi áp dụng phương pháp mô phỏng bao gồm:

Bước 1: Xác định bài toán hay hệ thống hàng đợi cần mô phỏng và mô hình mô

phỏng

Bước 2: Đo và thu thập số liệu cần thiết để khỏa sát thống kê các số đặc trưng các

yếu tố cơ bản của mô hình

Bước 3: Chạy mô phỏng kiểm chứng (test simulation) mô hình và so sánh kết quả

kiểm chứng với các kết quả đã biết được trong thực tế Phân tích kết quả chạy mô phỏng kiểm chứng, nếu cần thì phải sửa lại phương án đã được đánh giá chạy qua

mô phỏng

Bước 4: Chạy mô phỏng để kiểm chứng phương án cuối cùng và kiểm tra tính

đúng đắn của mọi kết luận về hệ thống thực tế được rút ra sau khi chạy mô phỏng Triển khai hoạt động của hệ thống hàng đợi dựa trên phương án tìm được

Từ những phân tích trên đây có thể thấy Lí thuyết xếp hàng còn được gọi là Lí thuyết hệ phục vụ công cộng hay Lí thuyết hệ dịch vụ đám đông là lĩnh vực rất quan trọng của Toán ứng dụng / Vận trù học Nhiều bài toán thực tế trong các lĩnh vực hệ thống dịch vụ, kĩ thuật, … đã được giải quyết thành công nhờ áp dụng phương pháp mô phỏng mô hình hàng đợi

2.1.4 Phân loại Kendall

Kendall (1951) đã đưa ra kí hiệu A/B/C/K/N/D để mô tả các tham số cơ bản của

 Nếu qua trình đến là qua trình Poisson, nghĩa là thời gian đến trung gian có

phân bố mũ thì Ađược kí hiệu là M (Markovian) Tương tự nếu thời gian phục vụ có phân bố mũ thì B cũng được kí hiệu là M

 Nếu thời gian đến trung gian hoặc thời gian phục vụ có phân bố Erlang – k

được kí hiệu A/B/k/N

2.1.5 Mục tiêu của phân tích hàng đợi

Kết quả phân tích (về phía khách hàng)

 Thời gian xếp hàng (trễ hàng đợi)

 Tổng trễ (bao gồm trễ hàng đợi và trễ phục vụ)

 Số lượng khách hàng trong hàng đợi

 Số lượng khách hàng trong hệ thống (gồm số lượng khách hàng đang được phục vụ)

 Xác suất nghẽn mạng (khi kích thước bộ đẹm hữu hạn)

 Xác suất chờ để phục vụ

Kết quả phân tích (về phía hệ người phục vụ)

 Khả năng sử dụng Server

 Khả năng sử dụng bộ đệm

 Lợi ích thu được (thông số dịch vụ và các xem xét về kinh tế)

 Lợi ích bị mất (thông số dịch vụ và các xem xét về kinh tế

Ta phân tích hàng đợi sau:

𝜆tốc độ đến trung bình, thời gian đến trung bình

1/𝜇tốc độ phục vụ trung bình, thời gian phục vụ trung bình 1/𝜇

Với kích thước của bộ đệm là vô hạn, quy tắc phục vụ là FIFO

- Sự kiện A: có một sự đến trong ∆𝑡

- Sự kiện B: không có sự đến nào trong ∆𝑡

- Sự kiện C: có nhiều hơn 1 sự đến trong ∆𝑡

Giả sử rằng ∆𝑡 → 0 Như vậy ta sẽ có:

𝑃𝑟 𝐴 = 𝜆𝑡

𝑃𝑟 𝐵 = 1 − 𝜆𝑡 Giả thiết 𝑃𝑟 𝐶 = 0

Số lượng sự kiện đến tuân theo phân bố Poisson

Đồng thời, khoảng thời gian đến (được tính giữa hai sự đến liên tiếp) tuân theo luật phân bố mũ

- Sự kiện A: có một sự kiện đi trong ∆𝑡

- Sự kiện B: không có sự kiện đi nào trong ∆𝑡

- Sự kiện C: có nhiều hơn một sự kiện đi trong ∆𝑡

Giả sử rằng ∆𝑡 → 0 như vậy ta sẽ có:

 D là sự kiện của 1 hoặc nhiều sự đến AND với sự kiện của 1 hoặc nhiều sự

đi trong khoảng t Giả sử 𝑃𝑟 𝐷 = 0

 Định nghĩa 𝑃𝑛(𝑡) là xác suất mà hệ thống có N khách hàng tại thời điểm t

Từ đó ta có

 Ở điều kiện ổn định, khi 𝑡 → ∞

Tức là xác suất hệ rơi vào một trạng thái nào đó không phụ thuộc thời gian nữa…

 Xét trong khoảng thời gian đủ lớn, số lượng khách hàng lưu trong hệ thống

 Số lượng khách hàng lưu trong hàng đợi

 Thời gian khách hàng lưu lại trong hệ thống bao gồm:

Tổng thời gian lưu trong hệ thống

Tổng thời gian chờ trong hàng đợi

Sự kiện một khách hàng đến phải đợi chính là khi trong hệ thống có ít nhất 1 khách hàng

Đây cũng chính là xác suất hệ thống ở trạng thái bận 𝑃𝑏𝑢𝑠𝑦

2.2 Một số mô hình xếp hàng cơ bản

2.2.1 Mô hình xếp hàng sinh – chết tổng quát

Các thuật ngữ sinh (birth) và tử (death) được sử dụng để đại diện cho sự tăng và

giảm kích thước quần thể.Kích thước quần thể là n và λn, µn lần lượt là tốc độ chuyển đổi vô cùng nhỏ của sinh và tử

Kích thước quần thể n tương ứng là số lượng khách hàng (customer) trong hệ thống xếp hàng, các sự kiện tương ứng với sinh và tử là các lượt đến (arrivals) và các lượt đi (departures) của các khách hàng, λ n và µ nlần lượt là tốc độ đến của khách hàng và tốc độ phục vụ của hệ thống Giả sử, khách hàng đang ở trong một quá trình Poisson và thời gian phục vụ là theo phân phối mũ, chúng ta có công thức

tính xác suất trong khoảng thời gian (t, t + ∆t] như sau:

sinh(birth) (n ≥ 0):

P(một lượt sinh) = λn∆ t + 0(∆t),

P(không có lượt sinh) = 1 − 𝜆𝑛∆t + 0(∆t), P(nhiều hơn một lượt sinh) = 0(∆t)

tử(death)(n > 0) :

P(một lượt tử) = µ𝑛∆𝑡 + 0(∆t), P(không có lượt tử) = 1 − 𝜇𝑛∆𝑡+ 0(∆t),

P(nhiều hơn một lượt tử) = 0(∆t)

Trong đó 0(∆t) là 0 (∆𝑡)

∆𝑡 → 0khi ∆t → 0 Lưu ý rằng, điều kiện 0(∆t) không xác định

giá trị thực tế, trong mỗi trường hợp, điều kiện ∆t có giá trị bằng 0 để tổng giá trị xác suất của ba sự kiện bằng 1

Cho Q(t) là số lượng khách hàng trong hệ thống tại thời điểm t Định nghĩa:

Tỷ lệ chuyển đổi vô cùng nhỏ của (2.2.1) dẫn đến ma trận sinh A cho quá trình

Ma trận sinh A dẫn đến phương trình Kolmogorov thuận cho𝑃𝑖𝑛(t) Để dễ dàng cho

ký hiệu, từ đây trở đi chúng ta ký hiệu 𝑃𝑖𝑛 (t) ≡ 𝑃𝑛(t) và thêm trạng thái ban đầu i nếu cần

(1) Nếu quá trình Markov là tối giản thì các phân phối giới hạn𝑙𝑖𝑚𝑡→ ∞ 𝑃𝑛(𝑡)=

𝑝𝑛tồn tại và độc lập với các điều kiện ban đầu của quá trình Các giới hạn

𝑝𝑛, n ∈ S hoặc biến mất hết (tức là 𝑝𝑛 = 0 với ∀n ∈ S) hoặc tất cả là dương

và tạo thành một phân phối xác suất( tức là 𝑝𝑛> 0 với ∀n ∈ S, 𝑛 ∈𝑆𝑝𝑛= 1) (2) Sự phân phối giới hạn 𝑝𝑛, n ∈ S của một quá trình Markov hồi quy tối giản

lược được đưa ra bởi nghiệm duy nhất của phương trình pA = 0 và

𝑝𝑗

𝑗 ∈𝑆 = 1 với p = (p 0 , p 1 , p 2 , )

Trạng thái cân bằng: hay còn gọi là trạng thái ổn định, là trạng thái mà dáng điệu

của quá trình này là độc lập với các tham số thời gian và giá trị ban đầu, nghĩa là:

lim𝑡→∞ 𝑃𝑖𝑛 (𝑡) = 𝑝𝑛 với n = 0, 1, 2,

Và do đó:

𝑃𝑛′(𝑡)→ 0 khi t → ∞

Sử dụng những kết quả trong (2.2.2) chúng ta có:

(𝜆1 + µ1)𝑝1 = 𝜆0𝑝0 + µ2𝑝2

µ2𝑝2= 𝜆1𝑝1,

𝑝2 = 𝜆1 𝜆0

𝜇2𝜇1𝑝0 Tiếp tục đệ quy với n = 2, 3, , chúng ta có:

{𝑝𝑛, n = 0, 1, n, } với:

𝑝0= [1 + 𝜆0 𝜆1 ….𝜆𝑛 −1

µ1µ2….µ𝑛

∞ 𝑛=1 ]-1 và 𝑝𝑛= 𝜆0 𝜆1….𝜆𝑛 −1

µ1µ2….µ𝑛 𝑝0

2.2.2 Mô hình hàng đợi M/M/1

Mô hình hàng đợi M/ M/ 1 là mô hình đơn giản nhất trong các mô hình hàng đợi được sử dụng trong thực tế với các lượt đến theo phân phối Poisson, thời gian phục

vụ theo phân phối mũ và có duy nhất một server

Các lượt đến được coi là xảy ra trong một quá trình Poisson với tốc độ đến λ Điều này có nghĩa là số lượng khách hàng N(t) đến trong một khoảng thời gian (0, t] có phân phối Poisson:

E[thời gian giữa các lượt đến] = 1

𝜆

E[thời gan phục vụ] = 1

𝜇 Cường độ lưu thông = Tỉ lệ đến trung bình / Tỉ lệ phục vụ trung bình

Ký hiệu:

ρ = 𝜆

µ

Rõ ràng, M/ M/ 1 là một trường hợp đặc biệt của mô hình tổng quát sinh - tử với

𝜆𝑛 = λ và µ𝑛 = µ Ma trận sinh A được cho bởi (với không gian trạng thái: 0, 1,

2,…)

hệ số sử dụng = 1 − 𝑝0 = ρ = cường độ lưu thông

Nhắc lại rằng, ký hiệu Q(t) là số lƣợng khách hàng trong hệ thống Viết Q(∞) = Q

và 𝑄𝑞 là số lƣợng khách hàng trong hàng đợi, bao gồm cả một khách hàng đang đƣợc phục vụ Chúng ta xác định hai giá trị trung bình

𝐿 = 𝐸(𝑄)và𝐿𝑞 = 𝐸(𝑄𝑞) lần lƣợt là giá trị số khách hàng trung bình trong hệ thống và số khách hàng trung bình trong hàng đợi:

𝐿𝑞= ∞𝑛=1 𝑛 − 1 𝑝𝑛 = ∞𝑛=1𝑛𝑝𝑛− ∞𝑛 =1𝑝𝑛 = L − ρ = 𝜌2

b Thời gian khách hàng chờ đợi

Khi hệ thống đang ở trạng thái cân bằng, cho 𝑇𝑞 và T lần lượt là thời gian một khách hàng trong hàng đợi và thời gian một khách hàng trong hệ thống Chúng ta giả định rằng hệ thống hoạt động theo nguyên tắc " first - come, first - served" ( đến trước được phục vụ trước - FCFS)

Với quy luật hàng đợi FCFS, thời gian chờ đợi dịch vụ (𝑇𝑞) của một khách hàng đến là thời gian cần thiết để phục vụ các khách hàng đã có trong hệ thống.Tổng

thời gian trong hệ thống (T) = 𝑇𝑞 + thời gian phục vụ Khi có n khách hàng trong

hệ thống, thời gian phục vụ là hàm mũ với tham số µ, tổng thời gian phục vụ của n khách hàng là phân bố Erlang với hàm mật độ xác suất:

𝑓𝑛 𝑥 = 𝑒𝜇𝑥 𝜇 𝑛−1 !𝑛𝑥𝑛 −1 (2.2.13) Cho Fq(t) = P(Tq ≤ t), hàm phân phối của thời gian chờ đợi Tq là:

𝐿 = λW

𝐿q = λWq

c Thời gian bận rộn

Một thời gian bận rộn được định nghĩa là khoảng thời gian mà các server liên tục bận rộn Khi nó kết thúc thì có một khoảng thời gian nhàn rỗi sau đó Chúng tạo thành một chu kỳ bận rộn Với thời gian giữa các lượt đến theo phân phối mũ,

do tính chất không nhớ của phân phối, thời gian nhàn rỗi cũng có phân phối mũ Chúng ta sử dụng phương pháp dùng phương trình Kolmogorov để xác định phân phối của của thời kỳ bận rộn trong hàng đợi M/ M / 1 Nhìn vào quá trình Markov cơ bản, thời gian bận rộn là khoảng thời gian mà quá trình này bắt đầu từ trạng thái 1 về trạng thái 0 (Kể từ giai đoạn bận rộn với một lượt đến, nó là tổng

thời gian mà quá trình này cần có để có thể trở về trạng thái 0) Ma trận sinh A có

Phương trình Kolmogorov với 𝑃𝑛 𝑡 (𝑛 = 0, 1, 2, … )là:

𝑃0′ 𝑡 = 𝜇𝑃1(𝑡),

𝑃1′ 𝑡 = − 𝜆 + 𝜇 𝑃1 𝑡 + 𝜇𝑃2(𝑡),

𝑃𝑛′ 𝑡 = − 𝜆 + 𝜇 𝑃𝑛 𝑡 + 𝜇𝑃𝑛−1 𝑡 + 𝜇𝑃𝑛+1 𝑡 , 𝑛 = 2, 3, … …(2.2.16)

Với các điều kiện ban đầu 𝑃1(0) = 1, 𝑃n(0) = 0 với n ≠ 1

Với B là đại diện cho chiều dài của thời kỳ bận rộn, chúng ta có:

𝐸 𝐵 = 1

𝜇 − 𝜆(2.2.17)

ta có thể thấy rằng sự chuyển tiếp của quá trình Markov từ i đến 0 có thể được coi

là của i lượt đến với cùng phân phối đại diện quá trình chuyển đổi từ i → i − 1, i −

1 → i − 2, , 1 → 0 Nếu Bi là biến ngẫu nhiên đại diện cho một khoảng thời gian bận rộn bắt đầu bởi i khách hàng, chúng ta có:

𝐸 𝐵𝑖 = 𝑖

𝜆 − 𝜇 , (2.2.19)

𝑉 𝐵𝑖 = 𝑖(1 + 𝑝)

𝜇2(1 − 𝑝)3

(2.2.20)

d Quá trình dời đi

Quá trình dời đi khi các quá trình đến và phục vụ đã hoàn thành Khi server liên tục bận rộn thì quá trình dời đi là trùng với quá trình phục vụ.Với t1, t2, là thời điểm khách hàng đi từ hệ thống, và định nghĩa Tn = tn+1 – tn Khi hàng đợi cân bằng, có nghĩa là khi cường độ gia thông ρ< 1, ký hiệu này là T Cho Q(x) là số lượng khách hàng trong hệ thống có x thời gian sau khi dời đi và được định nghĩa là:

𝐹𝑛 𝑥 = 𝑃 𝑄 𝑥 = 𝑛, 𝑇 > 𝑥 (2.2.21)

Với bất kỳ giá trị nào của x, ta có:

𝑃 𝑄 𝑥 = 𝑛 = 1 − 𝜌 𝑝𝑛, 𝑛 = 0, 1, 2, … (2.2.22)

Từ (2.2.21), chúng ta có thể xác định F(x) như sau:

𝐹 𝑥 = 𝑃(𝑇 > 𝑥) = ∞ 𝐹𝑛 𝑥

𝑛=0 (2.2.23) Với một n xác định, vì tính chất Markovian của tiến trình cơ bản, các biến ngẫu

nhiên T chỉ phụ thuộc vào n Để thiết lập các mối quan hệ giữa Q(x) và T và để lấy

được phân phối của T, chúng ta xem xét các quá trình chuyển đổi trong khoảng

thời gian (x, x + ∆x] F(x) là xác suất mà T khoảng thời gian giữa lượt ra đi cuối

cùng và lượt ra đi tiếp theo lớn hơn x.Điều đó có nghĩa chúng ta phải xem xét khả

năng chỉ có các lượt đến trong khoảng thời gian (x, x + ∆x] Chúng ta có:

𝐹0 𝑥 + ∆𝑥 = 𝐹0 𝑥 1 − 𝜆∆𝑥 + 0(∆𝑥),

𝐹𝑛 𝑥 + ∆𝑥 = 𝐹𝑛 𝑥 1 − 𝜆∆𝑥 − 𝜇(∆𝑥) +𝐹𝑛 −1 𝑥 𝜆∆𝑥 + 0 ∆𝑥 , 𝑛 = 1, 2, … (2.2.24)

𝐹0′ 𝑥 = − 𝜆𝐹0(𝑥),

𝐹0′ 𝑥 = − 𝜆 + 𝜇 𝐹𝑛 𝑥 + 𝜆𝐹𝑛 −1 𝑥 , 𝑛 = 1, 2, ….(2.2.25)

𝐹𝑛 0 = 𝑃 𝑄 0 = 𝑛 = 𝑝𝑛.(2.2.26) Kết quả quan trọng từ phân tích này cho thấy quá trình dời đi của hàng đợi M/ M/ 1 trong trạng thái cân bằng là giống như quá trình Poisson cho quá trình

đến Do đó, số lượng trung bình khách hàng được phục vụ trong suốt chiều dài của

thời gian t khi hệ thống đang trong trạng thái cân bằng được cho bởi λt

e Bài toán ví dụ

Ví dụ 2.2.1.Một sân bay có một đường băng duy nhất Máy bay đã được cấu tạo

với tốc độ 15 mỗi giờ Người ta ước tính rằng mỗi lần hạ cánh mất 3 phút Giả sử

các lượt đến tuân theo phân phối Poisson và thời gian mỗi lần hạ cánh tuân theo

phân phối mũ, sử dụng một mô hình hàng đợi M/ M/ 1 để xác định các yêu cầu sau

đây:

a) Việc sử dụng đường băng:

Tỷ lệ đến trung bình = 15/giờ (λ),

Tỷ lệ phục vụ trung bình = 60/3/(giờ) = 20/giờ (µ),

310đơn vị:giờ = 9 phút

d) Xác suất chờ đợi nhiều hơn 5 phút? 10 phút? Không phải chờ đợi?

P( Không phải chờ đợi ) = 𝑃(𝑇𝑞 = 0) = 1 − 𝜌 = 0.25,

𝑃(𝑇𝑞 > 𝑡) = 𝜌𝑒−𝜇 1− 𝜌 𝑡 , P(Tq> 5 phút) =

là các lƣợt đến của khách hàng đƣợc giả định tuân theo phân bố Poisson, quá trình phục vụ tuân theo phân bố mũ và số lƣợng các servers là s > 1, cung cấp dịch vụ độc lập với nhau Chúng ta cũng giả định rằng các khách hàng đến tạo thành một

hàng đợi đơn và vào dịch vụ ngay khi có servers có thể phục vụ được Sẽ không có servers nhàn rỗi khi còn khách hàng để phục vụ

Nếu λ là tốc độ đến và µ là tốc độ phục vụ Thời gian giữa các lượt đến và phục vụ

có phân phối mũ với hàm mật độ lần lượt là :λ𝑒−𝜆𝑥 (x > 0) và 𝜇𝑒−𝜇𝑥 (x > 0) Lưu ý rằng tốc độ phục vụ µ là như nhau cho tất cả các servers Để sử dụng các mô hình sinh- tử đã giới thiệu trước đó, chúng ta phải thiết lập các giá trị cho λn và µn khi có

n khách hàng trong hệ thống Rõ ràng, tốc độ đến không thay đổi theo số lượng khách hàng trong hệ thống

Giả sử(n = 1, 2, 3, ,s) servers đang bận rộn tại thời gian t Sau đó, trong khoảng thời gian (t, t + ∆t], một server bận rộn sẽ hoàn thành việc phục vụ với xác suất 𝜇∆𝑡 + 0(∆𝑡) Từ n servers bận rộn tại thời gian t, xác suất mà một server trong n servers bận rộn sẽ hoàn thành việc phục vụ trong khoảng thời gian (t, t + ∆t] có thể được xác định bằng cách sử dụng phân phối xác suất nhị thức như sau:

= 𝑛1 𝜇∆𝑡 + 0 ∆𝑡 [1 − 𝜇∆𝑡 + 0(∆𝑡)]𝑛−1, (2.2.27) = 𝑛𝜇∆𝑡 + 0 ∆𝑡

⋱

𝜆

Với Q(t) là số lượng khách hàng trong hệ thống tại thời điểm t và

𝑃𝑛 𝑡 = 𝑃[𝑄 𝑡 = 𝑛|𝑄(0) = 𝑖] Từ phân bố giới hạn 𝑝𝑛 = lim𝑛 →∞ 𝑃𝑛 (𝑡)chúng