Định nghĩa và tính chất cơ bản Mọi tính chất đã học của nguyên hàm ở trên đều sử dụng được cho tích phân... Tính tích phân trên theo định nghĩa.. Tính tích phân trên theo định nghĩa..
Trang 1A – NGUYÊN HÀM
I – KIẾN THỨC CƠ BẢN
1 Định nghĩa và các tính chất cơ bản
Định nghĩa:
VD 01: (x2) '2x 2
2xdxx C
(ln ) 'x 1,x 0
x
1dx ln | |x C
' 1
(a x) 'a x.lna a xlnadxa xC ( ) 'e x e x x x
e dxe C
Tương tự ta có nhiều ví dụ khác nữa…
Các tính chất của nguyên hàm:
Tính chất 1: f x dx( ) ' f x( )C
Tính chất 2: k f x dx ( ) k f x dx k ( ) , const
Tính chất 3: [ ( )f x g x dx( )] f x dx( ) g x dx( )
VD 02:
x
d) (cosxsin )x dx e) 1 e x dx
x
2 Nguyên hàm một số hàm thường gặp
Bảng 1:
kdxkx C
( 1)
x n x
1
1
n
n
x
ln
x
a
ln
x
e
VD 03:
d) 4x dx4 e) 13 dx
x
1 3
x dx
2
x
dx x
h) (x1)(x43 )x dx i) 3 2
2
x
j) (2x35x7)dx k) 12 2 1
3
x
x x dx
x
( ) ( )
f x dxF x C
ons
F x f x
Trang 2p) x x( 1)(x5)dx q)
3
1
x
r) (2x31)2dx
( x1)(x x2)dx
t) (e x1)3dx u) 2x e dx x
Bảng 2:
.ln | |
1 ( )
1
n
1
ln
ax b
a
VD 04:
2x5dx
2x2dx
2 3
x
dx
2 1
x
dx
3
2
2 1
x dx
x x
3
4
1
x dx
x
e e dx
Bảng 3:
sinxdx cosx C
2 2
1
(1 cot ) cot sin x dx x dx x C
2
1
(1 tan ) tan cos x dx x dx x C
1 sin(ax b dx) cos(ax b) C
a
a
2 2
1
1
ax b
a
2
1
1 tan( )
ax b
a
VD 05:
a) sin xdx2 b) cos xdx2 c) 4(cos2xsin2x dx) d) tan xdx2 e) cot xdx2 f) sin xdx3
g) cos xdx3 h) sin2x.cosxdx i) cos(3x4)dx
k) sin 2xdx l) cos
2
x dx
m) sin cosx xdx
cos (3x2)dx
o) sin xdx4 p) cos xdx4
q) sin cosx 2xdx r) sin 3xdx s) cos4 xsinxdx
II – PHƯƠNG PHÁP TÍNH NGUYÊN HÀM
1 Một số kết quả thường gặp khi tính nguyên hàm
( ) ( )
f x dx f t dt
(ax b)n dx a n( 1)(ax b)n C
'
ln | |
u
1
n
n
Trang 3Nếu f x dx( ) F x( )C thì f ax b dx( ) 1 (F ax b) C
a
2 Các phương pháp tính nguyên hàm
a) Phương pháp đổi biến:
Bước 1: Đặt tu x( ), ta được dtu x dx( ) '
Bước 2: Tính nguyên hàm theo biến t
Bước 3: Thay tu x( ) để được kết quả theo biến x
VD 06:
(x1) dx
1
x dx x
1
x dx
2 3
x
dx
3 2
1 18
x
x dx
sin xcosxdx
5x4dx
j)
2
3
9
1
x
dx x
1
x x dx
2
1 (1 ) dx
x x
m) 3x 7 3 x dx2 n) sin3 cos
dx
o) xcos(x dx2) p) tan xdx q) cot xdx r) 2
3
x x
e dx
b) Phương pháp lấy nguyên hàm từng phần:
( ) ( )
I f x g x dx
( )
u f x
dv g x dx
( ) ' ( )
du f x dx
v g x
Khi đó: Iuvvdu
VD 07:
a) xcosxdx b) ln xdx c) x e dx2 x
d) ln xdx2 e) sin
2
x
g) x2cosxdx h) x2sinxdx i) x2cos 2xdx
ln(2 )
x x dx
LUYỆN TẬP
Phương Pháp: nguyên hàm hữu tỉ ( )
( )
P x dx
Q x
Nếu bậc của P(x) lớn hơn bậc của Q(x) thì ta chia P(x) cho Q(x)
Nếu bậc của P(x) nhỏ hơn bậc của Q(x):
1
(ax b)n dx a n( 1) (ax b)n C
( )( )
dx
dx
Trang 42 2
2
dx
dx
1) Tính các nguyên hàm sau:
1dx
x
4
x dx x
3 2dx
x x
d)
2
2
1
3 2
x x
dx
2
3
3 2
dx
6 9
dx
x x
5 6
dx
x x
2
dx
x x
5 6
x
dx
j)
3
1
x
dx
x
5
2
1
x dx x
2
2 3 ( 1)( 2)( 3)
dx
( 1)dx
x x
4x 4x1dx
2
100
(1 )
x dx x
1
x
dx
x
2 2
3
2
x
s)
2
3
x
dx
x
2
2
1
x dx x
2
2
3 1
x dx x
2) Tính:
2
c) (2x3 )x 2dx
d)
10
x dx
1
x
x
e dx
e
2
(lnx 1)
dx x
g)
e e
dx
e e
x
2
x
e
dx
j)
3
ln | 1 |
1
x
dx x
e e
x
e dx
e e
3) Tính các nguyên hàm sau:
3 4
dx
c) ( x1)(x x1)dx
x
2
dx x
f) x4x42dx
2
2
x dx x
3
x
dx
2
1
dx x
1dx
x x
m)
2
2
1
x
dx
x x
xdx
3
6
dt
4) Tính:
sin xcos x dx
sin cos
dx
dx
d)
3
2
sin 2
3sin
x
dx x
Trang 5g) tan xdx4 h) tan xdx5 i) tan xdx6
j) cot xdx2 k) cot xdx3 l) tann xdx n,
5) Tính các nguyên hàm sau:
a)
2
1 cos
1 cos 2
x dx x
b) 1 sin 2xdx c) sin 2 cos 8x xdx
d) cos3xsin 8xdx e) sin cos
sin cos
dx
f) sin sin 2 sin 3x x xdx
g) cos cos 2 cos 3
sin sin 2 sin 3
dx
3
2
sin cos
1 cos
dx x
sin xcosxdx
cos sin
dx
k) sin2xcos2xdx l) sin7xcos3xdx
cos xsin xdx
2
4
sin cos
x dx x
sin
dx x
p) sin cosx 3xdx q)
2 sin cos 1
dx
x x
cos sin
dx
x
sin cos
x
sin cos
x
6) Tính nguyên hàm các hàm số sau:
a)
2
ln x
dx x
os
x dx
c x
tan
d) cos ln(1 cos )x x dx e) 2
2
1
dx x
f) 2 sin cos2 2 2
sin cos
dx
B – TÍCH PHÂN
I – KIẾN THỨC CƠ BẢN
1 Định nghĩa và tính chất cơ bản
Mọi tính chất đã học của nguyên hàm ở trên đều sử dụng được cho tích phân Ok!
b
b a a
f x dxF x F b F a
VD 08:
a)
5
3
1
dx
x
4
2
1
x
1
2010
0
(1 7 ) x dx
Các tính chất của tích phân:
a
a
f x dx
f x dx f x dx
f x dx f x dx f x dx
VD 09:
a)
1
0
(x 3x 2)dx
4
2 1
t t
1 4
1
(5x 2)dx
Trang 6d)
2
0
(2 cosx sin 2 )x dx
1
2
0
(3y2 )y dy
1
0
s s s s ds
g)
5
4
1 sin 2
dx x
3 2
0
|x x 2 |dx
3 0
cos 3xdx cos 3xdx cos 3xdx
II – PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN
1 Phương pháp đổi biến dạng 1
Bước 1: Đặt tu x( ), ta được dtu x dx( ) '
Bước 2: Đổi cận
x a b
t t t
Bước 3: Thay cận và biến t ta được tích phân theo biến t
Tính tích phân trên theo định nghĩa
VD 10:
a)
3
1
2x3dx
2
1
x
xe dx
1
0
1
x dx
d)
1
0
(1 )
t t dt
4
2 0
tan cos
x dx x
1
0
5 ( 4)
x dx
x
g)
3
2
0
4
1
x
dx
6
0
(1 cos 3 ) sin 3x xdx
1
0
2 (2 5 )
t t t dt
2 Phương pháp đổi biến dạng 2
Bước 1: Đặt xu t( ), ta được dxu t dt( ) '
Bước 2: Đổi cận
x a b
t t t
Bước 3: Thay cận và biến t ta được tích phân theo biến t
Tính tích phân trên theo định nghĩa
VD 11:
a)
1
2
0
1 x dx
1 2
2
dx x
1
2
01
dx x
d)
4
x
dx
x
1
4
x dx
x
1
0
1
x x dx
3 Phương pháp tích phân từng phần
( ) ( )
b
a
I f x g x dx
( )
u f x
dv g x dx
( ) ' ( )
du f x dx
v g x
Khi đó: |b b
a a
VD 12:
a)
1
0
x
xe dx
2
1
ln
2
0
sin
Trang 7d)
2
0
cos
2 5
1
ln
1
0
(x1)e dx x
g)
2
0
sin cos
0
cos
x
2
x dx
LUYỆN TẬP
Phương pháp: Tích phân hàm hữu tỉ ( )
( )
P x dx
Q x
Nếu P(x) có bậc lớn hơn Q(x): chia P(x) cho Q(x) ta được ( ) ( )
( )
R x
Q x
Nếu P(x) có bậc nhỏ hơn Q(x): tương tự với việc ta tính ( )
( )
R x dx
Q x
+ Xét Q x( )ax2bx c (có bậc 2) thì R x( )mx n
TH 1: Q x( )a x( x1)(xx2) (x1, x2 là hai nghiệm của Q(x) = 0)
( ) ( )
( )( )
TH 2: Q x( )a x( x o)2 (xo là nghiệm kép của Q(x) = 0)
2
( )
TH 3: Q(x) = 0 vô nghiệm, ta phân tích để R x( ) A Q x ( ) 'B và khi đó:
( ) ( ) '
Trường hợp 3 này ta sử dụng phương pháp đổi biến dạng 2
+ Xét Q x( )ax3bx2 cx d ( có bậc 3) thì 2
( )
R x mx nxp
TH 1: Q x( )(xx1)(xx2)(xx3)
( ) ( )
TH 2: Q x( ) (x x1) (2 xx2)
2
( )
TH 3: Q x( ) (x x o)3
( )
TH 4: Q x( ) (x x o)(ax2bx c )
2
( )
+ Xét Q(x) là hàm có bậc lớn hơn 3 thì bài toán chỉ xét với dạng đơn giản
1) Tính các tích phân sau
a)
1
0
(1 )
x x dx
1
19
0
(1 )
x x dx
1
0
(1 )n , 1,
x x dx n n
Trang 8d)
1
4
2 1
2
1
( 1) dx
x x
2
04
x dx x
1
2
04
x dx x
g)
3
2
2
x
dx
1
2
dx
x x
2
x dx
x x
j)
4
1
2
1
1
x
dx x
x
2
5
1
(1 )
4 1
1 1
x dx x
m)
5
2
1
1
x
dx
x
4
2
dx
x x
1
2
dx
x
p)
2
2
1
(2 x1) dx
1
10
0
(x2) dx
2 0
1
x dx x
s)
4
2
xdx
x
1
2
xdx
2
x dx
x x
v)
4
7
1
(3x1) dx
2
2
dx
x
2
2
dx
x x
y)
2
2
xdx
x x
( 1)( 2)( 3)( 4)( 5)
xdx
x x x x x
Phương pháp: Tích phân hàm lượng giác
Biến đổi về tích phân cơ bản (sử dụng các công thức lượng giác)
Đổi biến số
+ Đổi biến số để hữu tỉ hóa tích phân hàm lượng giác (PP đổi biến số)
+ Đổi biến số theo chu kì của hàm lượng giác Quy tắc chung: Đặt ,
2
t x t x
(Tích phân đặc biệt – các hằng đẳng thức tích phân) + Đổi biến qua tan
2
x
1
t x t
2
2
1 cos
1
t x t
2
2 tan
1
t x t
2
1 cot
2
t x t
Tích phân lượng giác tổng quát: sin cos
sin cos
dx
Sử dụng công thức tích phân từng phần
Chú ý các công thức lượng giác:
2sin sinx ycos(xy) cos( xy)
2cos cosx ycos(xy) cos( xy)
2sin cosx ysin(xy) sin( xy)
sin cos 2 sin( ) 2 cos( )
sin cos 2 sin( ) 2 cos( )
sin sin 2sin os
sin sin 2 sin os
cos cos 2 cos cos
Trang 92) Tính (biến đổi về tích phân cơ bản)
a) (cos4xsin4 x dx) b)
2 4
0
cos xdx
2
0
cos 2 (sinx x cos x dx)
d)
2
01 sin 2
dx
x
2 4
0
sin xdx
f) (sin3xcos 3xcos3xsin 3 )x dx
g)
2
0
2
2
cos 5 cos 3x xdx
01 sin
dx x
đổi sin ra cos
j)
2
0
sin 3
xdx
x
2
0
cos xcos 2xdx
2
0
sin xcos 2xdx
3) Tính (đổi biến hữu tỉ hóa tích phân lượng giác)
a)
cos 3
dx
x
os
a x dx
c x
sin 2 2 sin
dx
d)
0
2
4
sin 2
(2 sin )
x dx x
2
2
0
sin 2 (1 sinx x dx)
2
2
0
sin cos (1 cos )x x x dx
g)
4
3
sin
2
dx
x
2
0
sin 3
1 cos
x dx x
3 2
2 0
sin
1 cos
x dx x
j)
1 4
0
5(5 4 cos ) sint tdt
4
4
tan xdx
2
0
cos
1 sin
x dx x
m)
6
0
2 1 4sin 3xcos3xdx
0
sin 4
1 sin
x dx x
2
0
cos
2 cos 2
xdx x
p)
2
0 (2 cos )(3 cos )
dx
2 5
0
os
0
sin xdx
s)
2
2
0
sin
xdx
x
4) Tính (đổi biến qua tan
2
x
t )
a)
2
dx
4
0
3sin 4 cos 2sin cos
dx
2
0
dx
d)
3
0 cos
dx
x
2
0
sin cos 2sin
xdx
sin 2 cos
c
dx
g)
2
0
dx
5) Tính (sử dụng công thức tích phân từng phần)
Trang 10a)
4
0
cos 2
2 2
0
cos
2
2
0
cos sin
d)
2
2
0
(2x 1) cos xdx
0
( sin )x x dx
2 2
0
(x 1) sinxdx
g)
2
0
cos ln(1 cos )x x dx
2
0
sin cos
x
3
6
cos
x xdx
j)
3
2
4
sin
xdx
x
0
sin
0
os
xc xdx
0
sin
4
2
0 2 cos
xdx x
Phương pháp: Tích phân hàm vô tỉ (chứa căn thức)
Đổi biến số đưa về tích phân hữu tỉ
Sử dụng phương pháp đổi biến dạng 1
2
1
b
a
dx
x a
t x x a, (phép thế Ơle)
Đưa tích phân vô tỉ về tích phân lượng giác (Phương pháp đổi biến dạng 2)
1
b
a
dx
a x
Đặt xatant
1
b
a
dx
a x
Đặt xasint hoặc xacost
b
a
a x dx
Đặt xasint hoặc xacost
Sử dụng tích phân từng phần
2
b
a
x adx
6) Tính các tích phân sau (Đổi biến số đưa về tích phân hữu tỉ)
a)
7
3
3
x dx
4
dx x
3
2
0
1
d)
1
2
1
2 1
1
x
dx
x x
9 3
1
1
1
0
1
x x dx
g)
1
2 8
0
1
x xdx
7 3
3 0
1
x dx x
2 0
2 1
dx x
j)
1
0
1
x x dx
2
0
1
2
2
dx
x
Trang 11m)
1
2
0
1
x x dx
9 3
1
1
1 2
2
xdx x
p)
1
2
dx
x x
5
dx
2
2
xdx
x x
s)
2 3
2
dx
x x
4
2
dx
2
xdx
v)
1
3
0
1
x xdx
2
x dx
xx
7) Tính (Lượng giác hóa tích phân vô tỉ)
a)
2
0
4
x x dx
2 2 2
2
x dx x
1 3
dx
x x
g)
2
1
ln 1
dx
6
x dx
x
9
dx
x
j)
2
9 4
dx
x
2 2 2
1 x dx x
2
x dx x
m)
1
2
0
1 x dx
1
0
1
x x dx
2
0
a
p)
2
0
a
dx
a
1 2
2 1
4
dx
xx
2
2
dx
s)
3
2 1
3
1
xdx
x
2 2
0
1 1
x dx x
, đặt xcost u)
1
2 3
0
(1x ) dx
8) Tính (sử dụng tích phân từng phần)
a)
1
2
0
1
x dx
1 2
0
1
x dx
Phương pháp: Tích phân hàm siêu việt (mũ – logarit)
Đổi biến số đưa về tích phân hữu tỉ
Sử dụng tích phân từng phần 9) Tính (Đổi biến số đưa về tích phân hữu tỉ)
2
2
1
x
x e dx
3
2
1
1 (ln )x dx x
2
12
x
x
e dx e
d)
2
ln
e
e
dx
3
0
x
xe dx
1
0
ln(2 ) 2
x dx x
g)
ln 3
0
1
x
e dx
h) e xex2dx i)
3
e
dx
Trang 12j)
1
dx
e
1
dx
e
1
dx
e e
m)
2 0
(1 )
1
x
x
e dx
e
01
x x
e dx e
1
ln( )
e
ex dx
p)
1
ln
1 ln
e
xdx
1
2
dx
, đặt t=-x rồi sử dụng phép truy hồi r)
1 (1 ln )
e
dx
4
1
x
e dx x
2 2
0
x
e dx
u)
1
0
2x e dx x
3
2 0
tan
1 ln | cos |
xdx x
1
2
1 cos (ln 1)
e
e
dx
x)
2
e
dx
2
2 1
os (ln )
e
ln 3
3
x
x
e dx
e
10) Tính (sử dụng tích phân từng phần)
1
ln
e
ln 2 2
0
x
xe dx
1
0
ln(2x1)dx
d)
1
e
dx x
1
2
x xe dx x
1
1
1 x e x x dx
x
g)
3
2
[ ln(x 1) ln(x1)]dx
1
1
(x 3)e dx x
2
1
(2x1) lnxdx
j)
1
ln
e
2
4
cos ln(sin )x x dx
1
2 2
0
(1x e dx) x
m)
2
2
0
sin 3
x
1
ln
e
1
ln
e
p)
1
2
0
ln(1 )
x x dx
4
0
sin 2
x
2
0
sin 2
x
0
cos
x
1
2
0
ln(x x 1)dx
1
0
[ln(x x 1)] dx
v)
0
1
2 2
0
sin 3
x
1 2
0
(x x e dx) x
1
ln
e
2
1
ln(x1)dx
Phương pháp: Tích phân hàm chứa trị tuyệt đối
Được ứng dụng nhiều trong các bài toán tính diện tích hình phẳng và thể tích vật thể
Bước 1: xét dấu biểu thức chứa trị tuyệt đối trên các đoạn
Trang 13Bước 2: Chia đoạn [ ; ]a b , [ ; ] b c , [ ; ] c d ,…
f x dx f x dx f x dx
11) Tính
a)
2
2
0
|x 1|dx
5
1 2 1
dx x
2 2
2
|x 1|dx
d)
3
3
|x 2 |dx
2
0
| cos |x dx
0
| cos | sinx xdx
g)
2
0
2
x x dx
h) e xex2dx i)
3 2
0
2 2 cos 2xdx
j)
4
2
0
6 9
x x dx
Phương pháp: Tích phân đặc biệt – Các hằng đẳng thức tích phân
( )f x liên tục trên [a a; ], khi đó ( ) 20 ( ) à àm n
a a
a
f x dx f l h cha
f x dx
f l h le
f x( ) liên tục, chẵn trên [a a; ], khi đó
0
( )
( ) 1
x a
f x
dx f x dx b
f x( ) liên tục trên [a a; ], khi đó
( ) [ ( ) ( )]
f x dx f x f x dx
f x( ) liên tục trên [-1;1], khi đó:
2
t x
2
2
f x dx f a b x dx
0 sinmxsinnxdx m n
m n
( ) (1 )
f x dx f x dx
sinn xdx cosn xdx
12) Tính
2
2
2
2
cos lnx x 1 x dx
2
2
Trang 1413) Tính
a)
11 2x
x
dx
2 2
2
| sin |
1 2x
dx
2
2
sin sin 2 cos 5
1
x
dx e
14) Tính
a)
2
1
sin
1
dx x
1
2
dx
4 1
1 x dx x
x
15) Tính
0
sin
1 cos
dx x
0
sin cos
2
0
sin cos sin
x dx
d)
2
0
sin
x dx
2
0
sin
n
x dx
2
0
1 sin ln
1 cos
x dx x
C - ỨNG DỤNG
LUYỆN TẬP
D – ÔN TẬP
1) Tính các nguyên hàm sau:
(x 2x 4)dx
(ax b dx)
3
1
x
d)
4
x
3
2
x x dx
f) (a x1)3dx
g) (a xb x)2dx h) a xax2dx i) a xax2dx
j) tan xdx k) 2 cos
3 2 sin
x dx x
cos
x dx x
( 1)
x
dx x
(2x) dx
p)
2
1
xdx
x
2x1dx
cos
x dx x
( 1)
xdx
x
dx x
dx
x x
1 x
dx e
x) (2x1)(x2 x 3)dx
Trang 15y)
2
1
xdx
x
sin cos
dx
2) Tính các nguyên hàm sau bằng phương pháp đổi biến số:
(1 )
x dx x
(1x) x dx
2
(ln )x dx x
sin cosx xdx
sin cos
dx
(1 )
x dx x
j)
sin
cos
x
dx x
3
4
sin cos
x dx x
e e
3
4
4
x dx
x
o) x2 x31dx
5
ln x dx x
2
2
1
x x
e dx
e
s)
2
4
1
1
x
dx x
2
1
x
dx
3) Áp dụng phương pháp lấy nguyên hàm từng phần tính các nguyên hàm sau:
a) (1 2 ) x e dx x b) xe dxx c) xln(1x dx)
sin
ln x 1x dx
1
x
x
g) ln(sin )2
cos
x dx x
cos
x dx x
i) x(3x dx)5
( 2)( 3)
x
dx
sin
x
dx x
1 x dx
3
2
sin cos
x dx x
p) sin 3 cos 2x xdx q)
sin cos sin cos
dx
sin
ln( 1)
x x dx
u) cos ln(1 cos )x x dx
v) e xcosxdx w) xe dx x x) x e dx2 x
4) Bằng cách biến đổi các hàm số lượng giác hãy tính:
a) sin xdx4 b) 13
sin x dx
c) sin3xcos4 xdx
cos sinx x dx
1 cos
x dx x
g) sin 4 sin 6x xdx h) sin 3 cos 7x xdx i) sin 3 cos 2x xdx
5) Tìm nguyên hàm của mỗi hàm số sau:
4
x
dx
x
2 1dx
x x
2 2
x
dx
(x3)(x4)dx
( 1)( 3)
x dx
x x
3
2
4
x dx
x
g)
3
2
4
x
dx
x
2 1
x
dx
1dx
x
Trang 16j)
2
2
2 1
x
dx
x x
2
3
1
x dx
x
2
2
( 1)( 1)
x
dx
x x
4
x
dx
x
3
( x 1)
dx x
s)
2
4
4
x
dx
x
2
1
dx x
3
x dx
x x
(2x3) dx
( 2)
x dx x
4dx
x
dx
6) Tính các tích phân hữu tỉ
a)
1
2
dx
x x
1
3
xdx
x
1
2003
0
( 1)
x x dx
d)
2 0
1
dx x
2
2
dx
x x
2
2
xdx
x x
g)
6
2
dx
6
2
xdx
1
xdx
x
j)
1
dx
x
8
x dx
x
0
, 0
a dx a
m)
1
2
0
6 2
1
x
dx
x x
1
2 0
4 1 1
x dx
1
2
dx
x x
p)
1
2
dx
x x
x dx
2
2
dx
x x
s)
1
2
dx
x x
1
2
dx
x x
1
2
dx
x
v)
1
2
0
4 11
5 6
x
dx
x dx
x
7) Tính các tích phân hàm vô tỉ
a)
1
xdx
x
4
2
dx
1
0
1
x x dx
8) Tính các tích phân hàm vô tỉ và trị tuyệt đối
a)
2
0
| 1|
x x dx
2
2
dx
x x
2 0
| 1|
| 2 |
dx
9) Tính các tích phân hàm lượng giác
a)
1 cos
dx
x
sin
dx x
c) sin sin 2 sin 3x x xdx
cos
dx x
3 2
0
4sin
1 cos
x x