mot so dang toan ve lien quan gtln gtnn trong khong gian oxyz mot so dang toan lien quan den gtlggtnn trong khong gian oxyzy

Trường hợp 1: Hai điểm A, B khác phía với mpP... Trường hợp 2: Hai điểm A, B cùng phía với mpP.. Khi đó MA + MBAB vẫn đúng nhưng không có dấu đẳng thức.. Trường hợp 1: Hai điểm A, B cùn

MỘT SỐ DẠNG TỐN VỀ LIÊN QUAN GTLN- GTNN

TRONG KHƠNG GIAN OXYZ

Dạng 1: Trong khơng gian Oxyz cho các điểm A 1 ; A 2 ; A 3 ;…; A n Xét ve tơ:

1 1 2 2 3 3

wk MA k MA k MA   k MA n n và mp(P): ax + by + cz = d = 0

Trong đĩ k k k1; ; ; ;2 3 k nR vàk 1   k2 k3 k n0 Tìm điểm M thuộc mặt phẳng (P) sao cho w nhỏ nhất

PP:

+Gọi G là điểm thỏa mãn: k GA1 1k GA2 2k GA3 3  k GA n n0 Xác định điểm G +Ta cĩ:

MA MG GA với i =1, 2, 3,…,n

+

1 2 3

1 2 3

n

n

k k k k MG k GA k GA k GA k GA

k k k k MG

k k k k MG

   

    

+Vì k1   k2 k3 k nlà hằng số khác khơng nên w cĩ giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi

MG nhỏ nhất, mà M( ) nên M=hcP ( )P G

Ví dụ: Trong khơng gian Oxyz cho các điểm A(1; 0; -1); B(2; -2; 1); C(0; -1; 0) và mặt

phẳng (P): x – 2y + 2z + 6 = 0 Tìm tọa độ điểm M thuộc mặt phẳng (P) sao cho:

2MA 4MB 3MC đạt giá trị nhỏ nhất

Giải:

Gọi G(xG; yG; zG) là điểm thỏa mãn: 2GA 4GB 3GC 0 G( 6;5; 6)  

Ta có MA MB MC MG  GA GB GC MG

( ) min

( ) ( )

( ) là đường thẳng đi qua G và vuông góc với mp(P) vtcp u (1; 2;2)

P

min

( ) :d

– 2

2

2 6 0 2





Tọa độđie

åm

x M

32

9

1

9

10

9

 







 





 





x

y

z

Dạng 2: Trong khơng gian Oxyz cho các điểm A 1 ; A 2 ; A 3 ;…; A n Xét biểu thức:

1 1 2 2 3 3

T k MA k MA k MA   k MA n N

Trong đĩ k k k1; ; ; ;1 1 k1R Tìm điểm M thuộc mặt phẳng (P) sao cho:

a) T cĩ giá trị nhỏ nhất biết: k1   k2 k3 k n > 0

b) T cĩ giá trị lớn nhất biết: k1   k2 k3 k n < 0

PP:

+Gọi G là điểm thỏa mãn: k GA1 1k GA2 2k GA3 3  k GA n n0 Xác định điểm G +Ta cĩ:

MA MG GA với i =1, 2, 3,…,n

1 1 2 2 3 3

1 2 3

2

không đổi nên:

n n n

    

1 2 3

( )

M (P) nên MG nhỏ nhất

n

P



Ví dụ: Trong khơng gian Oxyz cho các điểm A(1; 4; 5); B(0; 3; 1); C(2; -1; 0) và mặt phẳng (P): 3x - 3y -2z - 15 = 0 Tìm tọa độ điểm M thuộc mặt phẳng (P) sao cho:

a) MA2 + MB2 + MC2 cĩ giá trị nhỏ nhất

b) MA2 + 2MB2 – 4 MC2 cĩ giá trị lớn nhất

Giải:

a) Gọi G(xG; yG; zG) là điểm thỏa mãn: GA GB GC   0 G(1;2;2)

( ) min

(4 ; 1; 0)

P

MA

M

MB M C G nhỏnhấ t M hc G M

b) Gọi G(xG; yG; zG) là điểm thỏa mãn:

2 2

( ) m

)

P ã

MG nh

M

Dạng 3: Trong khơng gian Oxyz cho các điểm A(x A ;y A ;z A ), B(x B ;y B ;z B ) và mp

(P):ax + by + cz + d =0 Tìm điểm M thuộc mp(P) sao cho:

a)MA + MB nhỏ nhất

b) MA MB lớn nhất với d A P( ,( )) d A P( ,( ))

PP:

- Xét vị trí các điểm A,B so với mp(P)

+ Nếu (axA + byA + czA + d )( axB + byB + czB + d) > 0 thì hai điểm A, B cùng phía với mp(P)

+ Nếu (axA + byA + czA + d )( axB + byB + czB + d) < 0 thì hai điểm A, B khác phía với mp(P)

a)MA + MB nhỏ nhất

Dựa vào bất đẳng thức tam giác MA + MBAB dấu đẳng thức xãy ra

 A, M, B thẳng hàng và điểm M thuộc đoạn AB

Trường hợp 1: Hai điểm A, B khác phía với mp(P)

Vì A, B khác phía với mp(P) nên min(MA+MB) = AB  MAB ( )P

Trường hợp 2: Hai điểm A, B cùng phía với mp(P)

Khi đó MA + MBAB vẫn đúng nhưng không có dấu đẳng thức

- Gọi A’ =Đ(P)A khi đó A’ và B khác phía với mp(P) và MA’ = MA

nên MA + MB = MA’ + MB A B' ; min(MA + MB) = A’B  MA B' ( )P b) MA MB lớn nhất

Dựa vào bất đẳng thức tam giác MA MB  AB dấu đẳng thức xãy ra

 A, M, B thẳng hàng và điểm M thuộc đường thẳng AB

Trường hợp 1: Hai điểm A, B cùng phía với mp(P)

- Vì A, B cùng phía với mp(P) nên max MA MB = AB  MAB ( )P

Trường hợp 2: Hai điểm A, B khác phía với mp(P)

Khi đó MA MB  AB vẫn đúng nhưng không có dấu đẳng thức

- Gọi A’ =Đ(P)A khi đó A’ và B cùng phía với mp(P) và MA’ = MA

nên MA MB = MA' MB  A’B max MA MB = A’B  MA B' ( )P

Ví dụ: Trong không gian Oxyz cho các điểm A(1; -1; 2); B(-2; 1; 0); C(2; 0; 1) và mặt phẳng (P): 2x - y -z +3 = 0 Tìm tọa độ điểm M thuộc mặt phẳng (P) sao cho:

a) MA + MB có giá trị nhỏ nhất

b) MA MC có giá trị lớn nhất

c) MA + MC có giá trị nhỏ nhất

d) MA MB có giá trị lớn nhất

Giải:

Đặt f(x;y;x) = 2x - y -z +3;

f(xA;yA;xA) = 4 > 0 ; f(xB;yB;xB) = -2 < 0; f(xC;yC;xC) = 5 > 0

Các điểm A, C nằm cùng phía với mm (P); A, B nằm khác phía với mp (P)

a) MA + MB có giá trị nhỏ nhất

Ta có MA + MB AB và A, B nằm khác phía với mp (P)

nên min(MA + MA) = AB MAB ( )P

( 3; 2; 2) ( ) :

1

1; ;

2 3

2 3 0



  



 







  

x

z

b) MA MC có giá trị lớn nhất

Ta có MA MC  AC và A, C nằm cùng phía với mp (P)

nên max( MA MC ) = ACMAC ( )P

 

(1;1; 1) ( ) :

1

2 3

1

4 0

1



  

     



     

x

z

c) MA + MC cĩ giá trị nhỏ nhất

Ta cĩ MA + MC AC và A, C nằm cùng phía với mp (P)

Gọi H(x;y;z) = hc(P)A ; (d) là đường thẳng đi qua A vả vuơng gĩc với mp(P)

( ) ( )

( )

( )

(2; 1; 1) ( ) :

có

2

1 3

8 3

5 1 10

3

; 3

0

3









 











  



P

P

x

z Gọi A Đ A

y z

A

x

3

Ta cĩ: MA + MC = MA’ + MC  A’C vì A, C nằm cùng phía với mp (P) nên A’, C khác phía với mp(P) nên min(MA + MC) = A’C M  A C ' ( ) P

2x y z

7











1 x

5

y Vậy điểm M ; ;

12

z

5

  





 





 





d) MA MB cĩ giá trị lớn nhất

( )

5 1 10

3 3 3

P

phía

có: ' ' nên max( ) '

( ' ) ( )

: ' ; ; ( ' ) :

 



7 3

10 3







 





x

z

z

Dạng 4: Trong khơng gian Oxyz cho các điểm: A, B, A 1 , A 2 , A 3 ,…, A n và đường thẳng

0 3

x x ta

d : y y ta

z z ta

  



 



  



1)Xét wk MA1 1k MA2 2k MA3 3  k MA n n Trong đĩ

1; ; ; ;2 3 n 1 2 3 n 0

k k k k R vàk    k k k  Tìm điểm M thuộc đường thẳng (d) sao cho w

nhỏ nhất

1 1 2 2 n n

T  k MA  k MA   k MA Tìm điểm M thuộc đường thẳng (d) để

a)T cĩ giá trị nhỏ nhất biết: k1   k2 k3 k n > 0

b)T cĩ giá trị lớn nhất biết: k1   k2 k3 k n < 0

3) Tìm điểm M thuộc đường thẳng (d)để diện tích tam giác MAB nhỏ nhất(AB, (d) chéo

nhau)

PP:

Vì điểm M(d)M(x0ta ; y1 0ta ;z2 0ta )3 Tính w , T, diện tích tam giác MAB ta được một biểu thức theo t, bài tốn đưa về tình GTNN, GTLN của một biểu thức theo t

Ví dụ: Trong khơng gian Oxyz cho các điểm: A(1;4;2), B(-1;2;4) và đường thẳng

:

1

d

   

a) w  3OM  2AM  4BM nhỏ nhất

b) T = MA2 + MB2 nhỏ nhất

c) Diện tích tam giác MAB nhỏ nhất

Giải:

2 2

Ta có: OM=(1 t; 2 t;2t); AM ( t; t 6;2t 2); BM (2 t; t 4;2t 4)

min w

2

b)Ta có: MA=(-t;6-t;2-2t); MB=(t-2;4-t;4-2t)

T=MA +MB  12t  48t  76 12(t 2)    28 28, t    R

minT  28    t 2 M( 1; 0; 4) 

2 ( MAB)

c)Ta có: AM=(-t;t-6;2t-2);AB=(-2;-2;2) AM,AB (6t 16; 4 2t; 4t 12)

S AM,AB 56t 304t 416 56 t



    

 

           

 

( MAB)



Dạng 5: Trong khơng gian với hệ Oxyz cho hai điểm A(xA;yA;zA), B(xB;yB;zB) và đường

0 3

x x ta

d : y y ta

z z ta

  



 



  



Tìm điểm M trên (d) sao cho

a) MA + MB nhỏ nhất

b) MAMBlớn nhất

PP:

M (d) M(x ta ; y ta ;z ta )

a)MA MB k (t a) m (t b) n

Trong mp Oxy xét điểm N(t;0) Ox, H(a;m); K(b;n) với m.n<0

N,H,K thẳng hà ng

H, K nằm hai phía trục Ox







2 2 2 2

b) MA MB k (t a) m (t b) n

Trong mp Oxy xét điểm N(t;0) Ox, H(a;m); K(b;n) với m.n>0(m n)

MA MB k HN KN kHK; max( MA MB ) HK

N,H,K thẳng hàng

N Ox KH H,K nằm cùng phía trục Ox

      





VD1: Trong hệ Oxyz cho các điểm A(1; 5; 0); B(3; 3; 6) và đường thẳng

   

  



 



Tìm điểm M trên (d) Sao cho MA + MB nhỏ nhất

Giải:





H,N,K thẳng hàng

vì H, K nằm hai phía trục Ox





Vậy điểm M(1;0;2)

VD2: Trong hệ Oxyz cho các điểm A(-1; -1; 0); B(5; 2; -3) và đường thẳng

x 1 t

(d) : y 2t

z 1 t

  

 



   



Tìm điểm M trên (d) Sao cho MA  MB lớn nhất

Giải:

M  (d)  M(1 t;2t; 1 t)   

MA MB 6t 2t 6 6t 4t 24 = 6 (t ) (t )

             





H,N,K thẳng hàng

vì H, K nằm cùng phía trục Ox

(HK ) : 6 35x 18y 4 35 0 N( ; 0) N(t; 0) t

1 4 1 Vậy điểm M( ; ; )

3 3 3







Dạng 6: Trong khơng gian với hệ Oxyz Cho hai điểm phân biệt A và B Viết phương trình

mặt phẳng (P) chứa B và cách A một khoảng lớn nhất

PP:

Gọi H là hình chiếu của A lên (P),

khi đĩ tam giác ABH vuơng tại H

 

     

Khi đĩ (P) là mặt phẳng đi qua B và vuơng gĩc với AB

Ví dụ: Viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm B(1; 2; -1) và cách gốc toạ độ một khoảng lớn nhất

Giải:

Gọi H là hình chiếu của A trên mp(P) cần tìm, khi đĩ OHOB

 

Vậy mp(P) đi qua B(1; 2; -1) và nhận OB ( 1 ; 2 ;  1 )làm véc tơ pháp tuyến

mp(P) : 1(x – 1) + 2(y – 2) – 1(z + 1) = 0  x 2yz 6  0

Dạng7: Trong khơng gian với hệ Oxyz cho điểm A(xA;yA;zA) và đường thẳng

  00 12

0 3





  



a) Lập phương trình mặt phẳng (P) đi qua A , song song với (d) và d( (d),(P)) lớn nhất

b) Lập phương trình mặt phẳng (P) chứa (d) sao cho d (A, (P)) là lớn nhất

PP:

a) + Gọi H là hình chiếu của A trên (d),

+ mặt phẳng (P) đi qua A và (P)//d nên d (d,(P)) = d (H, (P)) = HI( Với I là hình chiếu của H lên (P))

+ Ta cĩ : HI  AH = const  HI lớn nhất khi A  I Khi đĩ (P) đi qua A và nhận

AH làm véc tơ pháp tuyến

b) + Gọi H là hình chiếu của A lên (d); K là hình chiếu của A lên mp(P)

+ Ta cĩ: d (A,(P)) = AK AH (tính chất đường vuơng gĩc và đường xiên) Do đĩ d(A,(P)) max AK = AH KH

+ Viết PT mp (P) đi qua H và nhận AH làm VTPT

VD: Trong không gian Oxyz cho A(10; 2; -1) và đường thẳng (d) có phương trình :

3

1 1

2

1  

 y z

x

a) Lập phương trình mặt phẳng (P) đi qua A , song song với (d) và d( (d),(P)) lớn nhất

b) Lập phương trình mặt phẳng (P) chứa (d) sao cho d (A, (P)) là lớn nhất

Giải:

a) + Gọi (Q) là mp đi qua A và vuông góc (d) vtpt n (Q)  vtcp u (d)  (2;1;3)

(Q): 2x + y + 3z - 19 = 0; H = hc(d)A

 

 

+ Mặt phẳng (P) đi qua A và (P)//d nên d (d,(P)) = d (H, (P)) = HI( Với I là hình chiếu của H lên (P))

+ Ta có : HI  AH = const  d (d,(P)) lớn nhất  HI lớn nhất  A  I Khi đó (P) đi qua A và nhận AH làm véc tơ pháp tuyến Ta có AH= (-7 ; -1 ; 5)

(P) : -7( x -10) - ( y - 2) + 5( z + 1) = 0

 7x + y - 5z – 77 = 0

b)Gọi H là hình chiếu của A lên (d); K là hình chiếu của A lên mp(P)

Ta có: d (A,(P)) = AK AH (tính chất đường vuông góc và đường xiên)

Do đó max d(A,(P))= AH KH; mp (P) đi qua H và nhận AH = (-7 ; -1 ; 5)

làm VTPT  (P): 7x + y - 5z - 2 = 0

Dạng 8: Trong không gian với hệ Oxyz cho mp (Q); 2 đường thẳng (d) và (d’) Lập

phương trình mp(P) chứa (d) sao cho

a) Góc giữa mp(P) và mp(Q) nhỏ nhất ((d) không vuông góc với mp(Q))

b) Góc giữa mp(P) và (d’) lớn nhất ( (d) và (d’) chéo nhau)

PP:

a) Gọi phương trình mặt phẳng (P): ax + by + cz + d = 0 ( a2 b2 c2 0 ) chứa (d) Lấy M(d) M(P) ta có một phương trình (1)

Vec tơ pháp tuyến của (P) : n (a; b; c)(P) và véc tơ chỉ phương VTCP u(d)vuông góc với nhau ta có phương trình (2)

VTPT: n(Q)  H = cos( P , Q    ) = cos(n ,n )P Q (3)

Góc giữa (P) và (Q) nhỏ nhất khi H max

b) Gọi phương trình mặt phẳng (P): ax + by + cz + d = 0 (a2 b2 c2  0 ) chứa (d) Lấy M(d) M(P) ta có một phương trình (1)

Vec tơ pháp tuyến của (P) : n (a; b; c)(P) và véc tơ chỉ phương VTCP u(d)vuông góc với nhau ta có phương trình (2)

VTCP (d’): u(d')  K = sin(   P , d’ ) = cos(n , u )P d' (3)

     1 2 3

   

Góc giữa (P) và (d’) lớn nhất nhất khi Kmax

VD: Trong không gian với hệ Oxyz cho 2 đường thẳng (d)

























t z

t y

t x

2

2

1 ;

     và mp(Q): 2x – y – 2z – 2 = 0 Viết phương trình mp(P) chứa đường

thẳng (d)

a) Tạo với mp(Q) một góc nhỏ nhất

b) Tạo với (d’) một góc lớn nhất

Giải:

Gọi (P): ax + by + cz + d = 0 (a2 + b2 + c2  0) chứa (d)

2 2 2

a 2b c(2)

2a b 2c vtpt

a)M 0; 1

;

(

2

)

 





0

3b cos((P),(Q))



3

min

max

b 3 a=1

d=3





(P)

a b c

 

 

3b 2c (2) (3') sin((P),(d'))



 

2

2

2

3 6c

c

b

x 2

 



 



BBT

x -  3

2



2 +  f’(x) - 0 + 0 -

f(x) 2

3

7

9

0 2

3

max

a 4

Vậy(P) : 4x y 2z 3 0

 

 



Dạng 9: Trong khơng gian với hệ Oxyz cho mp (P); điểm A (P), điểm B≠A, đường thẳng

(d’) cắt (P) Lập phương trình đường thẳng (d) nằm trong mp(P) và thỏa

a) (d) đi qua A và cách điểm B một khoảng nhỏ nhất, lớn nhất

b) (d) đi qua A và khoảng cách giữa (d) và (d’) là lớn nhất ( (d’) khơng đi qua A)

c) (d) đi qua A và tạo với (d’) một gĩc nhỏ nhất, lớn nhất

PP:

a) (d) nằm trong mp(P) đi qua A và cách điểm B một khoảng nhỏ nhất, lớn nhất

2 2 2 (d)

(P)

(d) (d)

Gọi u (a; b;c)là một VTCP của (d)(a +b +c >0)

u ,AB

u



(1) (2) d(B,(d)) f (a,b) (có thể theo a, c hoặc b, c)

+ xét b=0 d(B,(d))

   

 



c xét b 0 đặt t= d(B,(d)) f (t)

b

a Tìm Max f(t); min f(t) t b pt(d)

c





  





b) (d) nằm trong mp(P) đi qua A và khoảng cách giữa (d) và (d’) là lớn nhất

2 2 2 (d)

(P) (d) (d) (d')

Gọi u (a; b;c)là một VTCP của (d)(a +b +c >0)



(d) (d') Tìm AM và tính u ,u   AM

(d) (d') (d) (d')

u , u

(1) (2) d((d),(d')) f (a,b) (có thể theo a, c hoặc b, c)

   

+ xé t b=0  d(B,(d))

c xét b 0 đặt t= d(B,(d)) f (t)

b

a

c









c) nằm trong mp(P) đi qua A và tạo với (d’) một gĩc nhỏ nhất, lớn nhất

* Vì luơn tồn tại đường thẳng (d) đi qua A và tạo với đường thẳng (d’) một gĩc 900, nên Max((d),(d'))  900  VTCP u(d)    n , u(P) (d) 

2 2 2 (d)

(P) (d)

(d) (d') (d) (d')

Gọi u (a; b; c)là một VTCP của (d)(a +b +c >0)

Vì d (P) u n (1)

u u Tìm cos((d),(d') (2)

u u (1) (2) cos((d),(d') f (a,b) (có thể theo a, c hoặc b, c)

+ xét b=0 cos





 ((d),(d')

c xét b 0 đặt t= d(B,(d)) f (t)

b

a Tìm Max f(t);min f(t) t b pt(d)

c





  





VD: Trong khơng gian Oxyz cho (P): x + 2y – z – 1 = 0; điểm A(1; 0; 0)và

B(0; 2; -3)

a)Viết phương trình của đường thẳng (d) (P) đi qua điểm Avà d(B,(d)) lớn nhất, nhỏ nhất

b) Viết phương trình của đường thẳng (d) (P) đi qua điểm A và cách

   

c) Viết phương trình của đường thẳng (d) (P) đi qua điểm A và tạo với đường thẳng

   

Giải:

(P)

(d)

Gọi u (a; b;c)là VTCP của (d) (a +b

VTP

+c

T

>0)

 

(P) (d)

Ta có d (P)   u  n   a 2b c 0      c a 2b(1)

(d)

(d)

(d)

(d)

u (a; b; a 2b)

u ,AB

d(B,(d))

u



2 2 2

b

 

 

     

   

BBT t -  -1 +

f’(t) + 0 -

f(t) 14

6 6

6 d(B,(d)) 14

a max d(B,(d)) 14 t 1 1 a b

b chọn a=1;b=-1; c=1

x 1 y z

(d):

1 1 1



     

(d)

(P) (d)

Gọi u (a; b;c)là VTCP của (d) (a +b +c >0)

VTPT

a 5b; 2b; 2



(d) (d')

2 (d) (d')

(d) (d')

d((d),(d'))

u , u

   

 

2

b

 

2 2 2

2

BBT t -  3

2  +

f’(t) + 0 -

f(t) 4

3

0 0

3 a 3 3b t a 2 b 2 2 x 1 y z Chọn a=3; b=-2; 4 Maxd((d), c=-1 (d')) 3 (d): 3 2 1                 (P) (d') 2 2 2 (d) c)Ta co ù n (1;2; 1) VTCP u (1; 2;1);d' M(1; 1; 0) Gọi u (a; b; c)là VTCP của (d) (a V +b +c TPT >0)        (P) (d) Ta có d (P)   u  n   a 2b c 0      c a 2b(1) (d) u (a; b;a 2b)    2 (d) (d') 2 2 2 2 (d) (d') u u 2a 2a Gọi (d,d') cos 6a 12ab 15b u u 6 2a 4ab 5b            3 Nếu b=0(a 0) cos = 3     2 2 2t a Nếu b 0 cos (với t= R) b 6t 12t 15         2 2 2 2 2t 60t 24 Đặt f(t)= f '(t) 6t 12t 15 (6t 12t 15)        2 f '(t) 0 t 5     BBT: t -  2

5  +

f’(t) - 0 +

f(t) 1

3

8 279

1 3