giai chi tiet gtln gtnn 12 giai chi tiiet gtln gtnn thpt qg 20162015 va dh cac nam

Ôn thi Đại Học Chủ đề: Tìm Giá Trị Lớn Nhất... Các đẳng thức và bất đẳng thức cần học thuộc lòng1... Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức.

Ôn thi Đại Học

Chủ đề:

Tìm Giá Trị Lớn Nhất

Nhỏ nhất

Các đẳng thức và bất đẳng thức cần học thuộc lòng

1 a b  2(ab) Dấu “=” xảy ra ab

2 a b ab Dấu “=” xảy ra a0 hoặc b=0

3 (a+b+c)2=a2+b2+c2+2(ab+bc+ca)= a2+b2+c2+a(b+c)+b(a+c)+c(a+b)

4 (a+b-c)2=a2+b2+c2+2ab-2bc-2ca

5 (a-b-c)2=a2+b2+c2-2ab+2bc-2ca

)(

333)()()

c c b b

 (a+b+c)2

)(

1

b a

2

+b3 3

41

S

(

0))(

)(

(

c b a

c b a

0)()(

2 2

c b

a ab

c b

a ab

)(

)(

)1(0

)(

)(

3 2

3 2

bc ab abc

c b a ca

bc ab abc

3 2 2 2

x y

x y

2

2 2

2 2

2

b a b a

b a b a

Áp dụng bất đẳng thức côsi

a1+a2+a3+…+ann n a1.a2.a3 a n Với a1, a2, a3, …, an không âm

1

b a

ab 

21

b a b

a   

411

b a



24 a+b+c 3

3 abc

26 abc

27

)(abc 3



28 a+b+c2 a(bc)

c b a

a c

29 ax+ay2 2 2 2

y x y x y

x

a a

a a

a    

21

11

Nếu f’(x)>0 thì hàm số f(x) đồng biến f(a)Pf(b)

Nếu f’(x)<0 thì hàm số f(x) nghịch biến f(a)P f(b)

b b a

t t t a

b b a

t t t a

b b a

t t a

b b a

t t a

b b a

t a

b b a

t a

b b a

7147

296

55

24322

3 5 7 7 7 7 7

2 4 6 6 6 6 6

3 5 5 5 5 5

2 4 4 4 4 4

3 3 3 3 3

2 2 2 2 2

36 Nếu đặt t=

a

b b

b a c b

c b a c b

a    

91

11

38 a3b3c33abc(abc)33(abc)(abbcca)

39 a3b3c3(abc)a2b2 c2 (abbcca)3abc

02

y

x y

x

Áp dụng bất đẳng thức: a b 2(ab)

Dấu“=” xảy ra a=b

)1(

2)32

(23

57

32

7

32

y

x y

x

y x y

x

y x

y x

y x

giá trị lớn nhất của xy=7 tại x=6; y=1

13

23

02

x y12 x2 y3 2 xy1

Đặt t= xy1 t0

20

02

32

y x y

x

y x

 P=3xy4 (xy1)27xy 3(x2 y2)

243

947639

39432

)132(

3234   723   5   

TH2: t2 xy12xy14x y3 kết hợp với xy7 ta được 3x y7Đặt S=x+y

S

S

; 3S7dùng công thức:

u v v u uv

u u

ln'

)'(

'')'(

f’(S)= ( 4)'.3S4ln3( 1)'.27S ( 1)(27S)'6

S S

S

f’(S)= 3S4ln327S ( 1).(7 )'.27Sln26

S S

f’(7)= 374ln3277(71).277ln26

=33ln3208.20ln2627ln318ln260f’(3).f’(7)<0 a(3;7)sao cho f’(S)=0 vì f’(S) đồng biến nên a là nghiệm duy nhất của pt f’(S)=0 trên [3;7]

13

Cho các số thực a,b,c thuộc đoạn [1,3] và thỏa mãn điều kiện a b c 6  

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

2

t t

2

)5(144



Xét hàm số f(t)=

t

t t

2

1445

3) Trung học phổ thông quốc gia_năm 2015_lần 2

Cho các số thực a,b thỏa mãn a,b

1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki

(x1y1+x2y2+x3y3+…xnyn)2   2 2

3 2 2 2 1 2 2

3 2 2 2

x y

x y

S

-3S+

22

)1(1224

45

S S

S 0, S 1;2 nên đây là hàm số nghịch biến

Do đó: S2 f(S)f(2)=-1

 P-1

P=-1 khi a=b=1 Vậy min P=-1

4) Đại học khối A_năm 2014

Cho x, y, z là các số thực không âm và thỏa mãn điều kiện 2 2 2

x y z 2Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

2 2

(1

2 2

2 2

y x x x

x yz

x x

x x

yz z

2aba b

1

Cộng (*) và (**) vế theo vế ta được

36

)(

19

yz11

2 2

2

z y x z

y x

x x

11

9

yz111

2 2

2 2

2

z y x x

yz x

z y z

y x

x x

yz x

z y x

1

2

z y x z

y

x

z y

2

t t

2

t t

5) Đại học khối B_năm 2014

Cho các số thực a, b, c không âm và thỏa mãn điều kiện (a+b)c >0 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

a c

b c

)(2)(2

)(

c b a c b a

b a b

a

c c

Khi a=0, b=c, b>0 thì P=

23

 Pmin=

2

3

6) Đại học khối D_năm 2014

Cho hai số thực x, y thỏa mãn các điều kiện 1  x  2; 1  y  2 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :

7) Đại học khối A_năm 2013

Cho các số dương a,b,c thỏa mãn điều kiện (a+c)(b+c)=4c2 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

P=

c

b a c

a

b c

b

3 3 3

3

)3(

32)

S  S2+4S-120

)3(

32)

3

(

32

y x x

y y

Ta có: u3+v3=(u+v)3-3uv(u+v) (u+v)3-3

4

)(uv 2

(u+v)=

4

1(u+v)3



3 3

3 3

3

33

4

1)3()

x x

y y

x



3 3

3 3

3

33

8)3(

32)

x x

y y

3

)3(

32)

93

328

9)(3

)(3

S T S y

x xy

y x y x

3

)3(

32)

933

3)3(2

S S S

3

)3(

32)

3

(

32

y x x

y y

122

65

8S SS   x2y2

 P

3

)6(2

)6)(

1(

f’(S)=3(S-1)2

62

Với mọi S2 ta có 3(S-1)23 (1)

62

71

62

126

2

1

2 2

S

S S S

S

S

7)1(

2

2362

 f’(S)3 

2

23

>0 f(S) đồng biến trên [2;+∞)

S2 f(S)f(2)=1- 2 P1- 2

Khi a=b=c thì P=1- 2 Do đó giá trị nhỏ nhất của P là 1- 2

8) Đại học khối B_năm 2013

Cho a, b, c là các số thực dương Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

( ) ( 2 )( 2 )4

111

4

2 2

)

33()2)(

2()

2()

2()

3 2 2 2

x y

x y

x    

3 3 2 2 1 1

Áp dụng bất đẳng thức cô si cho 2 số dương x,y

xy 

(*)  

4

43

32

1)2)(

2()

(

3

2

c b a b a c

b c a b

4

4442

1)2)(

2()

(

3

2

c b a c

b c a b

2)2)(

2()

Cách 2: Tìm giá trị lớn nhất

( ) ( 2 )( 2 )4

.)

2)(

2(

)2)(

2(

2)(

2(

)

(

2 2

bc ac ab b

a c b c a

2

2

bc ac ab b

2

1)

2)(

2(

)

(

1

2 2 2

c b a c

b c a b



)(

2

9)

2)(

2(

)

(

9

2 2 2

c b a c

b c a b



)(

2

9)

2)(

2(

)

(

9

2 2 2

c b a c

b c a b

2

94

4

2 2 2 2

xy  

Áp dụng bất đẳng thức:

2

2 2

y x

xy 

94

2 





t t

P

Xét f(t)=

)4(2

94

8

5 khi a=b=c=2

9) Đại học khối D_năm 2013

Cho x, y là các số thực dương thỏa mãn điều kiện xy y 1 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

263

2

32

6)

3(

2

73

t t

1(2

 >0

1'( ) 0 0;

10) Đại học khối A_năm 2012

Cho các số thực x,y,z thỏa mãn điều kiện x+y+z=0.Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

6663

c b

666333

11) Đại học khối B_năm 2012

Cho các số thực x, y, z thỏa mãn các điều kiện x+y+z=0 và x2 y2 z2 1

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 5 5 5

0

2 2

z P S

z S

)( z 2 P z2

z S

z S

Tìm điều kiện của z

Ta có: xy

2

2 2

x 5.S3.P+5S.P2



2 2 2

3 5

5

5

2

12)

.(

52

12.)(5)

12.5

2 4 2

3 5 5

z

z z z y

12.5

2 4 2

3 5 5

z

z z z y

x

4

52

5 3 5 5

4

52

5

z z z z y y

4

52

5 3 5 5

Xét hàm: P= f(z)= z z

4

52

x2  2  2 2

S P S y

x 7.S5.P+14S3.P2-7SP3

12) Đại học khối D_năm 2012

4



13) Đại học khối A_năm 2011

Cho x, y, z là ba số thực thuộc đoạn [1; 4] và x  y, x  z

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P =

a    

21

11

z y

13

2

14) Đại học khối B_năm 2011

Cho a và b là các số thực dương thỏa mãn 2(a2

+ b2) + ab = (a + b)(ab + 2) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P =

a b

a2 2 2 2 2 (1)

a

b a

b a

– 9t2 – 12t + 18 f’(t) = 12t2

– 18t – 12, f’(t) = 0  t = 1

2

 hay t = 2

 Min f(t) = 23

4

 khi t = 5

2Vậy min P = 23

4

 khi a = 1 và b = 2 hay a = 2 và b = 1

15) ĐỀ ÔN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016 - ĐỀ 2

Cho a, b, c là ba số dương thõa mãn: a + b + c = 3

4 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

3 3

13

13

1

a c c b b a

9z

1y

1x

19xyz

3xyz3z

1y

1x

3 3

3

9a

c

1c

3b

1b

a

1P

16) ĐỀ ÔN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016 - ĐỀ 3

Cho ba số dương x, y, z thay đổi và thỏa điều kiện x    y z 3 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu

4

2 2

2

y x y

x

y x y

z z

322

27279

z z

z

2

27279

5

6

; z=

53

17) ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA NĂM 2016



2)2

(3

81

23

21

(3

8)

18) ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA NĂM 2016_lần 5

Cho các số thực dương a, b, c Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau: P=

c b a abc ab

32

14.2

b a

116.4 4

1 3

c b a

12

4.2

1

abc ab



3

44

a abc ab



)(

4

31

2

3)

(4

62

)(

2

3Đặt t=a+b+c, (t>0)

 P

t t

32

1641

c b a

c b a

c b a

Vậy giá trị nhỏ nhất của P=

19) ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA NĂM 2016_lần 1_Nghệ An

Cho các số dương x,y Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

2 2 2

23

13

1

y x y

x y

Giải:

Áp dụng bất đẳng thức: (a+b)22(a2+b2) a+b 2(a2b2)

2 2 2

2

3

13

1

y x y

12

y x y

Áp dụng bất đẳng thức:

b a b

a  

411

2 2 2

2

3

13

1

y x

y

13

3

4

y x y x y

Ta có: xy21212(x2y2)

2 2

21

y x y

Từ (2) và (3) 2 2 2 2

3

13

1

y x y

2

3

13

1

y x y

2)

(

2

)(3

22

y x y

x  



20) ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA NĂM 2016_lần 1_Hà Tĩnh

Cho các số thực dương x,y,z thỏa mãn x2

+y2+z2=3 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

xz yz xy xyz

z y x z

z y x z

19

3 3

b a c b

c b a c b

a    

91

11

Ta có:

t xz yz xy xy xz

yz

99

11

9.9

19

3 3

1.9

3 3

z y

x

 P32t

3

1)3(

3

11

32

 P 6

3

11 =

329

yz xy

xz yz xy

z y x

21) ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA NĂM 2016_lần 3

Cho các số thực dương x, y thỏa mãn điều kiện x+y=2016 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

P= 5x2 xy3y2  3x2 xy5y2  x2xy2y2  2x2xyy2

Giải:

53

Cho x=1; y=1  9=(a+b)2  ab3 a=3-b (3)

Lấy (2)-(1) ta được: 2=a2

611

566

76

11

y x y

116

76

115

3 2  2  

6

76

116

76

115

33

5x2xy y2  x2xy y2  x y y x x y  

 A 6048

Phân tích x2xy2 y2= 2 2

)(x y c by

Cho x=1; y=1 4=(a+b)2 a+b=2b=2-a (7)

45

74

54

3

y x y

 x xy y x y x y

4

54

34

54

32

2 2

54

54

32

Dấu “=” xảy ra x=y=1008

Pmin=10080 tại x=y=1008

22) Trường THPT Chuyên Nguyễn Huệ_NĂM 2016_lần 1

Cho x,y,z là các số không âm thỏa mãn x+y+z=

2

3 Tìm giá trị nhỏ nhất của P=x3+y3+z3+x2y2z2

z x

yz xy z

y

2

3.32

yz xy z

y

2

98

27    + x2y2z2

2

98

18

2154

138

1 2

xz yz xy xyz

2154

7

xz yz xy

2

94

13)(

9)

(2

92

32

9

64

215

Áp dụng bdt: yz

4

)(yz 2

2 2

2

34

1)(4

92

34

12

32

92

34

12

32

9916

1516

9916

1516

1516

nhân x

263321

6453f(x)

6425

Theo bảng biến thiên ta có min f(x)=

64

25

P64

25

 Pmin=

64

25 khi x=y=z=

21