Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị C1 biết hoành độ tiếp điểm x0 = 1.. Giả sử đồ thị Cm cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt.. Hãy xác định m sao cho hình phẳng giới hạn bởi đồ thị C
Trang 1KIỂM TRA HỌC KỲ II
MÔN: TOÁN - LỚP 12
Câu 1: (3,5 điểm) Cho hàm số: y = x4 - 4x2 + 2m + 1 có đồ thị là (Cm)
a Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số với m = 1 (C1)
b Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C1) biết hoành độ tiếp điểm x0 = 1
c Giả sử đồ thị (Cm) cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt Hãy xác định m sao cho hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (Cm) và trục hoành có diện tích phần phía trên và phần phía dưới trục hoành bằng nhau
Câu 2: (1,5 điểm) Tính các tích phân sau:
a 3
0 x2 1
xdx
0
3
3 sin xdx x
Câu 3: (1,5 điểm) Trong tập số phức
a Tính z biết z = (4 - 3i)2 + (1 + 2i)3; b Giải phương trình: x2 + 5x + 8 = 0
Câu 4: (3,5 điểm) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho điểm I(2; 3; -1) và đường thẳng
(d) có phương trình:
2
11 1
7 2
3
x
a Tìm toạ độ điểm I' là điểm đối xứng với điểm I qua đường thẳng (d)
b Lập phương trình mặt phẳng () đi qua đường thẳng (d) và vuông góc với mặt phẳng (Oxy)
c Viết phương trình mặt cầu (S) tâm I cắt đường thẳng (d) tại hai điểm A, B thoả mãn AB= 40
-HẾT -
Trang 2HƯỚNG DẪN CHẤM
a
(2đ)
Với m = 1 ta có: y = x4 - 4x2 + 3 (C1) 0,25
y' = 4x3 - 8x, y' = 0 4x3 - 8x = 0
2
0
x
x
0,25
y' - 0 + 0 - 0 +
HS đồng biến trên ( 2;0) và ( 2;)
HS nghịch biến trên (; 2) và (0; 2)
0,25
lim x 4x 3
y' - 0 + 0 - 0 +
yCĐ = y (0) = 3
(C1) cắt trục Oy tại điểm (0;3)
(C1) cắt trục Ox tại điểm (-1;0), (1;0), ( 3;0) và ( 3 ;0) 0,25
0,25
b
(1đ)
CĐ
DD
CT
CT
CT
3
3 3 -1
- 3
Trang 3y'(1) = -4 0,25
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C1)tại điểm M0 là: y = -4x + 4 0,25
c
(0,5)
Phương trình hoành độ giao điểm x4 - 4x2 + 2m + 1 = 0 (1)
Đặt t = x2
, t 0
0,25
Ta được phương trình: t2
- 4t + 2m + 1 = 0 (2)
Để PT (1) có 4 nghiệm phân biệt PT (2) có 2 nghiệm 0 < t1 < t2
Ta có
2
3 2
1
2 1 2 3
0 0
0 '
m m
m P
Vậy với
2
3 2
1
m PT (1) có 4 nghiệm phân biệt tương ứng là:
2 1 1
t
Do y = x4 - 4x2 + 2m + 1 là hàm số chẵn (Nhận trục Oy làm trục đối xứng) theo yêu
cầu bài ta có:
0 ) 1 2m 4x -(x
2
0
2
t dx 3t2220t215(2m1)0 (3)
Mặt khác t2 là nghiệm PT (2) ta có:t224t22m10(4)
Từ (3) và (4) tìm được m =
18
11 thoả mãn điều kiện (*)
Kết luận: m =
18
11 …
0,25
Câu 2: (1,5 điểm)
a
(1đ)
Đặt t = x2
+ 1 => xdx dt
2
1
Với x = 0 thì t = 1; Với x = 3 thì t = 4
0,25
I = 4t dt
1 2 1
2
1
0,25
I =
1
4
2
1
b
(0,5)
3
J xsin xdx xsin xdx xsin xdx 0,25
J =
9
2
0,25
Câu 3: (1,5 điểm)
Trang 4(1đ)
692
z
b
(0,5)
2
) 7 (
7 i
x1,2=
2
7
5 i
0,25
Câu 4: (3,5 điểm)
a
3 2
2 1
R t t z
t y
t x
1,0
b
(1đ)
MP () đi qua đt (d) và vuông góc với MP (Oxy) 0,25
đt (d) đi qua điểm M0(-1;2;-3) và có VTCPu(2;1;1)
MP (Oxy): z = 0 có VTPT n1
MP () có VTPT n u;n1 (1;2;0)
đi qua điểm M0(-1;2;-3) 0,25
c
(1đ)
Gọi () đi qua điểm I(1;-2;3) và vuông góc với đt (d) 0,25
MP () đi qua điểm I(1;-2;3) có VTPT u(2;1;1)
Gọi H là hình chiếu vuông góc của điểm I trên đường thẳng (d) ta có H(-1+2t; 2 + t;
-3-t)
H () ta có 6t + 6 = 0 t = -1
Vậy H(-3;1;-2)
0,25
Gọi I'(x;y;z) đối xứng với I qua (d)
H là trung điểm của II'
7 4 7
z
y
x
Vậy I'(-7;4;-7)
0,25
d
(0,5)
Gọi M là trung điểm của AB ta có IAM vuông tại M
Ta có R2 = IA2 = AM2 + MI2= 202 + MI2 0,25 Theo yêu cầu bài toán và ý c) ta có M(-3;1;-2)
50 )
5
; 3
; 4
MI
R2 =202 + 50 = 450
Vậy phương trình mặt cầu (S) thoả mãn yêu cầu bài toán là:
(x-1)2 + (y+2)2 + (z-3)2 = (15 2)2
0,25
Chú ý:
- Học sinh làm cách khác đúng, lập luận chặt chẽ cho điểm tối đa
- Hết