+ Ta có DA là phân giác trong c a góc EDF mà DC⊥DA DC là phân giác ngoài c a góc EDF CDE CDQ=.
Trang 1G I Ý GI I
Ng i th c hi n: Ph m V n Quý
Email: phamvanquycqt@gmail.com
Câu 1 (2.0 i m) Cho bi u th c: P 1 1 . 2 1 1 : x3 y x x y3 3 y3
x y
a) Tìm i u ki n xác nh và rút g n P
+) i u ki n P có ngh a là:
0 0
0 0
0 0
0
x y
x
y
>
>
>
>
+
.
P
xy
xy
+
+
2
+
+
( )2
:
=
( )2
.
+
=
+
( x y) xy
xy
+
=
b) Cho xy= 16 Xác nh x, y P có giá tr nh nh t
+) V i xy= 16 ta có: ( ) 16
+) Áp d ng b t ng th c Cauchy ta có: x+ y ≥ 2 xy = 2 16 4 = P≥ 1 D u “=” x y ra
x = y ⇔ =x y K t h p v i gi thi t xy= 16 ta có: x y= = 4
+) V y khi xy= 16 thì giá tr nh nh t c a P là b ng 1 t c khi x y= = 4
S GIÁO D C VÀ ÀO T O
BÌNH PH C THI MÔN TOÁN CHUYÊN – N M H C 2014–2015 K THI TUY N SINH VÀO L P 10 THPT
NGÀY THI: 01-7-2014
Th i gian làm bài: 150 phút không k th i gian giao
Trang 2Câu 2 (2.0 i m)
a) Gi i ph ng trình: 2 5
( 2)
4
x x
x
+
Gi i
+) i u ki n: x≠ − 4
PT ⇔x x+ x+ =
⇔(x2 + 4x x)( 2 + 4x+ = 4) 5
t t x= 2 + 4x ta có ph ng trình tr thành: ( ) 2 1
5
= + = ⇔ + − = ⇔
= −
t
t
V i t= 1 x2 + 4x= ⇔ 1 x2 + 4x− = ⇔ = − ± 1 0 x 2 5 (nh n)
+) K t lu n: T p nghi m c a ph ng trình là: = − −{ − + }
b) Gi i h ph ng trình: − − + + =
Gi i
+) i u ki n: + ≥
+ ≥
+) Ta có h ( + ) (+ − − )+( + )=
⇔
( + −) ( + +) ( + )=
⇔
( + )( − + =)
⇔
+ =
− + =
⇔
+ =
⇔
− + =
Gi i h : + =
n x trong ph ng trình − + = là ≤ ⇔ =
Thay x = 0 vào ta có 0 = 2 (vô lí) Do ó h vô nghi m
Gi i h : − + =
Trang 3( )( ) ( )
=
=
=
(nh n)
+) K t lu n: H ph ng trình có nghi m là: =
Câu 3 (1.0 i m) Cho ph ng trình: − − + + − = Tìm m ph ng trình có hai nghi m th a i u ki n: ( + ) + − =
Gi i
+) Vì là nghi m c a ph ng trình nên ta có: − − + + − =
Mà theo nh lí Viet ta có: + = − , thay vào (*) ta có: − − − + =
=
=
+) K t lu n: V i m = 1 thì ph ng trình ã cho có hai nghi m th a ( + ) + − =
Câu 4 (3.0 i m) Cho tam giác ABC nh n, (AB < AC), không cân n i ti p ng tròn (O), có AD,
BE, CF là ba ng cao, v i H là tr c tâm
a) Ch ng minh r ng H là tâm ng tròn n i ti p tam giác DEF
+) Ta có t giác BDHF n i ti p (vì
M t khác ta có t giác ABDE n i ti p (vì
và (2) ta có: = hay DH là phân
giác trong c a góc
+) Ta có t giác CDHE n i ti p (vì
M t khác ta có t giác BCEF n i ti p (vì
và (4) ta có: = hay EH là phân
giác trong c a góc
+) Xét tam giác DEF có H là giao c a hai
ng phân giác trong DH, EH nên H là tâm
ng tròn n i ti p c a tam giác DEF
b) Ch ng minh r ng OA vuông góc v i EF
+) G i Ax là ti p tuy n t i A c a ng tròn ngo i ti p tam giác ABC ta có: OA Ax⊥ , (tính ch t)
x
O
M D
F
E
H A
Trang 4+) Ta có FAx BCA= (cùng b ng n a s o cung AB), AFE BCA= , (do BCEF là t giác n i ti p)
/ /
FAx AFE= Ax DE Mà OA Ax⊥ nên OA EF⊥
c) Ch ng minh r ng ng tròn ngo i ti p tam giác DEF i qua trung i m M c!a c nh BC
+) Ta có FC là phân giác trong c a góc DFE, CFA CFB= = 90 0 EFA DFB=
+) Ta có tam giác EBC vuông t i E và có EM là ng trung tuy n ME MC= ∆MCE cân t i M
MCE MEC=
+) Ta có BCEF là t giác n i ti p EFA BCE= T ó ta có EFA DFB MCE MEC= = =
0
180 180
EFD EFA DFB
EFD EMC EMC MCE MEC
=
d) G i I, K l" l #t là hình chi u vuông góc c!a B, C trên ng th$ng EF Ch ng minh r ng:
DE + DF = IK
Gi i
+) K BP CK⊥ BIKP là hình ch! nh t IK BP=
+) Ta có 5 i m B, F, E, P, C cùng n m trên ng
tròn ng kính BC G i Q là giao i m c a FD v i
ng tròn ng kính BC
+) Ta có DA là phân giác trong c a góc EDF mà
DC⊥DA DC là phân giác ngoài c a góc
EDF CDE CDQ= Ta có CEB CQB= =900 mà
BQD BFD= (cùng b ng góc BEF) CED CQD=
T ó ta có ∆CQD= ∆CED g c g( − − ) DE DQ =
.
DE DF DQ DF FQ+ = + = Nh v y ch ng
minh bài toán ta ch" c#n ch ng minh BP = FQ
+) Ta có BFD EFA= (câu c), mà BFD PBF slt= ( )
/ /
hình thang Mà BFPQ là t giác n i ti p nên BFPQ
là hình thang cân BP FQ=
V y ta có DE DF DQ QF FQ BP IK+ = + = = = ,( pcm)
Câu 5 (1.0 i m) Gi i ph ng trình nghi m nguyên: x2 + 2y2 + 2xy+ 3y− = 4 0
Gi i
Cách 1
+) Ta có PT⇔(x2 + 2xy y+ 2)+y2 + 3y= 4
⇔ 4(x2 + 2xy y+ 2)+ 4y2 + 12y= 16
( )2 ( 2 )
4 x y 4y 12y 9 25
( ) 2 ( )2 2 2 2 2 2 2 2 2
+) Vì x y Z, ∈ nên ta có các tr ng h p sau:
2 2
2 2
1
4
4
x
x
y
= −
=
= −
Q
P
I
K
D F
E
H A
Trang 5TH2: ( )
⇔
= −
⇔
= −
= ±
=
+) K t lu n: Ph ng trình ã cho có 2 c p nghi m nguyên là: 1; 4 ; 1; 2 ; 4 .
Cách 2
+) Ta có PT⇔ + + + − = Xem ây là ph ng trình b c hai n x ta có :
ph ng trình có nghi m ta có ∆ ≥ ⇔ − − + ≥ ⇔ − ≤ ≤ Mà y là s nguyên nên ta có
∈ − − − −
+) L#n l t thay các giá tr c a y trên vào ph ng trình #u ta c các nghi m nguyên c a ph ng
Câu 6 (1.0 i m) Cho a, b là hai s% th c d ng th a + ≥ Tìm giá tr nh nh t c!a bi u th c:
Gi i
+) Áp d ng B T Cauchy ta có: + + ≥ ; + + ≥ D u “=” x y ra khi a = b = 1
+) Ta luôn có b t ng th c: + ≥ + , (*) Th t v y (*)⇔ + ≥ + +
+) Áp d ng (*) ta có ≥ + − + + t = + ≥ ta có :
( ) ( )
≥ − + = − + − + = − + + ≥ D u “=” x y ra ⇔ = ⇔ + =
+) K t lu n: Giá tr nh nh t c a P là 4 t c khi a = b = 1
H t
