P là điểm bất kỳ trên cạnh BC a Chứng minh PBD ABC b Chứng minh rằng diện tích ∆PDE không lớn hơn 1 4 diện tích ∆ABC.. c Đường thẳng DE ở vị trí nào thì diện tích ∆PDE đạt giá trị lớn n
Trang 1PHÒNG GIÁO DỤC VÀ
ĐÀO TẠO THẠCH HÀ
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN
NĂM HỌC 2014 - 2015 Môn thi: TOÁN - LỚP 9
Thời gian làm bài: 150 phút
Ngày thi: 29/ 10 / 2014
2015 − −1 2014 −1 và 2 2.2014 2
2015 − +1 2014 −1
Bài 2 a) Tìm hai số x, y thỏa mãn
2 2
2
+ = +
− = −
b) Tìm ba số nguyên tố sao cho tích của chúng bằng năm lần tổng của chúng Bài 3 a) Giải phương trình: (x−2014)2014 + (x−2015)2016 =1
b) Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của biểu thức: M = 3 x − + 2 4 10 − x
Bài 4 Cho tam giác ABC, đường thẳng song song với cạnh BC cắt cạnh AB tại D và
cắt AC tại E (D ≠ A) P là điểm bất kỳ trên cạnh BC
a) Chứng minh PBD
ABC
b) Chứng minh rằng diện tích ∆PDE không lớn hơn 1
4 diện tích ∆ABC.
c) Đường thẳng DE ở vị trí nào thì diện tích ∆PDE đạt giá trị lớn nhất.
Bài 5 Cho x, y thỏa mãn (x+ 2014+x2)(y+ 2014+y2) 2014=
Tính giá trị của biểu thức S = x2015 + y2015
-HẾT -Họ và tên thí sinh: Số báo danh:
Lưu ý: Học sinh không được dùng máy tính.
ĐỀ CHÍNH THỨC
Trang 2ĐÁP ÁN
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN NĂM HỌC 2014-2015
Môn : TOÁN - LỚP 9
Bài 1
a)
2 3 2 2 2 3 2 2
-2( 3 3) 2( 3 3)
-24 2
4 2 6
=
-b)
Ta có
( 2015 1 2014 1)( 2015 1 2014 1)
2015 1 2014 1
2015 1 2014 1
(2015 1) (2014 1) 2015 2014 (2015 2014)(2015 2014)
2015 1 2014 1 2015 1 2014 1
+
Vậy 20152− −1 20142−1 > 2 2.2014 2
2015 − +1 2014 −1
Bài 2
Ta có
= 3
+ − =
⇔ + +
+ − = = ±
b)
Gọi a,b,c là ba số nguyên tố cần tìm ta có: abc = 5(a+b+c)
Tích ba số nguyên tố abc chia hết cho 5 nên có một số bằng 5
Giả sử a = 5 được 5bc = 5(5+b+c) ⇔ bc = 5+b+c
⇔ bc -b - c + 1 = 6 ⇔ (b-1)(c-1) = 6
b,c là các số nguyên dương có vai trò như nhau nên ta có các hệ:
=
=
⇔
=
−
=
−
7
2 6
1
1 1
c
b c
b
và
=
=
⇔
=
−
=
−
4
3 3
1
2 1
c
b c
b
Kết luận: Ba số nguyên tố cần tìm là 2, 5, 7
Bài 3
a)
Ta có: (x 2014)− 2014 + (x 2015)− 2016 = ⇔1 x 2014− 1007+ −x 20151008=1
Kiểm tra ta thấy x = 2014 và x = 2015 là các nghiệm của phương trình
Trang 36,0đ + Nếu x > 2015 thì x – 2014 > 1 nên x 2014 1− > ⇒ 1007
x 2014− > ⇒1
1007 1008
x 2014− + −x 2015 >1 Chứng tỏ pt không có nghiệm thỏa mãn x > 2015
+ Nếu x < 2014 thì x – 2015 < -1 nên x 2015 1− > ⇒ 2008
x 2015− > ⇒1
2007 2008
x 2014− + −x 2015 >1 Chứng tỏ pt không có nghiệm thỏa mãn x < 2014
+ Nếu 2014 < x < 2015 thì: 0 x 2014 1
1 x 2015 0
< − <
− < − <
1007 1008
x 2014 x 2014 x 2014
x 2015 x 2015 2015 x
x 2014− + −x 2015 <1 Chứng tỏ 2014 < x < 2015 không thỏa mãn p trình Vậy, phương trình có hai nghiệm x = 2014 và x = 2015
b)
Tìm GTNN, GTLN của biểu thức: M =3 x−2+4 10−x
Điều kiện để các căn thức có nghĩa: 2 ≤ x ≤ 10
Đặt N= x−2+ 10−x
N2 = 8 + 2 (x−2)(10−x) ≥ 8 (vì 2 (x−2)(10−x)≥0)
Nên N2 ≥ 8 đẳng thức xẩy ra ⇔x = 2 hoặc x = 10
Do đó: M ≥ 3N + 10−x ≥ 3N ≥ 6 2 đẳng thức xẩy ra⇔x = 10
Vậy GTNN của M = 6 2
Áp dụng BĐT Bunhiacopky ta có: M ≤ 25(x−2+10−x) =10 2
Đẳng thức xẩy ra⇔x =122
25 Vậy GTLN của M = 10 2
Bài 4
a)
Ta có AH = AB sinB với µB 90< o
ABC
BC.AH AB.BC.sin B S
Tương tự SBDP BP.BD.sin B
2
Từ (1) và (2) suy ta
PBD ABC
(Có thể sử dụng hai tam giác vuông đồng dạng)
b)
AH cắt DE tại K
Đặt AH = h, AK = k ⇒ DE =k
BC h
2
P E ABC
k h k
Áp dụng bất đẳng thức cosy cho hai số không âm k và h – k ta có
2
4
k h k k h k h k h k
2
1
4
−
−
P E ABC
k h k
1 4
⇔S P E ≤ S ABC
Dấu “=” xảy ra khi
2
h
k h k= − ⇒ =k
k K
H
E A
D
P
Trang 4c)
D
P E
S lớn nhất khi
2
h
k= tức DE là đường trung bình ABC∆ lúc này D
1 4
⇔S P E = S ABC
Bài 5
Nhận xét ( 2014+x2 +x)( 2014+x2 −x)=2014
( 2014 +y +y)( 2014 +y −y) = 2014
Kết hợp với giả thiết ta say ra:
2014 2014
2014 2014
Cộng từng vế của hai đẳng thức ta suy ra: x + y = - x- y hay x = - y
Vật S =x2015 +y2015 =x2015 + −( x)2015 =0
Tổng
PHÒNG GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO THẠCH HÀ