ĐỀ thi THỬ vào thpt chuyên toán HÀ NỘI AMSTERDAM

Một mảnh vườn hình chữ nhật có độ dài đường chéo là 13m và chiều dài lớn hơn chiều rộng 7m.. Với giá trị nào của m thì đường thẳng d cắt  P tại hai điểm M, N sao cho khoảng cách từ M đ

ĐỀ KIỂM TRA CHẤT LƯỢNG HỌC KÌ II 2016 – 2017

HN AMS Ngày 21/3/2017 – thời gian 120 phút (sưu tầm và biên soạn) Câu 1.(2,5 điểm)

Cho hai biểu thức 7 2

2 1

x A

x





 và

9

B

x



  với x0,x9

1 Rút gọn biểu thức B và tìm tất cả các giá trị của x để AB

2 Tìm các giá trị của x để A nhận giá trị là số nguyên dương

Câu 2.(1,5 điểm)

Giả bài toán bằng cách lập hệ phương trình hoặc phương trình

Một mảnh vườn hình chữ nhật có độ dài đường chéo là 13m và chiều dài lớn hơn chiều rộng 7m Tính chiều dài và chiều rộng của mảnh đất đó

Câu 3 (2 điểm)

Trên mặt phẳng toạ độ Oxy cho parabol   2

:

p y x và đường thẳng d y: 2xm2 1, m là tham

số

1 Khi m  3, chứng tỏ rằng đường thẳng d cắt  P tại hai điểm phân biệt A,B Từ đó , tính diện

tích tam giác OAB (O là gốc toạ độ)

2 Với giá trị nào của m thì đường thẳng d cắt  P tại hai điểm M, N sao cho khoảng cách từ M đến Oy

gấp 2 lần khoảng cách từ N đến Oy

Câu 4.(3,5 điểm)

Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O bán kính R Đường cao AD, BE cắt nhau tại H, kéo dài

BE cắt đưòng tròn (O;R) tại F

1 Chứng minh rằng tứ giác CDHE nội tiếp được trong một đường tròn

2 Chứng minh rằng tam giác AHF là một tam giác cân

3 Gọi M là trung điểm của cạnh AB Chứng minh rằng ME là tiếp tuyến của đưòng tròn ngoại tiếp tam giác CDE

4 Cho B, C cố định và BCR 3 Xác định vị trí của A trên đường tròn (O; R) để DH.DA lớn nhất

Câu 5 (0,5 điểm)

Cho hai số dương x,y thoả mãn điều kiện 2xy  4 x y

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P xy 12 12

***

ĐÁP ÁN CHI TIẾT Câu 1.(2,5 điểm)

Cho hai biểu thức 7 2

2 1

x A

x





 và

9

B

x



  với x0,x9

1 Rút gọn biểu thức B và tìm tất cả các giá trị của x để AB

2 Tìm các giá trị của x để A nhận giá trị là số nguyên dương

Lời giải

1 B   2 2

9

x





9

x x







x



Để AB  7 2 12

x





 7 x2 x 3 12 2 x1

7x 21 x 2 x 6 24 x 12

 

2

4 9

7

x

x



 



Vậy để ABthì x4

2

2

x A



7

2

A mà A nhận giá trị nguyên dương 0 7

2

A

   ; A nguyên  A 1; A2; A3

1

A  x   x

2

A  x   x

3 5 25

A  x  x

Vậy để A nhận giá trị là số nguyên dương thì 9 ; 16; 25

25 9

x x x

Câu 2.(1,5 điểm)

Giả bài toán bằng cách lập hệ phương trình hoặc phương trình

Một mảnh vườn hình chữ nhật có độ dài đường chéo là 13m và chiều dài lớn hơn chiều rộng 7m Tính chiều dài và chiều rộng của mảnh đất đó

Lời giải

Gọi chiều dài , chiều rộng của hình chữ nhật lần lượt là a b m,   a b, 0





60 7

ab

a b







7 7

5

7 60

12

a b

a b

b

b b

 



 

12 5

a b





 Vậy chiều dài hình chữ nhật bằng 12 và chiều rộng hình chữ nhật bằng 5

Câu 3 (2 điểm)

Trên mặt phẳng toạ độ Oxy cho parabol   2

:

p y x và đường thẳng d y: 2xm2 1, m là tham

số

1 Khi m  3, chứng tỏ rằng đường thẳng d cắt  P tại hai điểm phân biệt A,B Từ đó , tính diện

tích tam giác OAB (O là gốc toạ độ)

2 Với giá trị nào của m thì đường thẳng d cắt  P tại hai điểm M, N sao cho khoảng cách từ M đến Oy

gấp 2 lần khoảng cách từ N đến Oy

Lời giải

1 Khi m  3 d y: 2x2

Phương trình hoành độ giao điểm d và  P là nghiệm của phương trình:

2x  2 x 2

2 2 0

x x

   

 

  



Vậy d cắt  P tại hai điểm phân biệt A( 1  3; 4 2 3) và B( 1  3; 4 2 3)

S S S S

Ta có :

MNBA

1 3 4 2 3 5 3 3

OMA

12 10 22

OAB

S

2 Gọi x M,x N lần lượt là hoành độ của điểm M và N

Khi đó: x M,x N là nghiệm của phương trình:x2 2xm21 2 2

' 1 1 m m 0 m

Để phương trình có 2 nghiệm phân biệt  m 0

Ta có:  ' m2 1

1

M N

  



    

1 1

M N

  



   



Để khoảng cách từ M đến Oy gấp 2 lần khoảng cách từ N đến Oy  x 2 x

TH1 x M 2 x N  m 1 2m1

1

/ 1

3

m

t m m





  

Th2 Hs tự giải

Kết luận 1; 1

3

m m  …

Câu 4.(3,5 điểm)

Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O bán kính R Đường cao AD, BE cắt nhau tại H, kéo dài

BE cắt đưòng tròn (O;R) tại F

1 Chứng minh rằng tứ giác CDHE nội tiếp được trong một đường tròn

2 Chứng minh rằng tam giác AHF là một tam giác cân

3 Gọi M là trung điểm của cạnh AB Chứng minh rằng ME là tiếp tuyến của đưòng tròn ngoại tiếp tam giác CDE

4 Cho B, C cố định và BCR 3 Xác định vị trí của A trên đường tròn (O; R) để DH.DA lớn nhất

Lời giải

1.Ta có HEEC HD; DC

, , ,

H E C D

 nội tiếp đường tròn đường kính HC

2.Xét ADC và BEC có C chung ; ADCBEC 90

ADC

  đồng dạng với BEC

DAC EBC CAF

   (cùng chắn cung FC)

HAE EAF

AE HF

Mà



 



  AHFcân tại A

3 Ta có tâm đường tròn ngoại tiếp H, E, C, D là I

Chứng minh A,E,D,B nội tiếp đường tròn đường kính AB tâm M MBEMEB ABE ADE

~

ADE ACH

Mà ACHEHC 90 ;EHCHEI ACHHEI  90

4 Chứng minh tương tự câu “ 2”BHKcân tại BHDDK(K AD( )O )

Tứ giác ABKC nội tiếp, DBCAKAD DK BD DC

Để AD DH max BD DC max

Mà BDDC 3R

D là trung điểm BC

A nằm chính giữa cung BC

Câu 5 (0,5 điểm)

Cho hai số dương x,y thoả mãn điều kiện 2xy  4 x y

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P xy 12 12.

Lời giải

2xy   4 x y 2 xy

2 0

     xy2 xy 1 0 xy  2 xy4

2 2 7.4 9

Dấu " " 9 2

4

x

x y

x y







