Bài toán tiếp điểm toán 12 ôn thi THPTQG

Loại 1: Tìm điểm liên quan tới tiếp tuyến VÍ DỤ MINH HỌA Thí dụ 1: Tìm trên đồ thị của hàm số các điểm mà tại đó tiếp tuyến đồ thị vuông góc với đường thẳng.. Tìm trên C hai điểm M, N

BÀI TOÁN TIẾP ĐIỂM Bài toán tổng quát: Cho hàm số y = f(x) có đồ thị (C) Tìm tọa độ điểm M0 ∈ (C) thỏa mãn điều kiện cho trước

Phương pháp:

Bước 1: Giả sử M0 ∈ (C) với y0 = f(x0)

Bước 2: Từ điều kiện cho trước dẫn tới một phương trình (hoặc bất phương trình) theo x0, từ đó suy ra y0 và kết luận về điểm cần tìm

Loại 1: Tìm điểm liên quan tới tiếp tuyến

VÍ DỤ MINH HỌA

Thí dụ 1: Tìm trên đồ thị của hàm số các điểm mà tại đó tiếp tuyến đồ thị vuông góc với đường thẳng

Giải

Tiếp tuyến ∆ tại điểm M có hệ số góc: k1 = y’(x0) = x02 – 1 với y’ = x2 – 1

Đường thẳng d: có hệ số góc

Theo giả thiết:

∆ ⊥ d ⇔ k1.k2 = -1 ⇔ ( ) ( ) ⇔ ⇔ [

Vậy có hai điểm thỏa mãn là ( ) hoặc ( )

Ví dụ 2: Cho hàm số y = x3

– 3x + 2 (C) Tìm tọa độ điểm M thuộc đường thẳng d có phương trình y = -3x + 2 sao cho từ M kẻ được hai tiếp tuyến đến đồ thị (C) và hai tiếp tuyến đó vuông góc với nhau

Giải

Gọi M(a; b) là điểm cần tìm M thuộc d nên b = -3a + 2

Tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm (x0; y0) là:

y= (3x02 – 3)(x – x0) + x03 – 3x0 + 2

Tiếp tuyến đi qua M(a; b) ⇔ - 3a + 2 =(3x02

– 3)(a – x0) + x03 – 3x0 + 2

⇔2x03

– 3ax02 = 0 ⇔ x0 = 0 hoặc x0 =

Có hai tiếp tuyến đi qua M với hệ số góc là:

k1 = f’(0) = -3 và k2 = ( )

Hai tiếp tuyến này vuông góc với nhau

⇔k1.k2 = -1 ⇔ ⇔ √

Vậy có hai điểm thỏa mãn đề bài là: ( √ √ )

Ví dụ 3: Cho hàm số y =x(x2

– 1) (1) Tìm trên (C) hai điểm M, N phân biệt sao cho MN = 2 và các tiếp tuyến với (C) tại hai tiếp điểm M, N là song song với nhau

Giải

Xét 2 điểm M(x1; y1), N(x2; y2) phân biệt trên (C)

Các tiếp tuyến với (C) tại hai tiếp điểm M, N là song song với nhau nên kM = kN

⇔3x12

– 1 = 3x22 – 1 => x1 = -x2 (loại trường hợp x1 = x2 vì M, N phân biệt)

Suy ra M(x1, x13 – x1), N(-x1, - x13 + x1) là đối xứng nhau qua O

Do đó MN = 2 ⇔ OM = 1 ⇔ x12

+ (x13 – x1)2 = 1

⇔x16

– 2x14 + 2x12 – 1= 0 ⇔ x12

= 1

Vậy M(1;0), N(-1;0) là hai điểm cần tìm

Ví dụ 4: Cho hàm số có đồ thị (C) Gọi I là giao điểm hai tiệm cận của (C) Tìm tọa độ các điểm M trên (C) sao cho tiếp tuyến của (C) tại M vuông góc với đường thẳng IM

Giải

Hàm số đã cho ( ) ( )

Xét M(a;b) ∈ (C) => b = 2 - ( )

Hệ số góc của tiếp tuyến với (C) tại M là k1 = y’(a) = ( )

Hệ số góc của IM là

( ) Theo đề =>k1.k2 = - 1 ⇔ (a + 4)4 = 9 ⇔ a + 2 = √

⇔[ √ √

√ √

Vậy các điểm phải tìm là ( √ √ ) ( √ √ )

Ví dụ 5: Tìm hai điểm A, B thuộc đồ thị (C) y = x3

– 3x2 +1 sao cho tiếp tiếp của (C) tại A và B song song với nhau và đồ thị đoạn AB = √

Giải

Giả sử A(a; a3 – 3a2 +1), B(b; b3 – 2b2 + 1) (a ≠ b)

Vì tiếp tuyến của (C) tại A và B song song suy ra

y’(a) = y’(b) ⇔ (a – b) (a + b – 2) = 0

⇔a + b – 2 = 0 ⇔ b = 2 – a =>a ≠ 1 (Vì a ≠ b)

AB2 = (b – a)2 + (b3 – 3b2 +1 – a3 + 3a2 -1)2 = 4(a – 1)6 – 24 (a – 1)4 + 40 (a – 1)2

AB = 4√ ⇔ 4(a – 1)6

– 24(a – 1)4 +40 (a – 1)2 = 32 ⇔ *

=>A(3;1) hoặc B(-1; -3)

Ví dụ 6: Cho hàm số Tìm tọa độ điểm M sao cho khoảng cách từ điểm I(-1; 2) tới tiếp tuyến của (C) tại M là lớn nhất

Giải

Giả sử ( ) ∈ ( ) thì tiếp tuyến tại M có phương trình

( ) ( ) hay (x – x0) – (x0 +1)2

(y – 2) – (x0 + 1) = 0 Khoảng cách từ I(-1; 2) tới tiếp tuyến là:

( ) ( )

√ ( )

( ) ( )

Theo bất đẳng thức Cô si ( ) ( ) , Vậy d √

Khoảng cách d lớn nhất bằng √ khi

( ) ( ) ⇔ ( ) ⇔ [

Vậy có hai điểm M: M(-2; 3) hoặc M(0;1)

Ví dụ 7: Cho hàm có đồ thị (C) Tìm trên (C) những điểm M sao cho tiếp tuyến tại M của (C) cắt hai tiệm cận của (C) tại A, B sao cho AB ngắn nhất

Giải

Lấy điểm ( ) ∈ ( ) Ta có: ( ) ( )

Tiếp tuyến d tại M có phương trình:

( ) ( ) Giao điểm của d với tiệm cận đứng là: ( )

Giao điểm của d với tiệm cận ngang là: B(2x0 – 2; 2)

Ta có: *( ) ( ) + ( ) ( ) √

Dấu “=” xảy ra khi [ ( ) ( )

Vây điểm M cần tìm có tọa độ là: M(2;2)

Ví dụ 8: Cho hàm số có đồ thị (C) Gọi I là giao điểm các đường tiệm cận của (C) Tìm các điểm M trên (C) sao cho tiếp tuyến với (C) tại M cắt các đường tiệm cận của (C) lần lượt tại

A và B sao cho đường tròn ngoại tiếp tam giác IAB có chu vi nhỏ nhất

Giải

Với x0 ≠ 1, tiếp tuyến (d) với (C) tại ( ) có phương trình:

( ) ( )

Đường thẳng d cắt tiệm cận đứng tại A( )

Tam giác IAB vuông tại I nên đường tròn ngoại tiếp tam giác IAB có đường kính là AB

Goi P là chu vi của đường tròn, ta có: P = π.AB

P nhỏ nhất khi và chỉ khi AB nhỏ nhất, ta có:

) √ ( ) ( ) √ Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi:

( ) (

) ⇔ ( ) ⇔ [

Với ta có M(0;0)

Với ta có M(2;2)

Ví dụ 9: Cho hàm số có đồ thị là (C) Gọi H là giao điểm của hai đường tiệm cận của (C) Tìm trên đồ thị (C) cắt hai đường tiệm cận tại A và B thỏa mãn IA2 + IB2 = 40

Giải

TCĐ (d1): x =-1, TCN (d2): y = 2 =>I(-1;2) Gọi ( ) ∈ ( ) ( )

Phương trình tiếp tuyến với (C) tại M: (∆): ( ) ( )

Tọa độ điểm A =(∆) ∩ (d1) là nghiệm của hệ

{ ( ) ( )

( )

Theo giả thiết:

IA2 + IB2 = 40 ⇔ {

( ) ( )

⇔{( ) ( )

⇔x0 = 2 => y0 = 1 =>M(2; 1)

Ví dụ 10: Cho hàm số ( ) Gọi M là một điểm bất kì trên đồ thị (C), tiếp tuyến tại M cắt các tiệm cận của (C) tại A, B Tìm tọa độ điểm M để chu vi tam giác ABI là nhỏ nhất (I là giao điểm của hai tiệm cận)

Giải

Gọi ( ) ∈ ( )

Tiếp tuyến tại M có phương trình: ( ) ( )

Giao điểm với tiệm cận đứng x = -1 là ( )

Giao điểm với tiệm cận ngang y = 2 là B(2a +1; 2)

Giao hai tiệm cận I(-1;2) Ta có ( )

=> √ √ √ √

(PIAB)min = √ √ ⇔ √

Vậy điểm M( √ √ ) thỏa mãn