Vậy giá trị nhỏ nhất của P bằng 21 4 khi a b 2= = Bình luận: nếu không có bđt phụ thứ nhất, ta phải nghĩ đến sdụng bđt Bu-nhia-copxki cho biểu thức dưới dấu căn.. Còn tổng hai biểu thức
Trang 1SƠ LƯỢC CÁCH GIẢI ĐỀ THI TOÁN CHUYÊN BÌNH PHƯỚC 2015-2016
P
2
= − + − − + ÷÷ − ÷÷ Với a>0,a≠1.
1) Rút gọn: ta có: P
a
1
=
2) Đặt Q= −(a a+1).P Chứng minh Q 1>
2
(Cách khác: có thể tách ra rồi sử dụng bđt côsi và xét thấy dấu bằng không xảy ra suy ra Q 1> )
2 Cho phương trình x2−2(m+1)x m+ 2=0 (1) Tìm m để pt có 2 nghiệm x x1 2, thỏa mãn
x m1 2 x2 m
( − ) + = +2 (2)
Pt (1) có hai nghiệm ' 0 m 1
2
∆
⇔ ≥ ⇔ ≥ − Khi đó theo vi-ét ta có: x1+x2=2m+2; x x1 2=m2
Vì x1 là nghiệm của pt (1) nên x12=2(m+1)x m1− 2 thay vào (2) ta được 2x1+x2= +m 2
Từ vi-ét và giả thiết, ta có m m m m
m
2
=
= −
(thỏa mãn)
Vậy
m m
0 1 2
=
= −
thỏa mãn ycbt
3 1) Giải pt (x+1) 2(x2+4)=x2− −x 2 (1)
ĐK: x R∈
Pt (1)
x
x
2
= −
⇔ + + − − = ⇔ ≥ = − ⇔ = −
Vậy pt có cnghiệm x= −1
2) Giải hpt
x x xy y y
x
2
( vế phải của pt (1) ta thường hay gặp trong các bài toán giải hệ pt ta cần chú ý)
ĐK: x y 0 (*)
0
>
⇔ >
Từ pt (1) suy ra
y x
=
− + + ÷÷= ⇔ + + =
+) Với y x= thay vào (2) ta được
( + −3 )(1+ +3 ) 3= ⇔ +1 +3 = + +3 ⇔( + −3 1)( − =1) 0
( nhân hai vế pt với x+ +3 x) ( Ta cũng có thể đặt t= x+ −3 x rồi bình phương hai vế )
Trang 2x x L
x
1
⇔ = ⇔ = ⇒ =
+) Vì x>0;y>0 nên x y
y x
1
Vậy nghiệm của hpt là: ( ) ( )x y; = 1;1
4 Giải pt trên tập số nguyên x2015= y y( +1)(y+2)(y+ +3) 1 (1)
ĐK: y y( +1)(y+2)(y+ ≥3) 0
Pt (1)⇔ x2015− =1 (y2+3y+1)2−1
Đặt: y2+3y+ =1 a a Z( ∈ )
Vì x nguyên nên x2015−1 nguyên, suy ra
a2− =1 k k Z2( ∈ )⇒a2−k2= ⇒ −1 (a k a k)( + = ⇒ =) 1 k 0
y2 y 2
2 2
= ⇒ =
+ + = −
= − ⇒ =
( thỏa mãn)
Vậy pt có 4 nghiệm nguyên ( ) ( ) ( ) (x y ; : 1;0 , 1; 1 , 1; 2 , 1; 3 − − ) ( )−
( Ta thường hay gặp chứng minh biểu thức dưới dấu căn cộng 1 là số chính phương)
6 1) Cho a, b là các số thực dương Chứng minh rằng: (1+a)(1+b) 1≥ + ab
Ta chứng minh bằng phép biến đổi tương đương
2) Cho a, b là các số thực dương thỏa mãn a b ab+ = Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
( Ta cần sử dụng hai bđt phụ sau (1+x)(1+y) 1≥ + xy và
x y x y
1 1+ ≥ 4
+ nhưng phải chứng minh hai bđt này mới được điểm tối đa)
a b
3
2 2
Mặt khác: từ giả thiết, ta có: ab a b= + ≥2 ab⇒ab≥4
Do đó P 7 7.4 21
≥ + = Vậy giá trị nhỏ nhất của P bằng 21
4 khi a b 2= = Bình luận: nếu không có bđt phụ thứ nhất, ta phải nghĩ đến sdụng bđt Bu-nhia-copxki cho biểu thức dưới dấu căn Còn tổng hai biểu thức nghịch đảo thì quá rõ, sau đó dùng ppháp dồn biến)
Cách 2:
Trang 3a b a b
Mặt khác: từ giả thiết, ta có: a b ab (a b)2 a b 4
4
+
Do đó P 13 29(a b) 13 29.4 21
Vậy giá trị nhỏ nhất của P bằng 21
4 tại a b 2= =
Cách 3:
Ta có a b ab+ = ⇒ −(a 1)(b− =1) 1
Đặt a− = ⇒ = +1 x a x 1;b− = ⇒ = + ⇒1 y b y 1 x y =1
a a b b
a2 a b2 b
( 1)( 3) ( 1)( 3)
3.1 3.1 29.2 xy 43 21
Vậy giá trị nhỏ nhất của P bằng 21
4 tại x y 1= = ( Các bạn hãy suy nghĩ cách giải khác nữa nhé!)
5 Cho tam giác ABC nhọn (AB AC< ) nội tiếp trong đường tròn tâm O, bán kính R Gọi H là
trực tâm của tam giác ABC Gọi M là trung điểm của BC
1) Chứng minh rằng: AH 2OM=
2) Dựng hình bình hành AHIO Gọi J là tâm Đường tròn ngoại tiếp tam giác OBC Chứng
minh rằng: OI OJ =R2
3) Gọi N là giao điểm của AH và đường tròn tâm O (N khác A) Gọi D là điểm bất kỳ trên
cung nhỏ NC của đường tròn tâm O (D kác N và C ) Gọi E là điểm đối xứng với D qua AC, K
là giao điểm của AC và HE Chứng minh rằng: · ACH ADK.=·
Quá trình làm và đánh máy không tránh khỏi sai sót, độc giả tự chỉnh sửa!
Tiếp tục cập nhật!