Xác định x, y để P có giá trị nhỏ nhất... Trong quá trình giải và đánh máy không tránh khỏi thiếu sót, mong các bạn thông cảm!.
Trang 1Câu lạc bộ gia sư Đồng Xoài 0985.767.113
HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ THI TOÁN CHUYÊN QUANG TRUNG + BÌNH LONG 2014
Câu 1 (2,0đ) Cho biểu thức
P
x y
= + ÷÷ + +
a) Tìm ĐKXĐ và rút gọn P
b) Cho xy=16 Xác định x, y để P có giá trị nhỏ nhất.
a) ĐKXĐ: x x y>0;y0>0 x y>00
⇔
+ ≠ >
Khi đó, rút gọn P ta có: P x y
xy
+
=
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x= =y 4
Vậy x= =y 4 thì P đạt GTNN.
Câu 2 (2,0đ)
a) Giải phương trình: 2 5
4
x x
x
+ =
+
ĐK: x≠ −4
0
x= không phải là nghiệm của phương trình nên pt tương đương với
Đặt: y= +(x 2) ; (2 y≥0) phương trình trở thành 5 2 4 5 0 1 ( )
5 ( ) 4
y
= −
= − ⇔ − − = ⇔ =
+ = = − +
= ⇒ + = ⇔ ⇔
+ = − = − −
Vậy tập nghiệm của pt đã cho là: S = − +{ 2 5; 2− − 5}
Trang 2Câu lạc bộ gia sư Đồng Xoài 0985.767.113
b) Giải hệ phương trình:
− − + + =
+ + + =
• ĐK: 0
x y
x y
+ ≥
+ ≥
• (1) ( 2 )( 1) 0 2
1
y x
= −
⇔ + − − = ⇔ = +
• TH1: y= −2x thế vào pt (2) ta được − +x x =2 vì x= 0 không phải là nghiệm nên
pt vô nghệm
2x+ +1 4x+ = ⇔1 2 6x+ +2 2 8x +6x+ =1 4
2
1 1
0
12
x
x
x
≤
− ≥
⇔ + + = − ⇔ + + = − ⇔ ⇔ = ⇔ = ⇒ =
− =
=
Đối chiếu với đk, ta được 0
1
x y
=
=
Kết luận: Vậy hpt có 1 nghiệm là ( ; ) (0;1)x y =
Câu 3 (1,0đ) Cho pt: 2 2
x − m− x m+ + m− = (1) Tìm m để pt có hai nghiệm x x1, 2 thỏa mãn: ( )2
x + + mx − =
Giải:
Pt có hai nghiệm 0 5 6 0 6 ( )
5
⇔ ∆ ≥ ⇔ − + ≥ ⇔ ≤ ∗
Khi đó x1+ =x2 2m−2 (1)
Vì x1 là nghiệm của pt (1) nên 2 2
Ta có: 2
1 2 1 2 2 1 0
Từ (2) và (3) suy ra 2
1 2
Thế x1+ =x2 2m−2 vào ta được 2
1 ( )
( ) 3
=
− + = ⇔
=
Vậy m=1 thỏa mãn yêu cầu bài toán
Trang 3Câu lạc bộ gia sư Đồng Xoài 0985.767.113
Câu 5 (1,0đ) Giải pt trên tập số nguyên: 2 2
x + y + xy+ y− =
⇔ + = − − + ⇒ − − + ≥ ⇒ − ≤ ≤
{ 4; 3; 2; 1;0;1}
y
⇒ ∈ − − − −
• y= − ⇒ −4 (x 4)2 = ⇒ =0 x 4
1
x
x
=
= − ⇒ − = ⇒ =
• y= − ⇒ −2 (x 2)2 =6( )l
• y= − ⇒ −1 (x 1)2 =6 ( )l
• y= ⇒0 x2 = ⇒ = ±4 x 2
• y= ⇒ +1 (x 1)2 = ⇒ = −0 x 1
Vậy có 6 nghiệm nguyên ( ; )x y là: { (4; 4 , 5; 3 , 1; 3 , 2;0 , 2;0 , 1;1− ) ( − ) ( − ) ( ) (− ) (− ) }
Câu 6 (1,0đ) Cho a, b là hai số thực dương thỏa a b+ ≥2 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
2 2
= + + +
Lời giải 1:
≥ + + + − = + ÷ + + ÷+ + −
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a b= =1
Vậy GTNN của P bằng 4 tại a b= = 1
Lời giải 2:
a b
a b
a b
+ +
+ +
+ +
+ +
+ +
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a b= =1
Vậy GTNN của P bằng 4 tại a b= = 1
Trang 4Câu lạc bộ gia sư Đồng Xoài 0985.767.113
Lời giải 3:
Ta có:
= + + + = + ÷ + + ÷+ +
Ta có:
2 5 5
5
a
2
4
b
b
+ ≥
2 2
a b
5 5 3
4
4 4 2
P
⇒ ≥ + + =
Vậy GTNN của P bằng 4 tại a b= = 1
Tiếp tục cập nhật câu 4…
Trong quá trình giải và đánh máy không tránh khỏi thiếu sót, mong các bạn thông cảm!