Trên cùng nửa mặt phẳng bờ BC kẻ hai tia Bx và Cy cùng vuông góc với BC.. Qua A kẻ đường thẳng vuông góc với AM cắt Bx và Cy lần lượt tại P và Q.. Tìm vị trí điểm H trên đoạn thẳng BC đ
Trang 1UBND HUYỆN NGHĨA ĐÀN
PHÒNG GD & ĐT
ĐỀ THI HSG CẤP HUYỆN
Năm học 2013 – 2014 Môn thi: Toán 9
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Bài 1: ( 4.0 điểm)
a) Rút gọn biểu thức: A = 16 − 31 − 16 + 31 + 2
b) Tính giá trị của biểu thức: B = sin220+sin230+…+sin2880
Bài 2: ( 6.0 điểm)
1)Chứng minh rằng với mọi số nguyên a và b ta có: a3 + 5aM 6
2) Giải các phương trình:
a) x− + 1 x+ = 2 3
b) x2 + 1 = 2 2x− 1
Bài 3 : ( 4.0 điểm )
a)Cho x > 0; y > 0 và x + y ≥ 6 Tìm GTNN của biểu thức:
P = 5x 3y 12 16
b) Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình : 2 2
6 44
x −y = y+ c) Cho ba số thực a, b, c > 0 thỏa mãn a + b + c = 2013
a + 2013a + bc b + 2013b + ca c + 2013c + ab ≤ Dấu đẳng thức xảy ra khi nào?
Bài 4 : ( 6.0 điểm )
Cho tam giác ABC vuông tại A, có trung tuyến AM, đường cao AH Trên cùng nửa mặt phẳng bờ BC kẻ hai tia Bx và Cy cùng vuông góc với BC Qua A kẻ đường thẳng vuông góc với AM cắt Bx và Cy lần lượt tại P và Q Chứng minh :
a) AP = BP và AQ = CQ
b) PC đi qua trung điểm I của AH
c) Khi BC cố định, BC = 2a, điểm A chuyển động sao cho ·BAC= 90 0 Tìm vị trí điểm
H trên đoạn thẳng BC để diện tích tam giác ABH đạt giá trị lớn nhất, tìm giá trị lớn nhất đó
Lưu ý: Đối với thí sinh bảng B không phải làm câu 3c
-Hết -ĐỀ CHÍNH THỨC
Trang 2HD CHẤM
TOÁN 9
A
Bảng B
1
A
2,0
5 3 5 48 10 2 3 5 3 5 5 3
5 3 25 5 3 5
0,
B
2,0
Ta biết: Với 0 < α< 900
Ta có sinα=cos(900-α), sin2α + cos2α =1
C = sin220+sin230+…+sin2880
C = (sin220+sin2880)+ +(sin2440+sin2460)+sin2450
C = (cos2880+sin2880)+ +(cos2460+sin2460)+sin450
C = 1+1+ +1+1
2=43 1 87
2 2 + =
2
1
2,0
Ta có a3 + 5 a a = 3 − + a 6 a a a = ( − 1)( a + + 1) 6 a
Ta có tích 3 số nguyên liên tiếp chia hết cho 6 nên:
Mà 6aM 6
Vậy a3 + 5 6 a M
2
4,0
a) ĐKXĐ: x≥1 Ta có
4 ( 1)( 2) 4
2( )
x
≥
Vậy: Phương trình có nghiệm là x =2
b)Phương trình: x2 + 1 = 2 2x− 1 ĐK: x≥
2 1
) ( 1 )
( 0 2 1 2
0 1 2
0 ) 2 1 2 )(
1 2 (
0 ) 1 1 2 1 )(
1 1 2 1 (
0 ) 1 1 2 ( ) 1 (
0 1 1 2 2 ) 1 2 ( 1 2
1 2 2 1
2 2
2 2
tm x vônghiêm x
x
x x
x x x x
x x
x x
x x
x x
x x
x x
=
⇒
= +
− +
=
−
−
⇔
= +
− +
−
−
⇔
= +
− + +
−
−
− +
⇔
= +
−
− +
⇔
=
−
−
−
−
− + +
⇔
−
= +
Phương trình có nghiệm: x = 1
C
Trang 30,25 0,25
0,25 0,25 0,25 0,25
0,25
0,25 0,25
0,25 0,25 0,25 0,25
3
A
1,5
với a,b,c >1 Ta có:
16 8 1
1 ).
1 ( 2 4
8 1
4 ) 1 ( 4
1
4 ) 1 ( 4 1
4 ) 4 4 ( 1
= +
−
−
≥
+
− +
−
=
− + +
=
−
+
−
=
−
a a
a a
a
a a
a a
a
Vậy giá trị nhỏ nhất của: M = 16 khi a =2
0,75 0,25 0,25 0,25
0,75 0,25 0,25 0,75
B
1,5
2 2 6 44 2 ( 2 6 9) 35
x −y = y+ ⇔x − y + y+ =
(x y 3)(x y 3) 35
Vì x, y, z nguyên dương nên x+y+3 ≥ 5 , x y+ + > − − 3 x y 3 nên từ (*) ta
có các trường hợp sau:
x + y + 3 = 35 (1) x + y + 3 = 7 (2)
x - y - 3 = 1 x - y - 3 = 5
Thiếu mỗi trường hợp trừ 0,5 điểm
0,5 0,25 0,25 0,25 0,25
0,5 0,5 0,5 0,25 0,25
C
1,0
Ta có 2013a + bc=(a + b + c)a + bc =a 2 + ab + ac + bc = a 2
+bc + a(b + c)
Theo BĐT cô si cho hai số dương ta có : a 2 + bc ≥ 2a bc Từ
đó
a 2 + bc + a(b + c) ≥ 2a bc +a(b + c) = a(b + c + 2 bc ) = a(
b+ c ) 2
Vậy:
2013
(1)
Chứng minh tương tự ta được
2013
2013
Cộng từng vế của (1); (2); (3) ta được
0,25
0,25
0,25 0,25
Trang 4Dấu “=” xảy ra
2 2
2013
a b c
a b c
=
=
=
+ + =
4
0,5 0,5
a
2,5
Do Tam giác ABC vuông tại A nên: MA = MB = MC
Từ đó các cặp tam giác vuông sau bằng nhau:
∆PBM =∆PAM và ∆QAM =∆QCM ( canh huyền-cạnh góc vuông) ⇒ PA = PB, QA = QC
0,75 0,75 0,5 0,5
0,75 0,75 0,75 0,75
Trang 52,0
Ta có: ∆BPH ~∆CQH( ∠B=∠C=900 và ∠BPH =∠CHQ)
Từ đó: BP.CH = BH.QC (*)
Gọi giao điểm PC và AH là I
Có: AH // BP//CQ(cùng vuông BC)
⇒
BC
BH PC
PI CQ
AI và CB
CH PB
⇒HI =
CB
CH PB.
vàAI
BC
BH CQ.
Từ (*) và (**) thì : HI = AI hay PC đi qua trung điểm AH
0,5 0,25 0,25
0,25 0,25 0,25 0,25
0,5 0,5 0,5
0,25 0,25 0,25 0,25
c
1,0
Ta có : S AHB = 1 .
2AH MH
4
ABC
Lại có ∆AMB vuông tại M có MH là đường cao
⇒ = ( Hệ thức trong tam giác vuông)
AMH
Áp dụng BĐT cô si cho 4 số dương:
Ta có
4 4
4 ( ) ( ) 1
AB
Suy ra: 2 27 3 6 2
⇒ Giá trị nhỏ nhất của 3 6 2
4
AMB
S = cm khi AH = 3 HB hay AH = 3cm
0,25
0,25
0,25 0,25
Chú ý: Thí sinh làm theo cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa.