Cho tam giác đều ABC nội tiếp đường trong O;R.. Gọi M là một điểm bất kỳ thuộc cung nhỏ BC.. Chứng minh rằng MD.MA MB.MC có giá trị không đổi khi M di chuyển trên cung nhỏ BC.. ĐỀ CHÍNH
Trang 1PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN ĐOAN HÙNG
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN VÒNG 2 NĂM HỌC 2014 - 2015
MÔN: TOÁN
Ngày thi: 23 tháng 12 năm 2014
Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề )
Đề thi có 01 trang
Câu 1: (3,0 điểm)
a) Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình: 2 2
y = x + + x 6 b) Cho số 155*710* 4*16 có 12 chữ số Chứng minh rằng nếu thay các dấu * bởi các chữ số khác nhau trong ba chữ số 1, 2, 3 một cách tùy ý thì số đó luôn chia hết cho 396
Câu 2: (4,0 điểm)
a) Cho a, b là các số thực thỏa mãn a 2 + b 2 = 2 Chứng minh rằng:
a + 8b + b + 8a = 6 b) Cho x, y, z là ba số thực tùy ý thỏa mãn:
x y z 0
1 x; y;z 1
+ + =
Chứng minh rằng: 2 4 6
x + y + ≤ z 2 Dấu “=” xảy ra khi nào?
Câu 3: (4,0 điểm)
a) Giải phương trình: 3
x + 3x 4 3x − = 7 4 3x 3x − − b) Giải hệ phương trình:
9 y y x y
x y x y 9 4
y 2 x
y x 2
− + =
Câu 4: (7,0 điểm)
1 Cho tam giác đều ABC nội tiếp đường trong (O;R) Gọi M là một điểm bất
kỳ thuộc cung nhỏ BC
a) Chứng minh rằng: MA MB MC = +
b) Gọi D là giao điểm của MA và BC Chứng minh rằng MD.MA
MB.MC có giá trị không đổi khi M di chuyển trên cung nhỏ BC
c) Tính tổng MA 2 + MB 2 + MC 2 theo R
2 Cho I là tâm đường tròn nội tiếp tam, giác ABC có diện tích S = 336 và nửa chu vi p Chứng minh rằng: IA IB IC 2016
p
+ + ≥ Dấu “=” xảy ra khi nào?
Câu 5: (2,0 điểm)
Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn xyz 1 = Chứng minh rằng:
1
x y 1 y z 1 z x 1 + + ≤
Họ và tên thí sinh: SBD:
ĐỀ CHÍNH THỨC