Qua M kẻ 2 tiếp tuyến MA, MB tới đường tròn.. Chứng minh OK.OH = OI.. Chứng minh E là tâm đường tròn nội tiếp tam giác MAB.. Tìm vị trí của M trên đường thẳng d để diện tích tam giác OIK
Trang 1PHÒNG GD&ĐT THANH OAI ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 NĂM HỌC 2014 - 2015
Môn: Toán
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Đề thi gồm có: 01 trang
Câu 1: (6 điểm)
a Rút gọn A
2 Cho n là số nguyên dương và n lẻ CMR:
1947
Câu 2: (4 điểm)
Giải phương trình
3 x 2 x 2 x 3 x 2 x 3
x2 − + + + = − + 2 + −
b ) Cho a, b, c là 3 số từng đôi một khác nhau và thoả mãn:
a + b + c = 0
b - c c - a a - b
(b - c) (c - a) (a - b)
Câu 3: (3 điểm)
a) T×m nghiÖm nguyªn cña ph¬ng tr×nh
1 + x + x2 + x3 = y3
b) Cho a,b,c lµ c¸c sè d¬ng vµ a+b+c=1
T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc A= a3 +b3 +c3
Câu 4: (6 điểm)
Cho đường tròn (O; R) và đường thẳng d không có điểm chung với đường tròn Gọi M là điểm thuộc đường thẳng d Qua M kẻ 2 tiếp tuyến MA, MB tới đường tròn Hạ OH⊥d tại H Nối AB cắt OH tại K, cắt OM tại I Tia OM cắt đường tròn (O; R) tại E
a Chứng minh OK.OH = OI OM
b Chứng minh E là tâm đường tròn nội tiếp tam giác MAB
c Tìm vị trí của M trên đường thẳng d để diện tích tam giác OIK có diện tích lớn nhất
Câu 5: (1 điểm)
Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình:
(x + y)4 = 40y + 1
Hết
-Lưu ý: Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm!
ĐỀ CHÍNH THỨC
Trang 2PHÒNG GD&ĐT THANH OAI HƯỚNG DẪN CHẤM THI CHỌN HSG LỚP 9 NĂM HỌC 2014 - 2015
Môn: Toán
Câu 1: (6 điểm)
1 a) ĐK: x 0; x 1
Rút gọn A =
b) Lập phương 2 vế tính x = 2
Thay vào A: => A = = … = 3-2
2 Ta có: 46n + 296.13n = 46n - 13n + 297.13n
= 46n - 13n + 9.33.13n
= (46-13).(…) + 9.33.13n
= 33 (…) + 9.33.13n 33
Lại có: 46n + 296.13n = 46n + 13n +295.13n = (46n +13n) + 5.59.13n
= (46+13) (…) + 5.59.13n
= 59.(…) + 5.59.13n 59
Mà (13; 39) = 1 Nên từ và => 46n + 296.13n 33.59 = 1947 (đpcm)
0.5 2
1 0.5
0.25 0.25
0.25 0.25 0.25 0.25 0.5
Câu 2: (4 điểm)
a,(2đ)
a, x2 − 3 x + 2 + x + 3 = x − 2 + x2 + 2 x − 3(1)
0 3 x 2 x
0 3 x
0 2 x 3 x
2
2
≥
⇔
≥
− +
≥ +
≥ +
−
(1) ⇔ + = +
Đặt:
≥
= +
≥
=
−
≥
=
−
0 c 3 x
0 b 2 x
0 a 1 x
(1) ⇔ a.b + c = b + a.c
⇔ a(b - c) - (b - c) = 0
0,25 0,5 0,25
0,5
Trang 3⇔(a - 1)(b - c) = 0 ⇔
=
= c b
1 a
Với a = 1 ⇒ x − 1 = 1 ⇔ x - 1 = 1 ⇔ x = 2 (thoả mãn đk) Với b = c ⇒ x − 2 = x + 3 ⇒ x - 2 = x + 3 ⇒ 0x = 5 vô nghiệm
Vậy phương trình (1) có nghiệm x = 2
b) Từ giả thiết ta có:
( ) ( )
a b c ab - b - ac + c
= - =
b - c a - c a - b a - b a - c
Nhân 2 vế của đẳng thức với 1
b - c ta có: ( ) ( ) ( ) ( )
2
a ab - b - ac + c =
a - b a - c b - c
b - c
Vai trò của a, b, c như nhau, thực hiện hoán vị vòng quanh giữa a, b, c ta có:
( ) ( ) ( ) ( )
2
b cb - c - ab + a =
a - b a - c b - c
2
c ac - a - bc + b =
a - b a - c b - c
a - b
(b - c) (c - a) (a - b)
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
Câu 3: (3 điểm)
Bµi 3: (3®iÓm)
a (1,5d) Giải: Ta có x2+x+1=(x+1
2)2 +3
4>0 5x2+11x+7=5(x+11 2 19
)
10 +20 >0 Nên(1+x+x2+x3)-(1+x+x2)<1+x+x2+x3<(1+x+x2+x3)+(5x2+11x+7)
⇔x3<1+x +x2+x3<(x+2)3 hay x3<y3<(x+2)3 Do đó y3=(x+1)3
=>(x+1)3=1+x+x2+x3⇔x(x+1)=0 ⇔ 0
1
x x
=
= −
*x=0=>y=1
*x=-1=>y=0
Vậy nghiệm nguyên của PT là : (0;1), (-1;0)
b) (1,5®)
3
a
3 27
a
a
;
0,25® 0,25® 0,5®
0,5®
0,5®
0,5®
Trang 4⇒a3 +b3 +c3 1( ) 2 1 2 1
9
3
9⇔ = = =a b c 3
0,5®
Bài 4
(6 đ)
a)
( 2 điểm)
d
+ Chứng minh được : OM ⊥ AB I ≡
+ Chứng minh : OI OK
OK.OH OI.OM
b)
( 2điểm ) + Tia MI là tia phân giác: ·AMB (1)
+
¶ µ
0
1 1
A E 90
A OAE 90
E OAE
+ =
=
2
A + OAE 90 = ⇒ A ¶ 1= A ¶ 2
⇒AE là tia phân giác ·MAB (2)
0,25 1,25 0,25 + Từ ( 1) và ( 2) ⇒ E là tâm đường tròn nội tiếp ∆ MAB 0,25 c)
(2 điểm ) + Chứng minh trong ∆ OAM: OI OM = OA2 = R2
+ Lập luận có: OK.OH OI.OM =
⇒
2
OK.OH OI.OM R OK
OH
= = ⇒ = , Lập luận ⇒K cố định
0,25 0,25 0,25
A
M
H B
N J
E I
1 2
1
1 2
Trang 5+ Gọi IN là đường cao của∆ OIK và J là trung điểm của ON 0,25
IN.OK
2
+ Lập luận ∆ OMH vuông cân ⇒ MH HO = Kết luận…… 0,25
Câu 5: (1 điểm)
Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình:
(x + y)4 = 40y + 1 (1)
Vì x≥1,y≥1 nên (1) viết được dưới dạng:
y x
y y
x
+
+
=
Chứng minh được
2(x + y)2 ( )
y x
y y
x
+
+
= +
< 40 40 =40
+
+
y x
x y
Suy ra 2(x + y)2 < 20 suy ra x + y < 4
Đồng thời x + y là ước của 40y + 1 là số lẻ nên x + y lẻ
⇒ x + y = 3
⇒ 40y + 1 = 34 = 81 ⇒ y = 2 ⇒ x = 1.
Vậy (x,y) = (1;2)
0,5đ
00,5đ
Hết