PHÒNG GD & ĐT THANH CHƯƠNG ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN.. Giải các phương trình a... HƯỚNG DẪN CHẤM THI HSG KHỐI 9.. MÔN: TOÁNBản hướng dẫn chấm gồm có 02 trang 1.. os cotan .sin + Giá
Trang 1PHÒNG GD & ĐT THANH CHƯƠNG ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN VÒNG 2
NĂM HỌC: 2012 – 2013. Môn thi: TOÁN 9
Thời gian: 120 phút (Không kể thời gian giao đề)
Bài 1: (2.0 điểm ) Rút gọn các biểu thức sau:
( ) 1 1
= − − − ÷ − − ÷÷
a Rút gọn P.
b Tính giá trị của P khi x= −7 4 3.
c Chứng minh: P>1
Bài 2: (2.0 điểm) Giải các phương trình
a Cho 0< <x 90o Chứng minh giá trị biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị của biến:
sin6x+ c os6x+ 3sin os2x c 2x + tan os2 x c 2x + cotan sin2x 2x
b Tìm các nghiệm nguyên của phương trình: 2 2
2x +3y +4x=19
Bài 3: (2.0 điểm)
a Cho các số nguyên dương: a a a1; ; ; ;2 3 a2013 sao cho:
N = a a1+ + + +2 a3 a2013 chia hết cho 30.
Chứng minh: M = a15+ + + + a25 a35 a20135 chia hết cho 30.
b Cho x y; thỏa mãn: x2+y2−2x−4y≤0 Chứng minh: x+2y≤10
Bài 4: ( 2,5 điểm)
Cho hình vuông ABCD cạnh a Trên cạnh AB lấy điểm N, CN cắt đường thẳng
DA tại E Đường thẳng qua C vuông góc CN tại C cắt đường thẳng AB tại F Diện tích
tứ giác ACFE là 3 a 2
a Chứng minh: N là trung điểm AB.
b Tính CF theo a
Bài 5: (1,5 điểm)
Cho đường tròn cố định (O; R) đi qua đoạn thẳng BC cố định Điểm M di chuyển trên đường tròn (O), M không trùng với B; C Gọi G là trọng tâm tam giác MBC Chứng minh rằng điểm G di động trên một đường tròn cố định.
Hết./.
Họ và tên thí sinh……… ……….SBD………….…………
ĐỀ CHÍNH THỨC
(Đề gồm 1 trang)
Trang 2HƯỚNG DẪN CHẤM THI HSG KHỐI 9 MÔN: TOÁN
Bản hướng dẫn chấm gồm có 02 trang
1.
2.0
a
1,0
ĐK: x≥0; x≠1
= − − − ÷ − − = −÷÷ − ÷÷ − ÷÷
−
0.25x4
b
0.5
3
P
0.25 0.25
c.
0.5
x x
Dấu “=” xẩy ra khi: x 1 x 1
x
= ⇔ = ; mà x=1không thuộc TXĐ Vậy P>1
0.25
0.25
2.
2.0
2a.
1.0
1 1 2
sin os 3sin os tan os cotan sin
+
Giá trị biểu thức bằng 2 không phụ thuộc giá trị của x
0.25x4
2b.
1.0
2x +3y +4x=19⇔2(x +2x+ =1) 3(7−y )⇔2(x+1) =3(7−y )
⇔ − M⇔ − M⇔ ylà số nguyên lẻ
2 x−1 ≥ ⇔ −0 7 y ≥ ⇔0 y =1
HS tìm y rồi thay vào tìm x để tìm ra các cặp nghiệm: (2; 1); (2; -1);
(-4; 1); (-4; -1)
0.25
0.25 0.25 0.25
3.
2.0
3a.
1.0
1 1 1( 1 1)( 1 1)( 1 1)
a − =a a a − a + a + chia hết cho 6 vì có tích 3 số tự nhiên liên tiếp
- HS lập luận: a15− =a1 a a1( 1−1)(a1+1)(a12+1) chia hết cho 5 (Chia các trường hợp để xét: a1=5 ;k a1 =5k±1; a1=5k±2)
Mà (5; 6) = 1 nên 5
1 1 30
1 a 2 a 3 a 2013 a 30
Hay a15+ + + + a25 a35 a20135 - a a1+ + + +2 a3 a2013M30 ⇔M N− M30 Theo giả thiết: NM30⇔MM30
0,25
0.25
0.5
3b.
1.0
x +y − x− y≤ ⇔ x − x+ +y − y+ ≤ ⇔ −x + −y ≤ Vận dụng BĐT Bunhiacopski ta có:
0,25 0,5 0.25
Trang 31,5đ
F
E
N
B A
Gọi độ dài BN = b ( Với 0 < b < a)
C/m được: ∆CBF = ∆CDE (g-c-g) ⇒ CF = CE
2
2S ACFE 2(S EAC S ECF) EA CD CE CF a EA CE
+ Suy ra: DE = EA + AD = a a b( )
b
− + a
Áp dụng định lý Py ta go vào DEC∆ ta có CE2 = CD2 +DE2 = a2 +
4 2
a
b (3)
Từ (1),(2),(3) suy ra
2SACEF =
2( )
a a b b
− +
2 2 4 2
b
2
a a b b
+
=
Do đó SACEF = 3SABCD <=>
3 2
2
a a b b
+ = 3a2
<=> a2 +ab -6b2 = 0 HS lập luận giải: a = 2b
Vậy điểm N trung điểm của AB
0,5
0,5
0,5
4b
1,0
Theo c/m trên: CF = CE mà theo (3) CE2 = a2 +
2
2
5 1 4
5
CF a=
0,5x2
5.
1,5
Lấy N trung điểm BC Trên NO lấy H sao cho 1
3
NH = NO (1)
(O) cố định, BC cố định nên H cố định
Theo tính chất trọng tâm: 1
3
NG= NM (2)
H cố định 1
3
Vậy G chạy trên đường tròn (H; R/3)
0.5 0.25
0,25
0,5
N M