Bài 51 : Bạn hãy khôi phục lại những chữ số bị xóa để lại vết tích của mỗi chữ số là một dấu * để phép toán đúng.. Chứng minh : trọng tâm của tam giác ABC nằm trong tam giác AMN.. Một đư
Trang 1TRUNG TÂM GIÁO DỤC THƯỜNG XUYÊN
TUYỂN TẬP CÁC BÀI TOÁN THI GIẢI TOÁN QUA THƯ
TRONG BÁO TOÁN TUỔI THƠ 2
Biên soạn : Đồng Thái Lâm
Phòng Đào tạo
Trang 2Bài 1(1) : Cho các số a1, a2, a3, , a2003 Biết rằng :
2
3k 3k 1 a
k k
+ +
=
+ với mọi k = 1, 2, 3, , 2003 Tính tổng a1 + a2 + a3 + + a2003
Bài 2(1) : Cho A = 1 - 7 + 13 - 19 + 25 - 31 +
a) Biết A có 40 số hạng Tính giá trị của A
b) Biết A có n số hạng Tính giá trị của A theo n
Bài 3(1) : Cho tam giác ABC cân tại A, góc BAC = 40o , đường cao AH Các điểm E, F theo thứ tự thuộc các đoạn thẳng AH, AC sao cho ∠EBA = ∠FBC = 30o Chứng minh rằng : AE =
AF
Bài 4(1) : Cho 6 số tự nhiên a1, a2, a3, a4, a5, a6 thoả mãn : 2003 = a1 < a2 < a3 < a4 < a5 < a6 1) Nếu tính tổng hai số bất kì thì được bao nhiêu tổng?
2) Biết rằng tất cả các tổng trên là khác nhau Chứng minh a6 ≥ 2012
Bài 5(1) : Bạn hãy khôi phục lại những chữ số bị xóa (để lại vết tích của mỗi chữ số là một dấu (*) để phép toán đúng
Bài 1(2) : Tìm tất cả các số chính phương có dạng abcba
Bài 2(2) : Tìm hai số hữu tỉ a và b, biết rằng : a - b = 2.(a + b) = 3.a/b
Bài 3(2) : Cho tam giác ABC Các điểm M, N theo thứ tự thuộc các cạnh AB, AC sao cho diện tích tam giác AMN bằng một nửa diện tích tam giác ABC (M ≠ B ; N ≠ C) Chứng minh : trọng tâm của tam giác ABC nằm trong tam giác AMN
Bài 4(2) : Giải phương trình x2 + 2x + 3 = (x2 + x + 1)(x4 + x2 + 4)
Bài 5(2) : Tìm x, y để biểu thức
A= x +2y −6x 4y 11+ + + x +3y +2x 6y+ + 4
đạt giá trị nhỏ nhất
Bài 1(3) : Tìm tất cả các cặp số nguyên không âm (x, y) sao cho :
x - y = x2 + xy + y2
Bài 2(3) : Cho x, y, z > 0 Chứng minh rằng :
4(xy yz zx)+ + ≤ (x y)(y z)(z x)+ + + x y+ + y z+ + z x+
Bài 3 (3) : Trên một bàn cờ hình vuông gồm 9 ô vuông nhỏ có 2 con mã trắng đứng ở hai góc bên trên và 2 con mã đen đứng ở hai góc bên dưới (xem hình dưới)
Hỏi rằng có thể đổi chỗ 2 con mã đen lên vị trí 2 con mã trắng nhưng một cách tương ứng : Con mã đen góc trái lên vị trí trên góc trái và con mã đen góc phải lên vị trí trên góc phải, còn
2 con mã trắng thì xuống vị trí tương ứng ở bên dưới hay không ? Biết rằng chỉ được dẫn các con mã đi theo luật đi được quy định của bàn cờ mà thôi
Trang 3Bài 4(3) : Cho tam giác ABC Một đường tròn đi qua A, tiếp xúc với đường thẳng BC tại một điểm T thuộc đoạn BC và cắt các đoạn AB, AC theo thứ tự tại E, F
Chứng minh rằng : EF/BC = (TE.TF) / (TB.TC)
Bài 5(3) : Giải hệ phương trình :
6(x - 1/y) = 3(y - 1/z) = 2(z - 1/x) = xyz - 1/(xyz)
Bài 1(4) : Cho số :A 111 111*333 333=
gồm 2003 chữ số 1 ở bên trái dấu * và 2003 chữ số 3 ở bên phải dấu * Hãy thay dấu * bằng chữ số nào để được một số chia hết cho 7
Bài 2(4) : Cho a, b, c là 3 số thỏa mãn điều kiện :
2002 2002 2002
2003 2003 2003
a b c
a b c
1
+ + =
⎪
⎨ + + =
⎪⎩
Tính tổng : a2001 + b2002 + c2003
Bài 3(4) : Cho x, y, z là các số thực không âm bất kì, chứng minh :
x (x - z)2 + y (y - z)2 ≥ (x - z)(y - z)(x + y - z)
Bài 4(4) : Cho ∆ABC nhọn, ba đường cao AD, BE và CF cắt nhau tại H Qua A vẽ các đường thẳng song song với BE, CF lần lượt cắt các đường thẳng CF, BE tại P và Q Chứng minh rằng PQ vuông góc với trung tuyến AM của ∆ABC
Bài 5(4) : Cho tam giác ABC vuông tại A M là điểm bất kì Chứng minh rằng :
MB2/AB2 + MC2/AC2 ≥ 1
Khi nào xảy ra đẳng thức
Bài 1(5) : Biết rằng : |a + b + c| ≤ 1 ; |c| ≤ 1 ; |a/4 + b/2 + c| ≤ 1
Chứng minh : |a| + |b| + |c| ≤ 17
Bài 2(5) : Phân số Ai Cập
Biểu diễn phân số 1/2 dưới dạng tổng của 3 phân số dương có tử số bằng 1 Có bao nhiêu cách ?
Bài 3(5) : So sánh A và B biết :
A = (20032002 + 20022002)2003 B = (20032003 + 20022003)2002
Bài 4(5) : Tam giác ABC có E là trung điểm cạnh BC sao cho ∠ EAB = 15o , ∠ EAC = 30o Tính ∠ C
Bài 5(5) : Cho hai tam giác đều ABC, A1B1C1 bằng nhau và chồng lên nhau sao cho phần giao của chúng là một lục giác mà ta kí hiệu là MNPQRS
Chứng minh rằng : MN + PQ + RS = NP + QR + SM
Bài 1(6) : Cho a, b là các số nguyên dương thỏa mãn p = a2 + b2 là số nguyên tố, p - 5 chia hết cho 8 Giả sử các số nguyên x, y thỏa mãn ax2 - by2 chia hết cho p Chứng minh rằng cả hai số
x, y chia hết cho p
Bài 2(6) : Cho hình lập phương Người ta gắn cho 8 đỉnh của nó bắt đầu từ đỉnh A, đi theo chiều mũi tên, 8 số tự nhiên liên tiếp và thực hiện : mỗi lần cộng vào 4 đỉnh của một mặt cùng với một số nguyên nào đó Hỏi sau bao nhiêu lần thực hiện như vậy thì ta được 8 số ở 8 đỉnh bằng nhau ?
Bài 3(6) : Cho ba số a, b, c thoả mãn hệ 2 2 2
a b c 1
1
2
+ + =
⎧
⎪
⎨
⎪⎩ Chứng minh rằng
0 a,b,c
4
+
Bài 4(6) : Cho tam giác BMA có góc ∠BMA = 135o ; BM = 2 ; MA = 6
Trang 4Lấy điểm C cùng phía điểm M, bờ AB sao cho tam giác CAB vuông cân ở A Tính diện tích tam giác ABC
Bài 5(6) : Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) Các điểm M, N theo thứ tự là trung điểm của BC, CA Tia MN cắt (O) tại I Chứng minh rằng : BC/IA CA/IB = AB/IC
Bài 1(7) : Chứng minh rằng : 2+ 6+ 12+ 20+ 30+ 42 24<
Bài 2(7) : Cho a, b, c thỏa mãn :
2002 =2003= 2004 Chứng minh rằng : 4(a - b)(b - c) = (c - a)2
Bài 3(7) : Cho các số dương a1, a2, …, a10 thỏa mãn :
a1 = 1 ; a10 = 2 ; ai2 ≤ ai - 1ai + 1 với i = 2, 3, …, 9
Chứng minh rằng với mọi i = 1, 2, …, 10 thì : 9 i 1
i
a ≤ 2−
Bài 4(7) : Cho tứ giác ABCD có AD = BC Về phía ngoài của tứ giác này, ta dựng hai tam giác bằng nhau ADE và BCF Chứng minh rằng : trung điểm của các đoạn AB, CD, EF cùng thuộc một đường thẳng
Bài 5(7) : Tính tổng A = a1 + a2 + … + a2003, biết :
* n
1
n (n 1) n n 1
+ + + n N )
Bài 1(8) : Tìm tất cả các số nguyên dương x, y, z sao cho : xyz = 9 + x + y + z
Bài 2(8) : Cho dãy số tự nhiên liên tiếp : 150 O 149 O 148 O 147 O O 51 O 50
Chứng minh rằng nếu điền vào các hình tròn dấu “+” hoặc dấu “-” thì kết quả không thể bằng
2003
Bài 3(8) : Cho :
3 3
ax by cz
1 1 1
1
x y z
⎧ = =
⎪
⎨ + + =
⎪
⎩
3
Chứng minh rằng : 3ax2+by2+cz2 =3 a+3b+3c
Bài 4(8) : Cho hình chữ nhật ABCD (như hình vẽ) :
Biết rằng AB = 30 cm, BC = 20 cm, AM = 10 cm, BP = 5 cm, AQ = 15 cm
Tính diện tích tam giác MRS ?
Bài 5(8) : Cho tam giác ABC không vuông Các đường cao BB’, CC’ cắt nhau tại H K là trung điểm của AH ; I là giao điểm của AH và B’C’ Chứng minh rằng : I là trực tâm tam giác
KBC
Bài 1(9) : Cho tam giác ABC Một đường thẳng d đi qua trọng tâm G của tam giác cắt cạnh
AB tại D và cắt cạnh AC tại E Tìm giá trị nhỏ nhất của tổng diện tích các tam giác BDE và CDE
Bài 2(9) : Cho hình vuông ABCD Tìm tập hợp các điểm M nằm trong (không nằm trên cạnh) hình vuông sao cho : ∠ MAB + ∠ MBC + ∠ MCD + ∠ MDA = 180o
Bài 3(9) : Trong một giải bóng đá Nhi đồng theo thể thức thi đấu vòng tròn một lượt Thắng được 3 điểm, hòa 1 điểm, thua 0 điểm Đội Măng Non chỉ hòa 1 trận, thua 1 trận và được tất
cả 16 điểm Chứng minh rằng vào bất kì lúc nào cũng tìm được ít nhất hai đội đã đấu cùng số trận
Trang 5Bài 4(9) : Cho các số không âm x1, x2, x3, …, xn có tổng bằng 1 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức : x1x2 + x2x3 + x3x4 + … + xn - 1xn
Bài 5(9) : Tìm các cặp số hữu tỉ (x, y) thỏa mãn : x + y và 1/x + 1/ y đồng thời là hai số nguyên dương
Bài 1(10) : Tìm các số tự nhiên x ; 2x ; 6x biết rằng nếu viết ba số này liền nhau theo thứ tự này thì tạo thành số có 10 chữ số trong đó các chữ số đều khác nhau
Bài 2(10) : Giải phương trình :
(x2 + 6x + 10)2 + (x + 3)(3x2 + 20x + 36) = 0
Bài 3(10) : Có hay không các số tự nhiên m và n thỏa mãn đẳng thức sau :
1/4.(m - n).(m + n).[ 1 + (- 1)m + n] = 2003
Bài 4(10) : Cho tam giác ABC Điểm M nằm trong tam giác AM, BM, CM theo thứ tự cắt
BC, CA, AB tại A’, B’, C’ Biết rằng : M là tâm đường tròn nội tiếp tam giác A’B’C’ Chứng minh rằng : M là trực tâm tam giác ABC
Bài 5(10) : Cho tam giác ABC Chứng minh rằng :
a + b + c < 4 (R + r)
Trong đó a, b, c là độ dài các cạnh BC, CA, AB R, r là bán kính đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp của tam giác ABC
Bài 1(11) : Phân tích số 8030028 thành tổng của 2004 số tự nhiên chẵn liên tiếp
Bài 2(11) : Tìm số nguyên a lớn nhất sao cho số T = 427 + 41016 + 4a là số chính phương
Bài 3(11) : Bạn Hải đã làm bài toán nhân đúng bằng cách sắp các chữ số rời Hà, em của Hải,
đã đổi chỗ một số chữ số như ở bên Hãy sắp lại vị trí các chữ số ban đầu mà Hải đã làm đúng
11 x 91 191 59 2571
Bài 4(11) : Tính góc A của tam giác ABC biết rằng ∠ O1OO2 = 90o với O1, O, O2 lần lượt là tâm của các đường tròn nội tiếp, ngoại tiếp và bàng tiếp (trong góc A) của tam giác ABC
Bài 5(11) : Về phía ngoài của tam giác ABC ta dựng các tam giác vuông đồng dạng ABE, ACF (∠ ABE = ∠ ACF = 90o)
Chứng minh rằng : BF, CE và đường cao AH của tam giác đồng quy
Bài 1(12) : Cho số tự nhiên N = 20032004
Viết N thành tổng của k số tự nhiên nào đó n1, n2, , nk S n13 n32 n3
k
= + + + Tìm số dư của phép chia S cho 6
Bài 2(12) : Cho 20 số nguyên khác 0 : a1, a2, a3, , a20, có tính chất sau :
a1 là số dương
Tổng của ba số viết liền nhau bất kì là một số dương
Tổng của 20 số đó là số âm
Chứng minh rằng : a1.a14 + a14.a12 a1.a12
Bài 3(12) : Gọi a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác không phải là tam giác cân Hãy so sánh giá trị tuyệt đối của các biểu thức P, Q sau đây :
Trang 61 1 1 P
a b b c c a
a b c b c a c a b Q
2(a b)(b c)(c a)
= + +
− − −
− + − + −
=
− − −
Bài 4(12) : Cho hình thang vuông ABCD có AD // BC, AB vuông góc AD và AD = 4cm,
AB = BC = 2 cm Hãy tìm một con đường đi từ đỉnh A tới một điểm M trên cạnh DC, rồi tới điểm N trên cạnh AB, quay lại một điểm P trên cạnh DC và trở về A ngắn nhất
Bài 5(12) : Cho tứ giác ABCD I, J theo thứ tự là trung điểm của AC, BD Chứng minh rằng :
AC + BD + 2IJ < AB + BC + CD + DA
Bài 1(13) : Chứng minh rằng 1 1 1 1
Bài 2(13) : Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :
2
2
2002x 2003 1 x 2004
1 x
−
Bài 3(13) : Cho 25 số nguyên phân biệt, biết rằng tổng của 4 số bất kì trong chúng đều dương a) Chứng minh rằng : Trong 25 số có ít nhất 22 số dương
b) Tổng của 25 số này lớn hơn hoặc bằng 316
Bài 4(13) : Cho các số thực dương a, b, x, y thỏa mãn các điều kiện a + b + x + y ≤ 2,
a + b2 = x + y2, a2 + b = x2 + y Chứng minh rằng :
a x a y
hoac
⎨ = ⎨ =
Bài 5(13) : Cho hình thang ABCD có AB song song và bằng một nửa CD H là trung điểm của CD Điểm M nằm ngoài hình thang sao cho MH vuông góc và bằng một phần tư CD Bên ngoài hình thang ta dựng các tam giác ADE, BCF vuông cân tại E, F Chứng minh rằng tam giác MEF vuông cân tại M
Bài 1(14) : Cho x ; y thỏa mãn :
(x+ 2003 x )(y+ + 2003 y ) 2003+ =
Hãy tính giá trị của biểu thức : T = x2003 + y2003
Bài 2(14) : Chứng minh rằng phương trình sau không có nghiệm nguyên x, y :
36x2 + 144y2 - 276x - 120y + 25 = 0
Bài 3(14) : Cho a, b là hai số thỏa mãn : a + b ≥ 2 Chứng minh rằng ít nhất một trong hai phương trình sau có nghiệm :
x2 + 2a2bx + b5 = 0
x2 + 2ab2x + a5 = 0
Bài 4(14) : Cho ∆ABC Trên các tia đối của các tia CB, AC, BA lần lượt lấy các điểm A1, B1,
C1 sao cho AB1 = BC1 = CA1 Chứng minh rằng nếu ∆A1B1C1 đều thì ∆:ABC cũng đều
Bài 5(14) : Cho ba điểm A, B, C thẳng hàng, AB = BC Một đường tròn (O) đi qua A, B Các tiếp tuyến với (O) kẻ từ A, C cắt nhau tại S T là tiếp điểm của SC và (O) SB cắt (O) tại E (E
≠ B) Chứng minh rằng : ET // AB
Bài 1(15) Cho a, b, c ≥ 0 và a + b + c = 1
Hãy tìm giá trị lớn nhất của tổng : S = ab + 2bc + 3ca
Bài 2(15) Giải phương trình :
5 1 x− =2x + 4
Trang 7Bài 3(15) Cho tam giác ABC vuông cân, ∠ a = 900 AB = AC = a Trên tia đối của tia CA lần lượt lấy các điểm E, F, I sao cho : AE = 2a ; AF = 5a ; AI = 8a
Tính tổng : ∠ BEA + ∠ BFA + ∠ BIA
Bài 4(15) : Cho tam giác ABC có AB > AC Trên các cạnh AB, AC lấy các điểm N, M tương ứng, sao cho AN = AM Gọi O là giao điểm của BM và CN Chứng minh rằng : OB > OC
Bài 5(15) : Tính :
2 3 3 4 2003 2004
= + + + + + + + + + 2
Bài 1(16) : Giải phương trình :
y 2003 1
x 2002 1 z 2004 1 3
x 2002 y 2003 z 2004 4
− −
Bài 2(16) : Cho a ; b ; c là các số dương tùy ý Chứng minh :
c(c a) a(a b) b(b c)+ + ≥c a a b b c+ +
Bài 3(16) : Hãy xác định chữ số tận cùng của số : M ( 3= + 2)2004+( 3− 2)2004
Bài 4(16) : Cho tam giác vuông ABC (vuông tại đỉnh A) Gọi M là trung điểm cạnh BC, còn
H là chân đường vuông góc hạ từ A xuống BC Trên tia đối của tia AM ta lấy một điểm P (P không trùng với A) Các đường thẳng qua H vuông góc với AB và AC lần lượt cắt các đường thẳng PB và PC tại Q và R tương ứng Chứng minh rằng A là trực tâm của tam giác PQR
Bài 5(16) : Cho đường tròn (O) và đường thẳng d tiếp xúc với (O) tại T S là điểm đối xứng với T qua O A, B là hai điểm trên (O) (A, B ạ S, T) Các tiếp tuyến với (O) tại A, B cắt nhau tại C Các đường thẳng SA, SB, SC theo thứ tự cắt d tại A’, B’, C’ Chứng minh rằng : A’C’ = B’C’
Bài 1(17) : Hai số p, q thỏa mãn đẳng thức p3 + q3 = 2 Chứng minh rằng 0 < p + q ≤ 2
Bài 2(17) : Đặt :
S 1 ; S 1 ; S 1 ;
1 1 1
S 1
5 5 5
= + = + + = + + +
= + + + +
3
Chøng minh r»ng 2 2 2 3 2 n 2
5S +5 S +5 S + +5 S <365
Bài 3(17) : Cho các số dương x, y, z thỏa mãn bất đẳng thức : 2xyz + xy + yz + zx ≤ 1
Tìm giá trị lớn nhất của xyz
Bài 4(17) : Tính các góc của tứ giác ABCD, biết :
n 0 n 0 n 0 n 0 n n
ABD 25 ;CAD 65 ; BDC 50 ; BCA 40 ; BAD BCD 180= = = = + > 0
Bài 5(17) : Cho tam giác ABC, trực tâm H, nội tiếp đường tròn (O) M là trung điểm của BC
AM cắt (O) tại N (N ≠ A)
Chứng minh rằng MN ≤ MH Khi nào xảy ra đẳng thức ?
Trang 8Bài 1(18) : Có bao nhiêu số tự nhiên chia hết cho 3 ; chỉ được viết bởi các chữ số 0, 1, 2 và không lớn hơn 2004 ?
Bài 2(18) : Tìm nghiệm dương của phương trình :
(x3 + y3) + 4(x2 + y2) + 4(x + y) = 16xy
Bài 3(18) : Giải phương trình :
8 2
81 x− +81 x+ + 1 x− = 3
Bài 4(18) : Cho tam giác ABC vuông cân tại A Trong ∠ BAC , lấy điểm M sao cho MA =
MC và ∠ AMB = 75o Tính ∠ AMC
Bài 5(18) : Cho hình thang ABCD (AB // CD) O là giao điểm của AC và BD M là trung điểm của CD Các đường tròn ngoại tiếp các tam giác AOD, BOC cắt nhau tại K khác O Chứng minh rằng : ∠ KOC = ∠ MOD
Bài 1(19) Cho A 2 1 3 2 4 3 25 24
= + + + + , chứng minh rằng A < 0,4
Bài 2(19) Cho các số x , x , x , x1 2 3 11 thoả mãn: 1 x≤ 1≤x2 ≤ ≤ x11≤1000 Chứng minh rằng tồn tại i ∈{1, 2, 3, 10} sao cho 3
i 1 i i i 1
x+ − − <x 1 3 x x+
Bài 3(19) Giải phương trình
4
x 3x 2 x
− + + − = 0
Bài 4(19) Cho hình vuông ABCD Gọi E là trung điểm của AD Qua E vẽ đường thẳng vuông góc với BE, cắt CD tại F Tính tỉ số EF
EB
Bài 5(19): Cho tam giác đều ABC nội tiếp đường tròn tâm O, bán kính R D là điểm di động trên cạnh BC AD cắt (O) tại E (khác A) Gọi R1 , R2 lần lượt là bán kính đường tròn ngoại tiếp các tam giác EBD, ECD Xác định vị trí điểm D để R1 , R2 đạt giá trị lớn nhất
Bài 1(20) : Giải hệ phương trình :
xy 2x y 0
yz 2z 3y 0
zx 3x z 0
+ + =
⎧
⎪ + + =
⎨
⎪ + + =
⎩
Bài 2(20) : Tìm tất cả các số nguyên dương a, b sao cho ab = 3(b - a)
Bài 3(20) : Cho x2 + y2 = 1 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức :
S = (2 - x)(2 - y)
Bài 4(20) : Cho tam giác cân ABC (AC = BC) với ∠ ACB = 80o Trong tam giác ABC có điểm M sao cho ∠ MAB = 10o và ∠ MBA = 30o Tính ∠ BMC
Bài 5(20) : Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O) AC cắt BD tại I (O1), (O2) theo thứ
tự là các đường tròn ngoại tiếp của các tam giác ABI, CDI Một đường thẳng bất kì đi qua I cắt (O) tại X ; Y và cắt (O1) ; (O2) theo thứ tự tại Z ; T (Z và T khác I)
Chứng minh rằng XZ = YT
Trang 9Bài 1(21) : Cho ba số chính phương A, B, C
Chứng tỏ rằng : (A - B)(B - C)(C - A) chia hết cho 12
Bài 2(21) : Chứng minh rằng :
3 3 3 1 3 2 3
2 1
9 9
− = − + 4
9
Bài 3(21) : Cho a ≠ -b, a ≠ c, b ≠ -c Chứng minh rằng :
b c c a a b b c c a a (a b)(a c) (b c)(b a) (c a)(c b) b c c a a b
b
− + − + − = − + − +
−
Bài 4(21) : Cho tam giác ABC có BC = a, CA = b, AB = c và a + b + c = 9 ; x, y, z lần lượt là
độ dài các phân giác trong của các góc A, B, C Chứng minh rằng :
1 1 1
1
x+ + > y z
Bài 5(21) : Cho tam giác nhọn ABC, trực tâm H Chứng minh rằng :
HB.HC HC.HA HA.HB
1 AB.AC+ BC.BA +CA.CB =
Bài 1(22) : Giả sử (a1 ; a2 ; ; a37) ; (b1 ; b2 ; ; b37) ; (c1 ; c2 ; ; c37) là 3 bộ số nguyên bất
kì Chứng minh rằng tồn tại các số k, l, n thuộc tập hợp số {1 ; 2 ; ; 37} để các số a = 1/3(ak
+ al + an) ; b = 1/3(bk + bl + bn) ; c = 1/3(ck +cl + cn) ; đồng thời là các số nguyên
Bài 2(22) : Tìm a để phương trình (ẩn x) sau có nghiệm :
2
x (a x) x= − − 1
Bài 3(22) :Tìm m để phương trình sau có ít nhất bốn nghiệm nguyên :
m2|x + m| + m3 + |m2x + 1| = 1
Bài 4(22) :Cho tam giác ABC H là điểm bất kì trên cạnh BC AD là đường phân giác trong của Dựng AL đối xứng với AH qua AD (L thuộc BC)
Chứng minh rằng : BH.CH/(BL.CL) = HD2/LD2
Bài 5(22) : Cho tam giác đều ABC nội tiếp đường tròn tâm O có bán kính bằng 1 Một đường thẳng đi qua O cắt hai cạnh AB và AC lần lượt tại M và N Kí hiệu SAMN là diện tích tam giác AMN
Chứng minh rằng : 3 SAMN 3
3 ≤ ≤ 83
Bài 1(23) : Cho p là số nguyên tố lớn hơn 3
Chứng minh rằng phương trình x2 + y2 + z2 = 4p2 + 1 luôn có nghiệm dương (x0, y0, z0)
Bài 2(23) : Cho ba số dương a, b, c thỏa mãn a + b + c = 3 Chứng minh rằng :
1 b 1 c 1 a 2
3
Bài 3(23) : Giải phương trình :
3x −7x 3+ − x − =2 3x −5x 1− − x −3x 4+
Trang 10Bài 4(23) : Cho tam giác ABC (AB < AC) và P là điểm nằm trong tam giác sao cho
∠ PBA = ∠ PCA Gọi H và K lần lượt là chân các đường vuông góc hạ từ P xuống AB và AC
; I là trung điểm của BC Chứng minh rằng : ∠ HIB < ∠ KIC
Bài 5(23) : Cho tam giác ABC không cân, ngoại tiếp đường tròn (O) Gọi D, E, F lần lượt là các tiếp điểm của (O) với các cạnh BC, CA, AB Gọi M là giao điểm của các đường thẳng
AO, DE ; N là giao điểm của các đường thẳng BO, EF ; P là giao điểm của các đường thẳng
CO, DF Chứng minh các tam giác NAB, MAC, PBC có cùng diện tích
Bài 1(24) : Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : P = a/(a + b) + b/(b + c) + c/(c + a) trong đó a, b, c là các số thực thỏa mãn điều kiện a ≥ b ≥ c > 0
Bài 2(24) : Tồn tại hay không số nguyên n thỏa mãn
n3 + 2003n = 20052005 + 1 ?
Bài 3(24) : Đặt
1x2 3x4 2003x2004 2005x2006
1004x2006 1005x2005 2006x1004
Chứng minh rằng A/B là số nguyên
Bài 4(24) : Cho tam giác đều ABC có điểm M thuộc BC Gọi E và F lần lượt là hình chiếu vuông góc của M trên AB và AC ; O là trung điểm của EF ; Q là hình chiếu vuông góc của A trên đường thẳng OM Chứng minh rằng khi M chuyển động trên BC thì Q luôn thuộc một đường thẳng cố định
Bài 5(24) : Cho lục giác nội tiếp đường tròn ABCDEF có AB = AF ; DC = DE Chứng minh rằng : AD > 1/2(BC + EF)
Bài 1(25) : Cho n 1
n
n 1
3 S S
1 3.S
−
−
+
=
− với n là số tự nhiên không nhỏ hơn 2
Biết S1 = 1, tính S = S1 + S2 + S3 + + S2004 + S2005
Bài 2(25) : Giải hệ phương trình :
2005
2008 2008 2
x y
xy
y x
x y 8(xy)
⎧ + =
⎪⎪
⎨
⎪ + =
⎪⎩
Bài 3(25) : Tổng số bi đỏ và số bi xanh trong bốn hộp : A, B, C, D là 48 hòn Biết rằng : số bi
đỏ và số bi xanh trong hộp A bằng nhau ; số bi đỏ của hộp B gấp hai lần số bi xanh của hộp B
; số bi đỏ của hộp C gấp ba lần số bi xanh của hộp C ; số bi đỏ của hộp D gấp sáu lần số bi xanh của hộp D ; trong bốn hộp này có một hộp chứa 2 hòn bi xanh, một hộp chứa 3 hòn bi xanh, một hộp chứa 4 hòn bi xanh, một hộp chứa 5 hòn bi xanh Tìm số bi đỏ và số bi xanh trong mỗi hộp