Tìm giá trị nhỏ nhất đó.. BD , CE là hai đường cao của tam giác cắt nhau tại điểm H... Tìm giá trị nhỏ nhất đó.
Trang 1PHÒNG GD&ĐT XUYÊN MỘC ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 8 TRƯỜNG THCS BƯNG RIỀNG MÔN TOÁN
Thời gian 120 phút
ĐỀ BÀI : Bài 1: Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên x thì biểu thức A = x5 – x luôn chia hết cho 30
Bài 2: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử
1/ a(x2 +1) – x(a2 + 1)
2/ 6x3 + 13x2 + 4x – 3
3/ ( x2 + x)2 – 2(x2 + x) – 15
Bài 3 : a/ Tìm giá trị nguyên của x để biểu thức B =
1 2
8 6
−
+
−
x
x x
x nhận giá trị nguyên b/ Tìm giá trị của a và b để biểu thức C = a2 – 4ab + 5b2 -2b – 6 đạt giá trị nhỏ nhất Tìm giá trị nhỏ nhất đó
Bài 4 : Chứng minh rằng : (x – 1)(x – 3 )( x – 4 )(x – 6 ) +10 ≥ 1
Bài 5 : Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a Gọi M , N theo thứ tự là trung điểm của AB
và BC.
a/ Tính diện tích tứ giác AMND
b/ Phân giác góc CDM cắt BC tại E, Chứng minh DM = AM + CE
Bài 6 : Cho tam giác ABC có ba góc nhọn BD , CE là hai đường cao của tam giác cắt nhau tại
điểm H Chứng minh rằng :
a/ HD.HB = HE.HC
b/ ∆HDE ∆HCB
c/ BH.BD + CH.CE = BC2
HẾT
Trang 2PHÒNG GD&ĐT XUYÊN MỘC ĐÁP ÁN – BIỂU ĐIỂM ĐỀ THI HSG TOAN 8 TRƯỜNG THCS BƯNG RIỀNG MÔN TOÁN
Thời gian 120 phút
BÀI 1: (2đ) A = x5 – x = x( x4 - 1 ) = x( x2 – 1 )( x2 + 1)
= (x – 1 ) x ( x + 1)( x2 + 1)
Vì (x – 1 ) x ( x + 1) là 3 số tự nhiên liên tiếp nên chia hết cho cả 2 và 3 => A 6 (1)
+/ Nếu x 5 => A 5
+/ Nếu x : 5 dư 1 thì ( x – 1) 5 => A 5
+/ Nếu x : 5 dư 4 thì ( x + 1) 5 => A 5
+/ Nếu x : 5 dư 2 hoặc 3 thì x2 : 5 dư 4 => ( x2 + 1) 5 => A 5
Vậy A 5 với mọi x (2)
Ta có UCLN ( 5;6) = 1 nên kết hợp (1) và (2) => A (5.6) =30
A 30 với mọi x
Bài 2 : (3đ)
1/ a(x2 +1) – x(a2 + 1) = ax2 + a – a2 – x = ax2 –a2x +a – x =
= ax(x – a ) – ( x – a ) = ( x – a ) ( ax – 1 )
2/ 6x3 + 13x2 + 4x – 3 = 6x3 + 6x2 + 7x2 + 7x – 3x – 3
= 6x2( x + 1) + 7x( x + 1) – 3( x + 1) = ( x + 1)( 6x2 + 7x – 3 )
= ( x + 1)( 6x2 + 9x – 2x – 3 ) = ( x + 1 )( 3x( 2x + 3) – ( 2x + 3)
= (x + 1)( 2x +3)( 3x – 1 )
3/ ( x2 + x)2 – 2(x2 + x) – 15 = ( x2 + x)2 – 2(x2 + x) + 1 – 16
= ( x2 + x – 1 )2 – 42 = ( x2 + x – 5 )( x2 + x + 3 )
Bài 3 : (4đ) a/ Tìm giá trị nguyên của x để biểu thức B =
1 2
8 6
−
+
−
x
x x x
nhận giá trị nguyên
B =
1 2
3 3 2 2 1
2
3 3 6 2 4 2 4 1
2
8 6
− + +
−
=
−
+
− + +
−
−
=
−
+
−
x x
x x
x x x x x x
x x
x
Để B nhận giá trị nguyên thì 3 (2x – 1) Hay ( 2x – 1 ) ∈ U(3) = { -1;1;-3;3}
Suy ra x∈ { 0;1; -1; 2}
b/ Tìm giá trị của a và b để biểu thức C = a2 – 4ab + 5b2 -2b – 6 đạt giá trị nhỏ nhất
Tìm giá trị nhỏ nhất đó
C = a2 – 4ab + 4b2 + b2 – 2b + 1 – 7 = ( a -2b)2 + ( b – 1)2 – 7 ≥ – 7
Vậy : Tại a – 2b = 0 và b – 1 = 0 ⇔ a = 2 và b = 1 thì MinC = -7
Bài 4 : ( 2đ) Chứng minh rằng : (x – 1)(x – 3 )( x – 4 )(x – 6 ) +10 ≥ 1
Ta có (x – 1)(x – 3 )( x – 4 )(x – 6 ) +10 = (x – 1)(x – 6 )( x – 4 )(x – 3 ) +10
= x2 -7x + 6 )( x2 – 7 x + 12) + 10 = ( x2 – 7x + 9 – 3 )( x2 – 7x +9 + 3) + 10 =
= ( x2 – 7x + 9)2 – 32 + 10 = ( x2 – 7x + 9)2 + 1
Vì ( x2 – 7x + 9)2 ≥ 0 ,với mọi x
Nên ( x2 – 7x + 9)2 + 1 ≥ 1 , với mọi x
Bài 5 : ( 4đ)
Trang 3a/ SAMND = SABCD – S∆BMN - S∆NCD
Ta có ∆BMN vuông tại B có BM = BN =
2
a
= CN ∆NCD vuông tại C có DC = a
Suy ra SAMND =
8
5 4 8 2
2
1 2 2 2
2
a
a a a a
b/ Chứng ming DM = AM + CE
Trên tia đối của tia CB lấy điểm K sao cho CK = AM
Dễ dàng chứng minh được ∆ ADM = ∆ CDK ( c.g.c)
Suy ra AM = CK và DM = DK (1)
Và góc ADM = góc CDK
Ta có : ∠ ADE = ∠ADM + ∠MDE =
= ∠ EDC + ∠CDK = ∠EDK ( Vì ∠MDE = ∠EDC theo GT)
Mặt khác ∠ADE = ∠DEK ( so le trong )
= > ∠EDK = ∠DEK Vậy ∆DKE cân tại K => DK = KE = CK + CE ( 2)
Từ (1) và (2) suy ra DM = AM + CE
Bài 5 : ( 5đ)
a/ HD.HB = HE.HC : Chứng minh 2 ∆ vuông : ∆BHE và ∆ CHD
đông dạng ( ∠E = ∠D = 900; ∠EBH = ∠DCH cũng phụ với ∠A )
=>
HC
HB
HD
b/ ∆HDE ∆HCB : Từ
HC
HD HB
HE HC
HB HD
và ∠EHD =∠CHB (đối đỉnh) => ∆HDE ∆HCB
c/ vì H là giao điểm hai đường cao BD và CE nên H là trực tam của tam giác => AH là đường cao thứ ba Gọi F là giao điểm của AH với BC Ta có AF ⊥ BC
∆BHF đồng dạng ∆BCD ( ∆ vuông cùng góc nhọn B) =>
BD
BF BC
∆CHF đồng dạng ∆BCE ( ∆vuông có cùng góc BCE) =>
CE
CF CB
Cộng theo vế (*), (**) : BH.BD + CH.CE = BC(BF + CF) = BC2