Chứng minh rằng: ab+bc+ca≤0.. M là một điểm tuỳ ý trên đường chéo BD.. Hạ ME vuông góc với AB, MF vuông góc với AD.. b Chứng minh rằng ba đường thẳng DE, BF, CM đồng quy.. c Xác định vị
Trang 1UBND H QUẾ SƠN
PHÒNG GD&ĐT
KỲ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI LỚP 6,7,8 CẤP HUYỆN
NĂM HỌC 2012-2013 Môn: Toán - Lớp 8
Thời gian làm bài: 120 phút (Không kể thời gian giao đề)
ĐỀ CHÍNH THỨC
Bài 1 (2.5 điểm):
a) Cho ba số a, b, c thoả mãn: a + b + c = 0 Chứng minh rằng: ab+bc+ca≤0
b) Cho f(x)=ax2+bx+c với a, b, c là các số thỏa mãn: 13a+b+ 2c= 0
Chứng tỏ rằng: f(−2).f(3)≤0
c) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: M = x2 +y2 −xy−x+ y+1
Bài 2 (2.0 điểm):
Giải các phương trình sau:
2013 2012 2011 2010
x− + x− − x− = x−
b) (2x−5)3 −(x−2)3 =(x−3)3
Bài 3 (2.5 điểm):
Cho hình vuông ABCD M là một điểm tuỳ ý trên đường chéo BD Hạ ME vuông góc với AB, MF vuông góc với AD
a) Chứng minh DE ⊥ CF
b) Chứng minh rằng ba đường thẳng DE, BF, CM đồng quy
c) Xác định vị trí của điểm M trên BD để diện tích tứ giác AEMF lớn nhất
Bài 4 (2.0 điểm):
Cho hình bình hành ABCD (AC > BD) Gọi G, H lần lượt là hình chiếu của C trên AB
và AD Chứng minh :
a) ∆ABC đồng dạng với ∆ HCG
b) 2
AC =AB.AG AD.AH+
Bài 5 (1.0 điểm):
Chứng minh rằng với mọi số n nguyên dương thì: 5 (5n n+ −1) 6 (3n n +2 )n M 91
Trang 2UBND HUYỆN QUẾ SƠN
PHÒNG GD&ĐT
KỲ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI LỚP 6,7,8 CẤP HUYỆN
NĂM HỌC 2012-2013 Môn: Toán - Lớp 8
Thời gian làm bài: 120 phút (Không kể thời gian giao đề)
HƯỚNG DẪN CHẤM
Bài 1(2.5 điểm):
Có: a2 + b2≥ 2ab; a2 + c2≥ 2ac; b2 + c2≥ 2ac
Cộng được: 2a2 + 2b2 + 2c2≥ 2ab + 2ac + 2bc
⇔ a2 + b2 + c2≥ ab + ac + bc (1)
0,25
a + b + c = 0 ⇔ a2 + b2 + c2 +2ab + 2ac + 2bc = 0
⇔ -a2 – b2 – c2 =2ab + 2ac + 2bc (2) 0,25
Cộng (1) với (2) được 3ab + 3ac + 3bc ≤ 0 ⇔ ab + bc + ca ≤ 0 0,25
Có f(-2) + f(3) = 13a + b + 2c = 0 nên:
Hoặc: f(-2) = 0 và f(3) = 0 ⇒ f(-2).f(3) = 0 (1)
Hoặc: f(-2) và f(3) là hai số đối nhau ⇒ f(-2).f(3) < 0 (2)
0,25
Từ (1) và (2) được f(−2).f(3)≤0 0,25
4M 4x 4y 4xy 4x 4y 4
(2x y 1) 3y 2y 3
(2x y 1) 3(y y )
(2x y 1) 3(y )
0,50
Giá trị nhỏ nhất của 4M là 8
3 tại
1 y 3
= − ; x = 2
3 nên Giá trị nhỏ nhất của M là 2
3 tại
1 y 3
= − ; x = 2
3.
0,50
Bài 2(2.0 điểm):
Trang 3x 1 x 2 x 4 x 3
2013 2012 2010 2011
x 1 2013 x 2 2012 x 4 2010 x 3 2011
2013 2013 2012 2012 2010 2010 2011 2011
x 2014 x 2014 x 2014 x 2014
2013 2012 2010 2011
2013 2012 2010 2011+ − − ≠ 0 nên phương trình có nghiệm x = 2014 0,25 Đặt 2x - 5 = a; x - 2 = b ⇒ a - b = x -3
Phương trình đã cho trở thành: a3 - b3 = (a - b)3 0,50 (a-b) (a2 + ab + b2 ) = (a-b)(a2 -2ab + b2)
(a-b)( a2 + ab + b2 - a2 +2ab - b2) = 0
a = 0 ⇔ x 5
2
= ; b = 0 ⇔ x = 2; a = b ⇔ x = 3 0,25
Bài 5 (1.0 điểm):
A = 5 (5n n + −1) 6 (3n n +2 ) 25n = n + −5n 18n −12n 0,25
A=(25n −18 ) (12n − n−5 )n A chia hết cho 7 0,25
(25 12 ) (18 5 )
Bài 3 (2.5 điểm):
Chứng tỏ được ∆CDF = ∆DAE ⇒ ·FCD EDA= · 0,25
Có ·EDA và EDC phụ nhau · ⇒ ·ECD và EDA phụ nhau hay CF· ⊥ DE 0,25
Trang 4Tương tự có CE ⊥ BF 0,25 Chứng minh được CM ⊥ EF:
Gọi G là giao điểm của FM và BC; H là giao điểm của CM và EF
MCG EFM= (Hai HCN bằng nhau)
CMG FMH= (Đối đỉnh) ⇒ ·MHF MGC= · = 900
0,50
CM, FB, ED là ba đường cao của tam giác CEF nên chúng đồng quy 0,25 (AE - ME)2 ≥0 nên (AE + ME)2 ≥ 4AE.ME ⇔ ( )2
AE ME AE.ME
4
+
2 AEMF
AB
S
4
⇔ ≤ Do AB = const nên SAEMF lớn nhất khi AE = ME.
Lúc đó M là trung điểm của BD
0,50
Bài 4 (2.0 điểm):
Chứng tỏ được: ∆CBG đồng dạng với ∆CDH 0,25
ABC HCG= (Cùng bù với ·BAD )
Gọi E, F lần lượt là hình chiếu của B, D trên AC
∆AFD đồng dạng ∆AHC: AF AD AF.AC AD.AH
∆AEB đồng dạng ∆AGC: AE AB AE.AC AG.AB
Cộng được: AF.AC + AE.AC = AD.AH+AG.AB
AC(AF+AE) = AD.AH+AG.AB 0,25 Chứng tỏ được AE = FC Thay được:
AC(AF+FC) = AD.AH+AG.AB ⇒ AC2 = AD.AH+AG.AB 0,25