CASIO GIẢI bài TOÁN đơn điệu hàm CHỨA THAM số cực NHANH

CASIO GIẢI BÀI TOÁN ĐƠN ĐIỆU HÀM CHỨA THAM SỐ CỰC NHANH 1.Hàm không chứa tham số.. Bước 2: Đối chiếu kết quả chọn đáp án Phương pháp này cho kết quả nhanh nhất... Ta chọn đáp án A x B

CASIO GIẢI BÀI TOÁN ĐƠN ĐIỆU

HÀM CHỨA THAM SỐ CỰC NHANH

1.Hàm không chứa tham số

Cho y  f x  liên tục trên  a b ;

+) Nếu f ' x   0, x  a b; suy ra f x đồng biến trên    a b ;

+) Nếu f ' x   0, x  a b; suy ra f x Nghịch biến trên    a b ;

Phương pháp chung:

Đối với hàm đa thức bậc 3 và bậc 4

Bước 1: Tính y’ và giải BPT y’ > 0 hoặc y’ < 0

Nhập wR1 để giải bất phương trình

Bước 2: Đối chiếu kết quả chọn đáp án

Phương pháp này cho kết quả nhanh nhất

Đối với các hàm khác:

Bước 1: Nhập  ( )

x X

d

f x

dx  Bước 2: Thử đáp án theo nguyên tắc:

+) Chọn số x0A và x0B C D; ; , nếu thỏa mãn, nhận đáp án A

+) Chọn số x0B và x0C D; ,nếu thỏa mãn, nhận đáp án B

+) Chọn số x0C và x0D,nếu thỏa mãn, nhận đáp án C

+) Nếu cả 3 lần thử đều không thỏa mãn BPT thì chọn D

Chú ý:

Ta cần tìm ra cách thử sao cho nhanh nhất, ít bước thử nhất, và tối đa là 3 lần thử

Ví dụ 1

Cho hàm số : yx33x2 9x Tìm khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số 1

TỰ LUẬN:

TXĐ: D= R

3

x

x

 



Bảng biếng thiên

'

y

Vậy hàm số đồng biến trên   ; 1 3; , nghịch biến trên  1;3

CASIO: Hàm số yx33x2 9x đồng biến trên khoảng nào? 1

A   ; 1 3;  B 1;3

C 3;  D    ; 1  1;3

Bước 1: Nhẩm: 2

y  x  x

Bước 2: Nhậpw R111 (Giải bất phương trình bậc hai)

Nhập: 3=p6=p9==

Kết quả hiện lên: x 1;3 Ta chọn đáp án A x

Bình luận:

Ở ví dụ này ta sử dụng chức năng giải bất phương trình của máy tính cho kết quả

nhanh nhất

Ví dụ 2 Cho hàm số y x42x2 , Hàm số nghịch biến tại 2

A 1;0   1;  B   ; 1  0;1

C ;0   1;  D     ; 1 1; 

CASIO

Bước 1: Nhẩm 3

y  x  x Bước 2: Nhậpw R122 (Giải bất phương trình bậc ba)

Nhập 4=0=p4=0==

Kết quả : (x< -1; 0< x <1) => Ta chọn đáp án: B

Ví dụ 3 Cho hàm số

2

2 2 1

y

x

 



 Hàm số nghịch biến tại

A    0;1  1;2 C R\ 1  

B ;0  2;  D   0;2  2; 

CASIO: TXĐ :R\ 1  

Bước 1:Tính y’: Nhập 2 2 2  2

1 1

x X

x

    

  

 

Bước 2: Nhập lệnh:r: X? X  100

Kết quả: 9800 Ta có biểu thức ở tử số là:  2 

2

X  X Suy ra

2 2

2 '

1

y x







Bước 3: NhậpwR1121=p2=0=

Kết quả : 0  Ta chọn A x 2

Ví dụ 4 Cho 3

2

y x   x x đồng biến trên

A  0;1 B 1;  C 0; D   ;1

CASIO:

TXĐ: D 1; 

3

x



 

Ta chọn đáp án B

Ví dụ 5 Cho 3 2

y x  x  x đồng biến trên

A   B ; 2   2;  C   ;  D  ;1

CASIO: TXĐ: D     2; 

Tính nhanh tử số của y' 3 x2 4x    2 0, x D

Ta chọn đáp án B

Ví dụ 6 Hàm số 2

1

y x x nghịch biến trên

2 va 2



    B     ; 1 1; 

2 va 2

2 2

;

2 2



 

CASIO

Bước 1: Nhập  2

1

x X

d

Bước 2: Nhậpr  X  Kết quả trả về: Math ERROR (Lỗi tính toán) 2

Ta loại C, B

Bước 3: Nhậpr  X   0 k q /   1 0 Loại đáp án D

Ta chọn đáp án A

Ví dụ 7 Cho hàm số

2

1 1

x y x





 điều nào là sai

A Đồng biến trên ;0 B Hàm số nghịch biến trên 1; 

C Đồng biến trên  0;1 D Hàm số nghịch biến trên  2; 1

CASIO:

Bước 1:Nhập

2

1

1 x X





Bước 2:

Nhậpr X=-0,1 Kết quả > 0 Ta loại A

X=1,1 Kết quả < 0 Ta loại B

X=0,1 kết quả >0 Ta loại C

X=-1,5 kết quả >0, suy ra D sai

Ta chọn đáp án D

Ví dụ 8 Cho 2 2

1

x y





  Hàm số đồng biến trên:

A  ;1 5  1 5; B 1 5;1 5

C  ;2 7  2 7; D 2 7;2 7

CASIO

Bước 1: Nhập 2 2

1 x X



Bước 2: Nhậpr  X= -10, kết quả <0 loại A, C

X=1 5 0.01 kết quả <0 loại B => Ta chọn D

Ví dụ 9 Cho hàm y x   2cos x hàm số nghịch biến tại

A 0;

6



 

 

  B

5

;

6 6

 

 

 

  C

5

;

6 

 

 

  D R

CASIO

Bước 1: Nhập  2cos 

x X

d

Bước 2: Nhậpr -> X=0.01 kết quả >0 loại A, loại D

6

 

kết quả <0 ; 5 0.01

6

kết quả >0 loại C

Ta chọn đáp án B

Bình luận:

Ở các ví dụ trên ta dựa vào lý thuyết của hàm đồng biến nghịch biến và sử dụng

chức năng tính đạo hàm của máy tính để thử các đáp án

2 Hàm chứa tham số

Cho hàm số y  f x ( ) liên tục trên  a b ;

+) f ' x   0; x  a b; thì hàm số đồng biến trên  a b ;

(chỉ bằng 0 ở một số điểm hữu hạn trên  a b ) ;

+ f ' x   0; x  a b; thì hàm số nghịch biến trên  a b ;

(chỉ bằng 0 ở một số điểm hữu hạn trên  a b ) ;

Bài toán: Tìm điều kiện tham số để hàm số đơn điệu trên K

Phương pháp chung:

CÁCH 1: Trong phần này ta sử dụng phương pháp thử đáp án

Bước 1: Tính y’: Nhập  ( )

x X

d

f x

dx 

Bước 2: Thử đáp án theo nguyên tắc:

+) Chọn số x0K; m  A và mB C D; ; , nếu không thỏa mãn, loại A

+) Chọn số x K; m B và mC D; ,nếu không thỏa mãn, loại B

+) Chọn số x0K m; C và x0D,nếu không thỏa mãn, loại C

+) Nếu cả 3 lần thử đều không thỏa mãn BPT thì chọn D

Chú ý:

+) Ta cần tìm ra cách thử sao cho ít bước thử nhất, và tối đa là 3 lần thử

Do ở đây ta dùng phương pháp đạo hàm tại 1 điểm nên không thể khảo sát được

toàn bộ tập K nên độ chính xác dựa vào kĩ năng thử đáp án Cách chọn x0K phải

đủ nhỏ và lẻ để có được kết quả chính xác nhất

+) Ở đây ta cần chọn X phù hợp và giá trị m sao cho kết quả tính được không thỏa

mãn yêu cầu bài toán, khi đó ta dễ dàng loại các đáp án sai Số dủ nhỏ ở đây

thường sử dụng là 1,001 và -1,001

+) Khi thay x0K m;  các đáp án mà thỏa mãn BPT thì tạm thời chấp nhận đáp án

đó rồi kiểm tra tiếp các đáp án khác, do ở đây ta dùng phương pháp đạo hàm tại 1

điểm, khi BPT đúng với x0 không đồng nghĩa là đúng với toạn bộ tập K

CÁCH 2: Sử dụng chứng năngw7để khảo sát hàm số

Ta dùng bảng giá trị tính được thông qua chức năng TABLE của máy tính để nhận

ra tính đồng biến nghịch biến của hàm số khi thay các giá trị tham số trong đáp án

CÁCH 3: CASIO hỗ trợ trong việc tính GTLN, GTNN trong quá trình giải tự luận

khi gặp bài toán chứa tham số mà ta có thể cô lập tham số

CÁCH 4:

Với hàm bậc 3, ta tính y’ bằng tay, giải phương trình bậc 2 với m là các đáp án

Nếu phương trình vô nghiệm,nghiệm duy nhất hoặc có 2 nghiệm không thuộc (a;b)

thì ta nhận đáp án đó là đáp án đúng !

Bài toán 1 Tìm điều kiện tham số để hàm số đơn điệu trên R

Chú ý: Sử dụng hệ quả của định lí về dấu tam thức bậc 2

Cho tam thức bậc 2 2  

+)   0, 0

0

a

 





0

a

 





Ví dụ 1 Tìm m để   3 2

f x x  mx  x đồng biến trên R

2 2

    

   

    C 0; 

B 3 3;

2 2

 

 

  D

3

; 2

 



 

Giải:

2

y  x  mx Hàm số đồng biến   x R f ' x    0, x R

2 '

3 0

y m

m a



 

CASIO CÁCH 1:

2 3 1

x X

d

x mx x

dx    

Bước 2:

r: Chọn X = -1,001 và m = -10 cho kết quả < 0 nên m = -10 không thỏa mãn

=> Loại A

Bước 3: Chọn X =1,001 và m = 10 cho kết quả < 0 nên m = 10 không thỏa mãn

=> Loại D; C Vậy đáp án B

CASIO CÁCH 2:

Bước 1: Nhập w7

Bước 2: Thử đáp án A, cho m = -2

Nhập   3 2

Bước 3: Vì hàm số đồng biến trên R nên ta chọn START = -9; END = 9; STEP = 1

Bước 4: Theo dõi sự biến thiên của hàm số:

Ta thấy hàm số không đồng biến trên  9;9 do đó m = -2 không thỏa mãn

Tương tự như vậy cho các đáp án khác

Quá trình trên tương đối nhanh nếu như học sinh thao tác máy nhanh và biết phân

tích bảng giá trị

Tuy nhiên cách làm này lâu hơn cách thử đầu tiên

CASIO CÁCH 3:

2

y  x  mx Nhập w53 giải phương trình bậc 2

Thay m = 0, ta có pt vô nghiệm => m= 0 thỏa mãn => Loại A;C

Thay m= 2 ta có pt có 2 nghiệm => Loại D Vậy đáp án A

Ví dụ 2 Cho 3 2  

y x mx  m x đồng biến trên R

A 3 33 3; 33

  C  ;2 7

B  2;5 D  2 7;

Giải:

y  x  mx  m

2

 

 

CASIO:

Bước 1:  3 2   

2 1

x X

d

x mx m x

dx     

Bước 2:r:

Chọn X = -1,001 và m = -10 cho kết quả < 0 nên m = -10 không thỏa mãn

=> Loại C

Bước 3: Chọn X = 1,001 và m = 5 cho kết quả < 0 nên m = 5 không thỏa mãn =>

Loại B; D Vậy đáp án A

Ví dụ 3 Cho 1  3 2  

3

y m x mx  m x đồng biến trên R

2

m  B m 1 C m 2 D mR

Giải:

2

1

2



CASIO:

Bước 1: 1  3 2  

d

m x mx m x

Bước 2:r:

Chọn X = 1,001 và m = -10 cho kết quả < 0 nên m = -10 không thỏa mãn

=> Loại A; D

Bước 3: Chọn X = 1,001 và m = 1,001 cho kết quả < 0 nên m = 1,001 không thỏa

mãn => Loại B Vậy đáp án C

Bài toán 2 Tìm điều kiện của tham số để hàm số đơn điệu trên  a b ;

Ví dụ 1 Cho y  x3 mx2  Tìm m để hàm số đồng biến m  x  1;2

A m  3 B m 3 C m 1;3 D m 3

Giải:

2

y   x  mx

Hàm số đồng biến  x  1;2    y' 0, x  1;2

1;2

Ta chọn B

CASIO:

x X

d

0 4 2

X

M







Ta loại A, C, D nên đáp án là B

Ví dụ 2 Cho y x3 6x2 mx Tìm m để đồng biến trên 1 ;0

A m 3 B m 0 C m 0 D m 12

Giải:

2

' 3 12

y  x  x m Hàm số đồng biến :

 

2

g x   x  x g x   x     x

 0 0; lim   max   0

x



Ta chọn đáp án C

CASIO CÁCH 1 : Hỗ trợ tự luận tìm giá trị lớn nhất của g(x)

Bước 1: Nhập w53

Nhập -3 = 12 = 0 = = (Giải phương trình  3 x2  12 x  0)

Kết quả trả về:

max 12 max 2 ;0

Y





   

CASIO CÁCH 2: Thử điểm:

Bước 1:  3 2 

x X

d

x x mx

dx    

Bước 2:r: Chọn X = -0,001 và m = -3 cho kết quả < 0 nên m = -3 không thỏa

mãn => Loại A;B;D Vậy đáp án C

y x mx  m  m x m m Hàm số đồng biến trên 2; khi m thuộc: 

A 1;5

2

 

 

; 1 ;

2

   

  D ;6

Giải:

DR y  x  mx m  m

Hàm số đồng biến         x 2;  y' 0, x 2; 

Ta có: 2  2 

' 7m 21m 21 7 m 3m 3 0 m

         nên phương trình có 2 nghiệm

phân biệt: y' 0,   x  ;x va x1  2; 

Để bpt đúng    x 2;     x1 x2 2 ta tìm m để phương trình bậc hai:

3x  2mx 2m  7m 7  0 có 2 nghiệm sao chox1  x2 2

2; 2 0



Để (2) có 2 nghiệm phân biệt t1  t2 0

2

2 2

3

5

1

3

m

m

P



















5 1

2

m

   

CASIO

x X

d

3

X

M





Ta chọn đáp án A

Ví dụ 4 Cho hàm số   1 3 2  2 

2 3

y  f x  x mx  m  m x Tìm m để hàm số

a) Tăng trên R

A 2;  B ;2 C R D  1;2

b) Giảm trên  0;2

A m1;  B m 1;2 C m=1 D m  5;5

Giải:

y x  mxm   , m     ' m 2

a)YCBT    ' 0 m 2 (vì 1 0

3

b) Giảm trên  0;2

Bảng biến thiên:

'

y

 

 

2 2

1

m m



CASIO

2

d

Bước 2: Nhập

1.9 50

X

loai A B M





r: 1.5 23

4.5 2

X

loai D M





 



Ta chọn đáp án C

Bài tập tương tự:

1 Hàm số y x3 3 m 1 x2 3 m 1 x 1 luôn đồng biến trên khi:

0

m

2 Hàm số

2 1

3 2

y x luôn đồng biến trên tập xác định khi:

A m 2 2 B 8 m 1 C m 2 2 D không có giá trị m

3 Hàm số mx 4

y

x m nghịch biến trên từng khoảng xác định khi:

2

m

2

m m