Chứng minh đa thức fx có ít nhất một nghiệm là số nguyên tố.. Để làm xong một cụng việc thỡ 21 cụng nhõn cần làm trong 15 ngày.. Do cải tiến kĩ thuật nờn năng suất của mỗi người tăng thờ
Trang 1trường thcs
chu mạnh Trinh Đề thi học sinh giỏi cấp trường
năm học 2016 - 2017 Môn: Toán 7
Ngày thi: 19 tháng 05 năm 2017
Thời gian làm bài: 120 phút
-Cõu 1 (2.0 điểm)
a) Tớnh giỏ trị biểu thức: 3 2 3 3 2 16 8 4 5 9 47
2
A
ư ư
b Tìm các cặp số nguyên (x ; y) thỏa mãn : x - y + 2xy = 3
Cõu 2 (1.5 điểm)
a Tìm điểm M(x0 ; y0) thuộc đồ thị hàm số y 2x
3
= ư , biết 5y + 2 x = 80 0
b Cho đa thức f(x) thỏa mãn điều kiện :
(x - 1) f(x) = (x + 4) f(x + 8) , với mọi x∈R
Chứng minh đa thức f(x) có ít nhất một nghiệm là số nguyên tố
Cõu 3 (2.0 điểm)
a) Tỡm 3 số a, b, c biết: 3 2 2 5 5 3
aư b cư a bư c
= = và a + b + c = – 50 b) Chứng minh rằng:
Nếu
c b a
z c
b a
y c
b a
x
+
ư
=
ư +
= +
z y x
c z
y x
b z
y x
a
+
ư
=
ư +
= +
Cõu 4 (1.0 điểm) Để làm xong một cụng việc thỡ 21 cụng nhõn cần làm trong 15 ngày
Do cải tiến kĩ thuật nờn năng suất của mỗi người tăng thờm 25% Hỏi 18 cụng nhõn phải làm trong bao lõu mới xong cụng việc đú?
Cõu 5 (2.5 điểm) Cho tam giác ABC cân tại A có BAC = 20o Trên cạnh AC lấy điểm
M sao cho AM = BC Vẽ tam giác đều ACN (N và C thuộc hai nửa mặt phẳng đối nhau có
bờ là đường thẳng AB)
a) Tính BCN
b) Chứng minh ∆AMB = CBN∆
c) Tính số đo ABM
Cõu 6 (1.0 điểm) Cho ba số a, b, c thỏa món: 0 ≤a≤b+ ≤ + 1 c 2 và a + b + c = 1 Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của c
- Hết -
* Ghi chỳ: Học sinh khụng được sử dụng mỏy tớnh cầm tay
Trang 2trường thcs
chu mạnh Trinh
Hướng dẫn chấm
Đề thi học sinh giỏi cấp trường
năm học 2016 - 2017 Môn: Toán 7
a
( )
4
2
3 7 - 27 -49
3 + 4 - 1 + 2 + 3
-81.49 - -21 3
5 0,64 - -5
25 - 36 3 7 - 3 7
-3 7 + 7 -3 5.0,8 - 25
15 8
16 8
3 7 3 - 1
5 - 6
-4 - 5 3 7 1+ 7 -1 2 1 11
= - = 1- = -1 3.8 12 12
1
1
b
x - y + 2xy = 3
=> 2x - 2y + 4xy = 6
=> (2x + 4xy) - 2y = 6
=> 2x(1 + 2y) - (2y + 1) = 5
=> (2x - 1).(2y + 1) = 5 Vì x, y nguyên => 2x - 1 và 2y + 1 nguyên => 2x - 1 và 2y + 1 là ước của 5
Ta có bảng giá trị như sau :
Thử lại chọn chọn chọn chọn
1
2 a
Vì điểm M(x0 ; y0) thuộc đồ thị hàm số y = - x2
3 =>
2
y = - x 3
Mà 5y + 2 x = 8 => 0 0 -10 0 0
3 x + 2 x = 8 => -5 0 0
3 x + x = 4
- Nếu x0 ≥ 0 ta có : -5 0 0
3 x + x = 4 => x0 = -6 (không thỏa mãn x0 ≥ 0 )
- Nếu x0 < 0 ta có : -5 0 0
3 x - x = 4 => x0 = - 3
2 (thỏa mãn x0 <
0) => y0 = 1
Vậy điểm M ( - 3
2 ; 1) thỏa mãn đề bài
1
Trang 3b
(x - 1) f(x) = (x + 4) f(x + 8) (*) , víi mäi x∈R
Thay x = 1 vµo (*) ta cã : (1 - 1) f(1) = (1 + 4) f(1 + 8)
=> f(9) = 0
Thay x = 9 vµo (*) ta cã : (9 - 1) f(9) = (9 + 4) f(9 + 8)
=> f(17) = 0 => x = 17 lµ mét
nghiÖm cña f(x)
Mµ 17 lµ sè nguyªn tè => f(x) cã Ýt nhÊt mét nghiÖm lµ sè
nguyªn tè
1
a
a) 3 2 2 5 5 3
a− b c− a b− c
15 10 6 15 10 6
a− b c− a b− c
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:
a− b c− a b− c a− b+ c− a+ b− c
a b
c a
b c
a b
c a
b c
=
a b
a c
c b
=
=
Vậy 2 3 5
= =
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau
10 15 25
a b c
= −
⇒ = −
= −
1
3
b
Từ
c b a
z c
b a
y c
b a
x
+
−
=
− +
= +
⇒ a 2b c 2a b c 4a 4b c
+ + (1) 2( 2 ) (2 ) 4 4 9
+ + (2)
− + (3)
Từ (1) ;(2) và (3) suy ra :
z y x
c z
y x
b z
y x
a
+
−
=
− +
= +
4
- Gọi x là số ngày 18 công nhân làm xong công việc đó với năng
suất không thay đổi
Ta có : Với một công việc nhất định, năng suất không đổi thì số
công nhân tie lệ nghịch với thời gian hoàn thành công việc nên
1
Trang 421 x
x 17,5
18 15= → = ( ngày)
- Gọi y là số ngày 18 công nhân làm xong công việc đó với năng
suất tăng lên 25%
Với một công việc nhất định, số người làm kkhoong đổi thì năng
suất tỉ lệ nghịch với số người làm nên 100% y y 14
125% =17,5→ = ( ngày)
Vậy 18 công nhân phải làm trong 14 ngày mới xong công việc đó
a
Vẽ hình và làm đúng câu a
A
N
M
- TÝnh ®−îc ABC ACB 80= = O
- TÝnh ®−îc BCN 20= O
1,0
b
chøng minh ®−îc AB = CN
- ∆AMBvµ ∆CBNcã :
AM = CB (gt)
MAB BCN= (=20O)
AB = CN (chøng minh trªn)
=>∆AMB = CBN∆ (c.g.c)
0,75
5
c
Ta cã ∆AMB = CBN∆ (chøng minh trªn)
=> ABM CNB= (2 gãc t−¬ng øng) (1)
Chøng minh ®−îc tam gi¸c ABN c©n t¹i A
TÝnh ®−îc BAN 40= O
ANB 70 = O
CNB 10= O (2)
Tõ (1) vµ (2) => ABM 10= O
0,75
6
Vì: 0≤a≤ + ≤ +b 1 c 2 nên 0 ≤a b+ + + + ≤ + + + + +1 c 2 c 2 c 2 c 2
Hay 3c ≥ − 2 2
3
c
Vậy giá trị nhỏ nhất của c là: -2
3 khi đó a + b = 5
3
1
- Hết -