Người ta đếm thấy trên hình vẽ có 171 tam giác khác nhau.
Trang 1tr−êng thcs
chu m¹nh Trinh §Ò thi häc sinh giái cÊp tr−êng
n¨m häc 2016 - 2017
M«n: To¸n 6
Ngµy thi: 19 th¸ng 05 n¨m 2017
Thêi gian lµm bµi: 120 phót
-Bài 1 (2,0 điểm) Tính giá trị các biểu thức sau:
a) A = 3 + 32 + 33 + 3 + 2017
c) Thực hiện phép tính:
2 2 9 2 6 2 14 4
28 18 29 18
A
−
=
−
Bài 2 (1,5 điểm)
a) Tìm số tự nhiên nhỏ nhất sao cho khi chia cho 11 dư 6, chia cho 4 dư 1và chia cho 19 dư 11
b) Cho a, b là các số nguyên thỏa mãn (a2 + b2 ) chia hết cho 3 Chứng minh rằng a
và b cùng chia hết cho 3
Bài 3 (1,0 điểm) Cho p là một số nguyên tố lớn hơn 3 và 2p + 1 cũng là một số nguyên
tố, thì 4p + 1 là số nguyên tố hay hợp số? Vì sao?
Bài 4 (1,5 điểm) Cho phân số A 3n 5 (n ; n 0)
6n
+
a) Viết phân số A dưới dạnh tổng hai phân số cùng mẫu
b) Với giá trị nào của n thì phân số A có giá trị lớn nhất ? Tìm giá trị lớn nhất của A
Bài 5 (2,0 điểm)
5−b =15 b) Tìm các chữ số x, y, z để số 579xyz chia hết cho 5, 7 và 9
Bài 6 (2,0 điểm) Cho O
xAy=90 Trên tia Ax lấy điểm C khác A, trên tia Ay lấy các điểm
O, I, B đôi một khác nhau, I là trung điểm của AB, AB = 12cm, AO = 9 cm
a) O có là trung điểm của BI không? Vì sao?
b) Giả sử trên tia Ay lần lượt lấy các điểm : A1 , A2 , A3 , … , An đôi một khác nhau
và khác A Nối CA1 ; CA2 ; CA3 ; … ;CAn Người ta đếm thấy trên hình vẽ có 171 tam giác khác nhau Vậy trên Ay có bao nhiêu điểm phân biệt khác A?
- Hết -
* Ghi chú: Học sinh không được sử dụng máy tính cầm tay
Trang 2tr−êng thcs
chu m¹nh Trinh
H−íng dÉn chÊm
§Ò thi häc sinh giái cÊp tr−êng
n¨m häc 2016 - 2017
M«n: To¸n 6
Ngµy thi: 19 th¸ng 05 n¨m 2017
a
2005
2004
A
2
−
0,5
b
= 15
0,75
1
c
2 2 9 2 6 2 14 4
28 18 29 18
5.(2 3 ) (2 ) 2.(2 3) 3 A
5.2 3 7.2 3
−
=
−
18 18 12 28 14 4
28 18 29 18
5.2 3 2 2.2 3 3 5.2 3 7.2 3
−
=
−
30 18 29 18
28 18
−
=
−
29 18
28 18
2
−
0,75
a
Gọi số cần tìm là a ta có: (a-6) ⋮ 11 ;(a-1) ⋮ 4; (a-11) ⋮ 19
(a-6 +33) ⋮ 11 ; (a-1 + 28) ⋮ 4 ; (a-11 +38 ) ⋮ 19
(a +27) ⋮ 11 ; (a +27) ⋮ 4 ; (a +27) ⋮ 19
Do a là số tự nhiên nhỏ nhất nên a+27 nhỏ nhất
Suy ra: a +27 = BCNN (4 ;11 ; 19 )
Từ đó tìm được : a = 809
0,75
2
b
- Chứng minh được: Bình phương của một số nguyên chia cho 3 được
các số dư là 0 hoặc là 1
- Nếu a2 và b2 không chia hết cho 3 thì a2 + b2 chia cho 3 dư 1 hoặc dư
2, điều này trái với (a2 + b2 ) chia hết cho 3
Vậy a2 và b2 cùng chia hết cho 3 Do 3 là số nguyên tố nên a và b cùng
chia hết cho 3
0,75
3
p là một số nguyên tố lớn hơn 3 nên p không chia hết cho 3
Do đó p có một trong hai dạng: 3k +1 hoặc 3k +2 ( với k là số tự nhiên)
- Nếu p = 3k +1 thì 2p + 1 = 6k + 3, chia hết cho 3 Mà 2p + 1 > 3 nên 2p+1 là hợp số ( mâu thuẫn với điều kiện của bài toán)
- Suy ra p = 3k +2
1
Trang 3Khi đó: 4p + 1 = 12k + 9: chia hết cho 3 Mà 4p + 1 > 3 nên 4p + 1 là
hợp số
a A 3n 5 3n 5
+
4
b
A
Do n là số tự nhiên, để A lớn nhất ⇔ 5
6n có giá trị lớn nhất ⇔ 6n có giá trị nhỏ nhất
Do 6n > 0 ; 6n 6⋮ ⇒ 6n = 6 ⇔ n = 1
Vậy n = 1 thì A có giá trị lớn nhất bằng 4
3
1
a
5−b=15 ⇒ 2 a 2
b =5−15 ⇒ 30 3a 2
30 b⋮ ⇒ b∈{1; 2; 3; 5; 6; 10; 15; 30}
Thử các giá trị ⇒ (a; b)∈{(4;3); (1;30)}
0,75
5
b
Ta có 579xyz ⋮(5.7.9)⇒ 579xyz = 315k (k ∈ ℕ )
⇒ k∈{1839;1840;1841} ⇒ 579xyz∈{57928;579600;579915}
⇒ xyz∈{28;600;915}
0,75
a
a)Trên tia Ay có AB > AO nên O nằm giữa A,O Tính được OB = 3
IB = 6
Vậy O là trung điểm của IB
1,0
7
b
2
n n −
tam giác khác nhau
Tính được n = 19
Kết luận trên Ay có 18 điểm phân biệt khác A
1.0
- Hết -