Từ M kẻ MP; MQ lần lượt vuụng gúc với cỏc cạnh AB; AC P thuộc AB; Q thuộc AC 1 Chứng minh tứ giỏc APMQ nội tiếp đường trũn 2 Gọi O là tõm đờng trũn ngoại tiếp tứ giỏc APMQ.. Từ M kẻ MP;
Trang 1đề kiểm tra môn toán Lớp 9B – Thời gian 120 phút
Bài 1: (2 điểm) 1) Giải cỏc phương trỡnh sau: a) x - 1 = 0 b) x2 - 3x + 2 = 0
2) Giải hệ phương trỡnh 2x y 7
x y 2
− =
+ =
Bài 2: (2 điểm) Cho biẻu thức A = 1
2 2 a+ +
1
2 2 a− -
2 2
a 1
1 a
+
− a) Tỡm điều kiện xỏc định và rỳt gọn biểu thức A b) Tỡm giỏ trị của a để A < 1
3
Bài 3: (2 điểm) 1) Cho đường thẳng (d) : y = ax + b Tỡm a; b để đường thẳng (d) đi qua điểm A( -1; 3) và
song song với đường thẳng (d’) : y = 5x + 3
2) Cho phương trỡnh ax2 + 3(a + 1)x + 2a + 4 = 0 (x là ẩn số) Tỡm a để phương trỡnh đó cho cú hai nghiệm phõn biệt x1; x2 thoả món x x21+ =22 4
Bài 4: (3 điểm) Cho tam tam giỏc đều ABC cú đường cao AH Trờn cạnh BC lấy điểm M bất kỳ (M khụng
trựng B; C; H ) Từ M kẻ MP; MQ lần lượt vuụng gúc với cỏc cạnh AB; AC (P thuộc AB; Q thuộc AC) 1) Chứng minh tứ giỏc APMQ nội tiếp đường trũn
2) Gọi O là tõm đờng trũn ngoại tiếp tứ giỏc APMQ Chứng minh OH ⊥ PQ
3) Chứng minh rằng MP + MQ = AH
Bài 5: (1 điểm) Cho hai số thực a; b thay đổi thoả món điều kiện a + b ≥ 1 và a > 0
Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức
2
2 8a b
4a
+
đề kiểm tra môn toán Lớp 9B – Thời gian 120 phút Bài 1 : (2 điểm) 1) Giải các phơng trình sau: a) x - 1 = 0 b) x2 - 3x + 2 = 0 2) Giải hệ phơng trình 2x y 7
x y 2
− =
+ =
Bài 2 : (2 điểm) Cho biẻu thức A = 1
2 2 a+ +
1
2 2 a− -
2 2
a 1
1 a
+
− a) Tìm điều kiện xác định và rút gọn biểu thức A b) Tìm giá trị của a để A < 1
3
Bài 3 : (2 điểm) 1) Cho đờng thẳng (d) : y = ax + b Tìm a; b để đờng thẳng
(d) đi qua điểm A( -1; 3) và song song với đờng thẳng (d’) : y = 5x + 3
2) Cho phơng trình ax2 + 3(a + 1)x + 2a + 4 = 0 (x là ẩn số) Tìm a để
ph-ơng trình đã cho có hai nghiệm phân biệt x1; x2 thoả mãn 2 2
1 2
x x+ =4 Bài 4 : (3 điểm) Cho tam tam giác đều ABC có đờng cao AH Trên cạnh BC lấy
điểm M bất kỳ (M không trùng B; C; H ) Từ M kẻ MP; MQ lần lợt vuông góc với các cạnh AB; AC (P thuộc AB; Q thuộc AC)
1) Chứng minh tứ giác APMQ nội tiếp đờng tròn
2) Gọi O là tâm đờng tròn ngoại tiếp tứ giác APMQ Chứng minh OH ⊥ PQ
3) Chứng minh rằng MP + MQ = AH
Trang 2Bài 5 : (1 điểm) Cho hai số thực a; b thay đổi thoả mãn điều kiện a + b ≥ 1 và a
> 0
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P 8a b2 b2
4a
+
Đáp án
1/ Giải các phơng trình sau
a/ x – 1 = 0
x = 0 + 1
x = 1 Vậy x = 1
0.25
b/ x2 – 3x + 2 = 0, Ta có a + b + c = 1 + (-3) + 2 = 0
Theo viét phơng trình có hai nghiệm
x1 = 1 và 2
2 2 1
c x a
2/ Giải hệ phơng trình 2 7
2
x y
x y
− =
+ =
<=> <=> <=>
Vậy hệ phơng trình có một nghiệm duy nhất : 3
1
x y
=
= −
0.75
0.25
Cho biểu thức :
2 2
a A
a
+
−
1/ +) Biểu thức A xác định khi
0.25
Trang 3( )
2
0
0; 1 1
1; 1
a
a
a
≥
≥
∀ ≥
+) Rút gọn biểu thức A
2 2
1
a A
a
+
−
2 2
A
−
−
1.0
2/ 13 1 13 1 13 0 3 12( 1) 0 (21 1) 0
A
< => < => − < => < => <
1
2 1 0
ton tai a 2
1 0
1 1
1 2
Khong a
a
a
− > >
=> =>
+ < < −
− < <
=> => − < <
+ >
> −
Kết hợp điều kiện : Với 0 1
2
a
≤ < thì 1
3
A<
0.5
0.25 1/ Cho đờngthẳng (d) : y = ax + b Tìm a, b để đờngthẳng (d)
đi qua điểm A( -1 ; 3) và song song với đờngthẳng (d’) : y = 5x
+ 3
- Đờng thẳng (d) : y = ax + b đi qua điểm A (- 1 ; 3), nên ta có
3 = a.(-1) + b => -a + b = 3 (1)
- Đờng thẳng (d) : y = ax + b song song với đờngthẳng (d’) :
y = 5x + 3, nên ta có 5
3
a b
=
≠
(2) Thay a = 5 vào (1) => -5 + b = 3 => b = 8 ( thoả mãn b 3)
Vậy a = 5 , b = 8 Hay đờngthẳng (d) là : y = 5x + 8
0.75
0.25 2/ Cho phơng trình : ax2 + 3(a + 1)x + 2a + 4 = 0 (x là ẩn số)
(1).Tìm a để phơng trình có hai nghiệm phân biệt x1; x2 thoả
mãn : x1 + x2 = 4
- Với a = 0, ta có phơng trình 3x + 4 = 0 => 4
3
x= −
Phơng trình
có một nghiệm 4
3
x=− ( Loại)
- Với a 0 Phơng trình (1) là phơng trình bậc hai
Ta có : = 9(a + 1)2 – 4a(2a + 4) = 9a2 + 18a + 9 – 8a2 – 16a
= a2 + 2a + 9 = (a + 1)2 + 8 > 0 với mọi a
Phơng trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi a
Theo hệ thức Viét ta có
1 2
1 2
2 4
a
x x
a a
x x
a
+ =
+
0.25
0.25
Trang 4Theo đầu bài
2 2
1 2 4 1 2 2 1 2 4
x +x = => x +x − x x = , Thay vào ta có
2
4
=> ( )2 ( ) 2
9 a+1 −2 2a a+ =4 4a
=> 9a2+18a+ −9 4a2−8a−4a2 =0
=>a2+10a+ =9 0 Có hệ số a – b + c = 1 – 10 + 9 = 0
Theo viét Phơng trình có hai nghiệm
a1 = -1 (Thoả mãn) và 2 9 9
1
c a a
= = = − ( Thoả mãn)
Kết luận : Với 1
9
a a
= −
= −
0.5
Hình vẽ
1/ Chứng minh tứ giác APMQ nội tiếp đờngtròn
Xét tứ giác APMQ có
MP AB(gt) => ãMPA=900
MQ AC(gt) => ãMQA=900
=> ãMPA MQA+ã =90o+90o =180o
=> Tứ giác APMQ nội tiếp (đ/l)
1.0
2/ Gọi O là tâm đờng tròn ngoại tiếp tứ giác APMQ, Chứng minh
OHPQ
Dễ thấy O là trung điểm của AM
=> Đờng tròn ngoại tiếp tứ giác APMQ là đờng tròn tâm O,
đ-ờngkính AM
OP = OQ => O thuộc đờngtrung trực của PQ (1)
ã 90o
AH ⊥BC=>AHM = => OH = OA = OM => A thuộc đờngtròn
ngoài tiếp tứ giác APMQ
Xét đờngtròn ngoài tiếp tứ giác APMQ, ta có
ABC đều, có AH BC => àA1 =ảA2 (t/c)
=> ẳPMH =HQẳ (hệ quả về góc nội tiếp)
=> HP = HQ (tính chất)
=> H thuộc đờngtrung trực của PQ (2)
Từ (1) và (2) => OH là đờngtrung trực của PQ => OH PQ (ĐPCM)
1.0
3/ Chứng minh rằng MP + MQ = AH
2
ABC
AH BC
S∆ = (1)
MP AB MQ AC
S∆ =S∆ +S∆ = + (2)
Do ABC là tam giác đều (gt) => AB = AC = BC (3)
Từ (1) , (2) và (3) => MP + MQ = AH (ĐPCM)
1.0
Bài 5 Cho hai số thực a, b thay đổi, thoả mãn điều kiện a + b 1 và a
> 0
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 8 2 2
4
a
+
Bài làm
1.0
Trang 5Ta cã
2
+
2
a b
a
+
= − + + Do a + b 1
2
≥ − + + = + + + − Do a + b 1 => a 1 - b
1
b
− +
− +
Do a > 0, theo cosi ta cã 1 2 1 1
b
− ≥ => − + ≥ => ≥ (2)
Tõ (1) vµ (2) => 3
2
A≥
=> Gi¸ trÞ nhá nhÊt cña A lµ : min 3
2
A = Khi
1
a b
a
b
+ =
= => = =
− =
